2021年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的每小题3分，共24分）1．下列实数最小的是（ ）A．﹣2B．﹣3.5C．0D．12．下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（ ）A．a2+a3＝a5B．a3•a4＝a12C．a3÷a2＝aD．（﹣3a3b）2＝6a6b24．不等式3﹣2x≤x的解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．5．如图，直线a∥b，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝24°，则∠2的度数为（ ）
A．120°B．136°C．144°D．156°6．某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：时间/h6789人数218146那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）A．18，7.5B．18，7C．7，8D．7，7.57．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠C的度数为（ ）A．34°B．36°C．46°D．54°8．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6cm，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以2cm/s的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作MP∥CA交AB于点P，连接MN，NP，作△MNP关于直线MP对称的△MN′P，设运动时间为ts，△MN′P与△BMP重叠部分的面积为Scm2，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（ ）
A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共24分）9．第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为1411780000人．将1411780000用科学记数法可表示为 ．10．一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是 ．11．如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BF＝8，则平移的距离为 ．12．习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是 ．13．如图，矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AC，垂足为点H，若∠ADH＝2∠CDH，则AD的长为 ．
14．如图，∠POQ＝90°，定长为a的线段端点A，B分别在射线OP，OQ上运动（点A，B不与点O重合），C为AB的中点，作△OAC关于直线OC对称的△OA′C，A′O交AB于点D，当△OBD是等腰三角形时，∠OBD的度数为 ．15．如图，△ABC的顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x轴负半轴上，AB∥x轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若＝＝，S△ABC＝13，则k＝ ．16．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，F是线段OD上的动点（点F不与点O，D重合），连接CF，过点F作FG⊥CF分别交AC，AB于点H，G，连接CG交BD于点M，作OE∥CD交CG于点E，EF交AC于点N．有下列结论：①当BG＝BM时，AG＝BG；②＝；③当GM＝HF时，CF2＝CN•BC；④CN2＝BM2+DF2．其中正确的是 （填序号即可）．
三、解答题（每小题8分，共16分）17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝+2．18．如图，在▱ABCD中，G为BC边上一点，DG＝DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．四、解答题（每小题10分，共20分）19为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：A．防疫道路千万条，接种疫苗第一条；B．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；C．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；D．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是 ．（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到D海报的概率．20为庆祝建党100周年，某校开展“学党史•颂党恩”的作品征集活动，征集的作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息解答下列问题：（1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？（2）补全条形统计图．（3）本次活动共征集作品1200件，估计绘画作品有多少件．五、解答题（每小题10分，共20分）21如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象在第二象限交于C，D（﹣6，2）两点，DE∥OC交x轴于点E，若＝．（1）求一次函数和反比例函数的表达式．（2）求四边形OCDE的面积．22小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B
之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈，co22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）六、解答题（每小题10分，共20分）23如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AB上一点，BD＝BC，过点A作AE⊥AB交CD的延长线于点E，CE交⊙O于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使∠FCA＝2∠E．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AC＝6，AG＝，求⊙O的半径．24.2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？七、解答题（本题满分12分）25如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转α得到AN，过点C作CF∥AM交直线AN于点F，在AM上取点E，使∠AEB＝∠ACB．（1）当AM与线段BC相交时，①如图1，当α＝60°时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 ．②如图2，当α＝90°时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．（2）当tanα＝，AB＝5时，若△CDE是直角三角形，直接写出AF的长．八、解答题（本题满分14分）26如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ＝45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．
参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列实数最小的是（ ）A．﹣2B．﹣3.5C．0D．1【分析】根据实数大小比较的方法进行求解是解决本题的关键．【解答】解：因为﹣3.5＜﹣2＜0＜1，所以最小的实数是﹣3.5．故选：B．2．下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．3．下列运算正确的是（ ）A．a2+a3＝a5B．a3•a4＝a12C．a3÷a2＝aD．（﹣3a3b）2＝6a6b2【分析】
根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方的性质逐项计算可判断求解．【解答】解：A．a2与a3不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；B．a3•a4＝a7，故B选项不符合题意；C．a3÷a2＝a，故C选项符合题意；D．（﹣3a3b）2＝9a6b2，故D选项不符合题意，故选：C．4．不等式3﹣2x≤x的解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】求出不等式的解集，将解集在数轴上表示出来．【解答】解：3﹣2x≤x，﹣2x﹣x≤﹣3，﹣3x≤﹣3，x≥1，表示在数轴上如图：故选：B．5．如图，直线a∥b，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝24°，则∠2的度数为（ ）
A．120°B．136°C．144°D．156°【分析】根据平行线的性质求解，【解答】解：如图，作c∥a，∵三角尺是含30°角的三角尺，∴∠3+∠4＝60°，∵a∥c，∴∠1＝∠4＝24°，∴∠3＝60°﹣24°＝36°，∵a∥c，a∥b，∴b∥c，∴∠2＝180°﹣36°＝144°，故选：C．6．某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：时间/h6789人数218146那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）A．18，7.5B．18，7C．7，8D．7，7.5【分析】根据众数和中位的定义进行求解即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，参加体育锻炼时间的众数为7，因为该班有40名同学，所以中位数为第20和21名同学时间，第20名同学的时间为7h，第21名同学的时间为8h，所以中位数为＝7.5．故选：D．
7．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠C的度数为（ ）A．34°B．36°C．46°D．54°【分析】连接AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠C＝∠A，然后利用互余计算出∠A，从而得到∠C的度数．【解答】解：连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣54°＝36°，∴∠C＝∠A＝36°．故选：B．8．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6cm，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以2cm/s的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作MP∥CA交AB于点P，连接MN，NP，作△MNP关于直线MP对称的△MN′P，设运动时间为ts，△MN′P与△BMP重叠部分的面积为Scm2，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（ ）
A．B．C．D．【分析】首先求出当点N′落在AB上时，t的值，分0＜t≤2或2＜t≤3两种情形，分别求出S的解析式，可得结论．【解答】解：如图1中，当点N′落在AB上时，取CN的中点T，连接MT．∵CM＝t，CN＝2t，CT＝TN，∴CT＝TN＝t，∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，∴△MCT是等边三角形，∴TM＝TC＝TN，∴∠CMN＝90°，
∵MP∥AC，∴∠BPM＝∠A＝∠MPN＝60°，∠BMP＝∠C＝60°，∠C+∠CMP＝180°，∴∠CMP＝120°，△BMP是等边三角形，∴BM＝MP，∵∠CMP+∠MPN＝180°，∴CM∥PN，∵MP∥CN，∴四边形CMPN是平行四边形，∴PM＝CN＝BM＝2t，∴3t＝6，∴t＝2，如图2中，当0＜t≤2时，过点M作MK⊥AC于K，则MK＝CM•sin60°＝t，∴S＝•（6﹣t）•t＝﹣t2+t．如图3中，当2＜t≤3时，S＝×（6﹣t）2，观察图象可知，选项A符合题意，
故选：A．二．填空题（共8小题）9．第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为1411780000人．将1411780000用科学记数法可表示为 1.41178×109 ．【分析】根据把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，进行求解即可出得出答案．【解答】解：1411780000＝1.41178×109．故答案为：1.41178×109．10．一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是 ．【分析】求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．【解答】解：由图可知：黑色方砖在整个地板中所占的比值＝，∴小球最终停留在黑色区域的概率＝，故答案为：．11．如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BF＝8，则平移的距离为 3 ．【分析】利用平移的性质解决问题即可．【解答】解：由平移的性质可知，BE＝CF，∵BF＝8，EC＝2，∴BE+CF＝8﹣2＝6，∴BE＝CF＝3，∴平移的距离为3，
故答案为：3．12．习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是 ﹣＝4 ．【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，利用数量＝总价÷单价，结合第二批购买的套数比第一批少4套，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，依题意得：﹣＝4．故答案为：﹣＝4．13．如图，矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AC，垂足为点H，若∠ADH＝2∠CDH，则AD的长为 3 ．【分析】由矩形的性质得CD＝AB＝3，∠ADC＝90°，再求出∠ADH＝60°，则∠DAC＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，∠ADC＝90°，∵∠ADH＝2∠CDH，∴∠CDH＝30°，∠ADH＝60°，∵DH⊥AC，∴∠DHA＝90°，∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝CD＝3，
故答案为：3．14．如图，∠POQ＝90°，定长为a的线段端点A，B分别在射线OP，OQ上运动（点A，B不与点O重合），C为AB的中点，作△OAC关于直线OC对称的△OA′C，A′O交AB于点D，当△OBD是等腰三角形时，∠OBD的度数为 67.5°或72° ．【分析】结合折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得∠COA＝∠COA′＝∠BAO，设∠COA＝∠COA′＝∠BAO＝x°，然后利用三角形外角和等腰三角形的性质表示出∠BCO＝2x°，∠A′OB＝90°﹣2x°，∠OBD＝90°﹣x°，∠BDO＝∠AOD+∠BAO＝3x°，从而利用分类讨论思想解题．【解答】解：∵∠POQ＝90°，C为AB的中点，∴OC＝AC＝BC，∴∠COA＝∠BAO，∠OBC＝∠BOC，又由折叠性质可得∠COA＝∠COA′，∴∠COA＝∠COA′＝∠BAO，设∠COA＝∠COA′＝∠BAO＝x°，则∠BCO＝2x°，∠A′OB＝90°﹣2x°，∠OBD＝90°﹣x°，∠BDO＝∠AOD+∠BAO＝3x°，①当OB＝OD时，∠ABO＝∠BDO，∴90°﹣x°＝3x°，解得x＝22.5°，∴∠OBD＝90°﹣22.5°＝67.5°；②当BD＝OD时，∠OBD＝∠A′OB，∴90°﹣x°＝90°﹣2x°，方程无解，∴此情况不存在；③当OB＝DB时，∠BDO＝∠A′OB，∴3x°＝90°﹣2x°，
解得：x＝18°，∴∠OBD＝90°﹣18°＝72°；综上，∠OBD的度数为67.5°或72°，故答案为：67.5°或72°．15．如图，△ABC的顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x轴负半轴上，AB∥x轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若＝＝，S△ABC＝13，则k＝ 18 ．【分析】过点B作BF⊥x轴于点F，通过设参数表示出三角形ABC的面积，从而求出参数的值，再利用三角形ABC与矩形ODBF的关系求出矩形面积，即可求得k的值．【解答】解：如图，过点B作BF⊥x轴于点F．∵AB∥x轴，∴△DBE∽△COE，∴＝，∵＝＝，∴＝＝＝＝，设CO＝3a，DE＝3b，则AD＝2a，OE＝2b，∴，OD＝5b，
∴BD＝，∴AB＝AD+DB＝，∵S△ABC＝＝＝13，∴ab＝，∵S矩形ODBF＝BD•OD＝＝＝18，又∵反比例函数图象在第一象限，∴k＝18，故答案为18．16．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，F是线段OD上的动点（点F不与点O，D重合），连接CF，过点F作FG⊥CF分别交AC，AB于点H，G，连接CG交BD于点M，作OE∥CD交CG于点E，EF交AC于点N．有下列结论：①当BG＝BM时，AG＝BG；②＝；③当GM＝HF时，CF2＝CN•BC；④CN2＝BM2+DF2．其中正确的是 ①③④ （填序号即可）．【分析】①正确．利用面积法证明＝＝即可．②错误．假设成立，推出∠OFH＝∠OCM，显然不符合条件．③正确．如图2中，过点M作MP⊥BC于P，MQ⊥AB于Q，连接AF．想办法证明CM＝CF，再利用相似三角形的性质，解决问题即可．④正确．如图3中，将△CBM绕点C顺时针旋转90°得到△CDW，连接FW．则CM＝CW，BM＝DW，∠MCW＝90°，∠CBM＝∠CDW＝45°，证明FM＝FW，利用勾股定理，即可解决问题．【解答】解：如图1中，过点G作GT⊥AC于T．∵BG＝BM，
∴∠BGM＝∠BMG，∵∠BGM＝∠GAC+∠ACG，∠BMG＝∠MBC+∠BCM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAC＝∠MBC＝45°，AC＝BC，∴∠ACG＝∠BCG，∵GB⊥CB，GT⊥AC，∴GB＝GT，∵＝＝＝＝，∴AG＝BG，故①正确，假设＝成立，∵∠FOH＝∠COM，∴△FOH∽△COM，∴∠OFH＝∠OCM，显然这个条件不成立，故②错误，如图2中，过点M作MP⊥BC于P，MQ⊥AB于Q，连接AF．∵∠OFH+∠FHO＝90°，∠FHO+∠FCO＝90°，∴∠OFH＝∠FCO，∵AB＝CB，∠ABF＝∠CBF，BF＝BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，∵∠CFG＝∠CBG＝90°，∴∠BCF+∠BGF＝180°，∵∠BGF+∠AGF＝180°，∴∠AGF＝∠BCF＝∠GAF，∴AF＝FG，∴FG＝FC，∴∠FCG＝∠BCA＝45°，∴∠ACF＝∠BCG，∵MQ∥CB，
∴∠GMQ＝∠BCG＝∠ACF＝∠OFH，∵∠MQG＝∠FOH＝90°，FH＝MG，∴△FOH≌△MQG（AAS），∴MQ＝OF，∵∠BMP＝∠MBQ，M⊥AB，MP⊥BC，∴MQ＝MP，∴MP＝OF，∵∠CPM＝∠COF＝90°，∠PCM＝∠OCF，∴△CPM≌△COF（AAS），∴CM＝CF，∵OE∥AG，OA＝OC，∴EG＝EC，∵△ECG是等腰直角三角形，∴∠CEN＝45°，∴∠CEN＝∠CBM，∵∠FCN＝∠BCM，∴△BCM∽△FCN，∴＝，∴CF2＝CB•CN，故③正确，如图3中，将△CBM绕点C顺时针旋转90°得到△CDW，连接FW．则CM＝CW，BM＝DW，∠MCW＝90°，∠CBM＝∠CDW＝45°，∵∠FCG＝∠FCW＝45°，CM＝CW，CF＝CF，∴△CFN≌△CFW（SAS），∴FM＝FW，∵∠FDW＝∠FDC+∠CDW＝45°+45°＝90°，∴FW2＝DF2+DW2，∴FM2＝BM2+DF2，故④正确，故答案为：①③④．
三、解答题（每小题8分，共16分）17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝+2．【分析】根据分式的混合运算的运算法则对化简为，再将a＝+2代入求值．【解答】解：＝＝×＝．当a＝+2时，原式＝＝＝1+．
18．如图，在▱ABCD中，G为BC边上一点，DG＝DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．【分析】先证四边形AEDF是平行四边形，再证∠BAD＝∠ADE，则AE＝DE，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠C，AD∥BC，AB∥CD，∵AF∥ED，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD∥BC，∴∠DGC＝∠ADE，∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠C，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF是菱形．四、解答题（每小题10分，共20分）19为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：A．防疫道路千万条，接种疫苗第一条；B．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；C．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；D．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是 ．
（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到D海报的概率．【考点】概率公式；列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；推理能力．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，∴小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的概率为＝．20为庆祝建党100周年，某校开展“学党史•颂党恩”的作品征集活动，征集的作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息解答下列问题：（1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？（2）补全条形统计图．（3）本次活动共征集作品1200件，估计绘画作品有多少件．【考点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；运算能力．【答案】（1）120；（2）36；补全图形见解答过程．（3）360．【分析】（1）根据剪纸的人数除以所占百分比，得到抽取作品的总件数；（2）由总件数减去其他作品数，求出绘画作品的件数，补全条形统计图即可；（3）求出样本中绘画作品的百分比，乘以1200即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：12÷10%＝120（件），所抽取的学生作品的样本容量是120；（2）绘画作品为120﹣（42+30+12）＝36（件），补全统计图，如图所示：
故答案为：36；（3）根据题意得：1200×＝360（件），则绘画作品约有360件．答：本次活动共征集作品1200件时，绘画作品约有360件．五、解答题（每小题10分，共20分）21如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象在第二象限交于C，D（﹣6，2）两点，DE∥OC交x轴于点E，若＝．（1）求一次函数和反比例函数的表达式．（2）求四边形OCDE的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质．【专题】数形结合；一次函数及其应用；反比例函数及其应用；图形的相似；推理能力．【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+8；反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）．【分析】
（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得C点坐标，再利用待定系数法求函数关系式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，然后用△AOC的面积减去△AED的面积求解．【解答】解：（1）将D（﹣6，2）代入y＝中，k2＝﹣6×2＝﹣12，∴反比例函数的解析式为y＝﹣；过点D作DM⊥x轴，过点C作CN⊥x轴，∵DE∥OC，∴△ADE∽△ACO，∴，∴CN＝3DM＝6，将y＝6代入y＝﹣中，﹣，解得：x＝﹣2，∴C点坐标为（﹣2，6），将C（﹣2，6），D（﹣6，2）代入y＝k1x+b中，可得，解得：，∴一次函数的解析式为y＝x+8；（2）设直线OC的解析式为y＝mx，将C（﹣2，6）代入，得：﹣2m＝6，
解得：m＝﹣3，∴直线OC的解析式为y＝﹣3x，由DE∥OC，设直线DE的解析式为y＝﹣3x+n，将D（﹣6，2）代入可得：﹣3×（﹣6）+n＝2，解得：n＝﹣16，∴直线DE的解析式为y＝﹣3x﹣16，当y＝0时，﹣3x﹣16＝0，解得：x＝﹣，∴E点坐标为（﹣，0），∴OE＝，在y＝x+8中，当y＝0时，x+8＝0，解得：x＝﹣8，∴A点坐标为（﹣8，0），∴OA＝8，∴AE＝8﹣＝，S四边形OCDE＝S△AOC﹣S△AED＝＝＝24﹣＝．22小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈，co22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】1293m．【分析】作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，易得四边形BCFE是矩形，则BE＝CF，EF＝BC＝150m，设DF＝xm，则DE＝（x+150）m，在Rt△ADE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝2DE＝2（x+150）m，在Rt△DCF中，CD＝≈xm，根据题意得到2（x+150）＝+150，求得x的值，然后根据勾股定理求得AE和BE，进而求得AB．【解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，∵BC⊥AB，∴四边形BCFE是矩形，∴BE＝CF，EF＝BC＝150m，设DF＝xm，则DE＝（x+150）m，在Rt△ADE中，∠BAD＝30°，∴AD＝2DE＝2（x+150）m，在Rt△DCF中，∠FCD＝22.6°，∴CD＝＝≈xm，∵AD＝CD+BC，∴2（x+150）＝+150，解得x＝250（m），
∴DF＝250m，∴DE＝250+150＝400m，∴AD＝2DE＝800m，∴CD＝800﹣150＝650m，由勾股定理得AE＝＝＝400m，BE＝CF＝＝＝600m，∴AB＝AE+BE＝400+600≈1293（m），答：公园北门A与南门B之间的距离约为1293m．六、解答题（每小题10分，共20分）23如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AB上一点，BD＝BC，过点A作AE⊥AB交CD的延长线于点E，CE交⊙O于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使∠FCA＝2∠E．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AC＝6，AG＝，求⊙O的半径．
【考点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．【答案】（1）见解答过程；（2）5．【分析】（1）根据AA定理判定△ADG∽△DCB，然后结合相似三角形的性质求得∠AGD＝2∠E，从而可得∠FCA＝∠AGD，然后结合等腰三角形的性质求得∠FCO＝90°，从而判定CF是⊙O的切线；（2）由切线长定理可得AF＝CF，从而可得∠FAC＝2∠E，得到AC＝AE，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．【解答】解：（1）∵∠B＝∠AGC，∠ADG＝∠CDB，∴△ADG∽△DCB，∴，∵BD＝BC，∴GD＝GA，∴∠ADG＝∠DAG，又∵AE⊥AB，∴∠EAD＝90°，∴∠GAE+∠DAG＝∠E+∠ADG＝90°，∴∠GAE＝∠E，∴AG＝DG＝EG，∠AGD＝2∠E，∵∠FCA＝2∠E，∴∠FCA＝∠AGD＝∠B，∵AB是⊙O的直径，∴∠CAB+∠B＝90°，又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAB，∴∠FCA+∠ACO＝90°，∴∠FCO＝90°，即CF是⊙O的切线；（2）∵CF是⊙O的切线，AE⊥AB，
∴AF＝CF，∴∠FAC＝∠FCA＝2∠E，∴AC＝AE＝6，又∵AG＝DG＝EG＝，在Rt△ADE中，AD＝，设⊙O的半径为x，则AB＝2x，BD＝BC＝2x﹣2，在Rt△ABC中，62+（2x﹣2）2＝（2x）2，解得：x＝5，∴⊙O的半径为5．24.2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？【考点】二次函数的应用．【专题】销售问题；二次函数的应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）y＝﹣2x+160；（2）当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．【分析】（1）根据“销售单价每降低1元，则每天可多售出2件”列函数关系式；（2）根据总利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质分析其最值．【解答】解：（1）由题意可得：y＝20+2（70﹣x），整理，得：y＝﹣2x+160，∴每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣2x+160；（2）设销售所得利润为w，由题意可得：w＝（x﹣30﹣2）y＝（x﹣32）（﹣2x+160）＝﹣2x2+224x﹣5120，
整理，得：w＝﹣2（x﹣56）2+1152，∵﹣2＜0，∴当x＝56时，w取最大值为1152，∴当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．七、解答题（本题满分12分）25如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转α得到AN，过点C作CF∥AM交直线AN于点F，在AM上取点E，使∠AEB＝∠ACB．（1）当AM与线段BC相交时，①如图1，当α＝60°时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 ．②如图2，当α＝90°时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．（2）当tanα＝，AB＝5时，若△CDE是直角三角形，直接写出AF的长．【考点】几何变换综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）①AE＝CF+CE．②结论：EC＝（AE﹣CF）．证明见解析部分．（2）AF的值为或．【分析】（1）①结论：AE＝CF+CE．如图1中，作CT∥AF交AM于T．想办法证明AT＝CF，ET＝CE，可得结论．②结论：EC＝（AE﹣CF）．过点C作CQ⊥AE于Q．想办法证明CF＝AQ，CE＝EQ，可得结论．（2）分两种情形：如图3﹣1中，当∠CDE＝90°时，过点B作BJ⊥AC于J，过点F
作FK⊥AE于K．利用勾股定理以及面积法求出CD，再证明FK＝CD，可得结论．如图3﹣2中，当∠ECD＝90°时，∠DAB＝90°，解直角三角形求出AK，可得结论．【解答】解：（1）①结论：AE＝CF+CE．理由：如图1中，作CT∥AF交AM于T．∵AB＝AC，∠BAC＝6°，∴△ABC是等边三角形，∴CA＝CB，∠ACB＝60°，∵AF∥CT，CF∥AT，∴四边形AFCT是平行四边形，∴CF＝AT，∵∠ADC＝∠BDE，∠DEB＝∠ACD，∴△ACD∽△BED，∴＝，∴＝，∵∠ADB＝∠CDE，∴△ADB∽△CDE，∴∠ABD＝∠CED＝60°，∵CT∥AF，∴∠CTE＝∠FAE＝60°，∴△CTE是等边三角形，∴EC＝ET，∴AE＝AT+ET＝CF+CE．故答案为：AE＝CF+CE．
②如图2中，结论：EC＝（AE﹣CF）．理由：过点C作CQ⊥AE于Q．∵CF∥AM，∴∠CFA+∠MAN＝180°，∵∠MAN＝90°，∴∠CFA＝∠FAQ＝90°，∵∠CQA＝90°，∴四边形AFCQ是矩形，∴CF＝AQ，∵∠ADC＝∠BDE，∠DEB＝∠ACD，∴△ACD∽△BED，∴＝，∴＝，∵∠ADB＝∠CDE，∴△ADB∽△CDE，∴∠ABD＝∠CED＝45°，∵∠CQE＝90°，∴CE＝EQ，∴AE﹣CF＝AE﹣AQ＝EQ，∴EC＝（AE﹣CF）．（2）如图3﹣1中，当∠CDE＝90°时，过点B作BJ⊥AC于J，过点F作FK⊥AE于K．
在Rt△ABJ中，tan∠BAJ＝＝，AB＝5，∴AJ＝3，BJ＝4，∵AC＝AB＝5，∴CJ＝AC﹣AJ＝5﹣3＝2，∴BC＝＝＝2，∵•AC•BJ＝•BC•AD，∴AD＝＝2，∴CD＝＝＝，∵FK⊥AD，∴∠CDE＝∠FKD＝90°，∴CD∥FK，∵CF∥DK，∴四边形CDKF是平行四边形，∵∠FKD＝90°，∴四边形CDKF是矩形，∴FK＝CD＝，∵tan∠FAK＝tan∠CAB＝，∴＝，∴AK＝，
∴AF＝＝＝．如图3﹣2中，当∠ECD＝90°时，∠DAB＝90°，∵CF∥AM，∴∠AKF＝∠DAB＝90°，在Rt△ACK中，tan∠CAK＝＝，AC＝5，∴CK＝4，AK＝3，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠CAN＝∠DAB＝90°，∴∠CAB+∠BAF＝90°，∠BAF+∠AFK＝90°，∴∠AFK＝∠CAB，∴tan∠AFK＝＝，∴FK＝，∴AF＝＝＝．综上所述，满足条件的AF的值为或．
八、解答题（本题满分14分）26如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ＝45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题；动点型；运算能力；推理能力；应用意识．【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）P（，﹣）；（3）2≤t≤．【分析】（1）运用待定系数法将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，即可求得答案；（2）利用配方法可求得抛物线顶点坐标D（1，﹣4），由AE∥PD得△AEF∽△PDF，再根据△PDF与△AEF的面积相等，可得△AEF≌△PDF，故点F分别是AP、ED的中点，设E（e，e+2），P（m，m2﹣2m﹣3），结合中点坐标公式建立方程求解即可；（3）根据题意，分别求出t的最大值和最小值：①当点P与点B重合时，点Q与点O
重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M（1，t），过点O′作O′H⊥y轴于点H，运用勾股定理即可求得答案，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，运用勾股定理即可求得答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），∴将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，∵D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），∵AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），∴△AEF∽△PDF，设E（e，e+2），P（m，m2﹣2m﹣3），又∵△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，S1＝S2，∴△AEF≌△PDF，∴AF＝PF，EF＝DF，即点F分别是AP、ED的中点，又∵A（﹣1，0），P（m，m2﹣2m﹣3），E（e，e+2），D（1，﹣4），∴由中点坐标公式得：，解得：m1＝0（与“AE∥PD”不符，应舍去），m2＝，∴t2＝，∴P（，﹣），E（，）；（3）①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，
则O′（，），OO′＝O′B＝，以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M（1，t），过点O′作O′H⊥y轴于点H，则∠O′HM＝90°，O′H＝，O′M＝OO′＝，∴MH＝＝＝，∴t＝+＝，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，∵OB＝OC＝3，∴⊙O经过点C，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，则OM＝OB＝3，OE＝1，∵∠MEO＝90°，∴ME＝＝＝2，∴t＝2，综上所述，2≤t≤．
