2021年贵州省毕节市中考数学试卷一、选择题（本题15小题，每小题3分，共45分）1．下列各数中，为无理数的是（ ）A．πB．C．0D．﹣22．如图所示的几何体，其左视图是（ ）A．B．C．D．3．6月6日是全国“放鱼日”为促进渔业绿色发展，今年“放鱼日”当天，全国同步举办增殖放流200余场，放流各类水生生物苗种近30亿尾．数30亿用科学记数法表示为（ ）A．0.3×109B．3×108C．3×109D．30×1084．下列城市地铁标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．5．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）A．70°B．75°C．80°D．85°6．下列运算正确的是（ ）
A．（3﹣π）0＝﹣1B．＝±3C．3﹣1＝﹣3D．（﹣a3）2＝a67．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为（ ）A．540°B．720°C．900°D．1080°8．《九章算术》中记载了一个问题，大意是甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱x，乙带了钱y，依题意，下面所列方程组正确的是（ ）A．B．C．D．9．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（ ）A．6mB．8mC．4mD．8m10．已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）A．a≥﹣4B．a＞﹣4C．a≥﹣4且a≠0D．a＞﹣4且a≠011．下列说法正确的是（ ）A．了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查B．一组数据5，5，3，4，1的中位数是3C．甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为S甲2＝1.1，S乙2＝2.5，说明乙的成绩比甲稳定D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件12．某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，
所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长为（ ）A．8πmB．4πmC．πmD．πm13．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）A．5B．6C．7D．814．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝7，BC＝9，M是BC上的点，且CM＝2．将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C′处，折痕为MN，则线段PA的长是（ ）A．4B．5C．6D．215．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（ ）A．abc＞0B．b2＞4acC．4a+2b+c＞0D．2a+b＝0
二、填空题（本题5小题，每小题5分，共25分）16．将直线y＝﹣3x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ．17．学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为 m．18．如图，在菱形ABCD中，BC＝2，∠C＝120°，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点，则AP+PQ的最小值为 ．19如图，在平面直角坐标系中，点N1（1，1）在直线l：y＝x上，过点N1作N1M1⊥l，交x轴于点M1；过点M1作M1N2⊥x轴，交直线于N2；过点N2作N2M2⊥l，交x轴于点M2；过点M2作M2N3⊥x轴，交直线l于点N3；…，按此作法进行下去，则点M2021的坐标为 ．
20如图，直线AB与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且AB＝BC，连接OA．已知△OAC的面积为12，则k的值为 ．三、解答题（本题7小题，共80分）21先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝2，b＝1．22.x取哪些正整数值时，不等式5x+2＞3（x﹣1）与≤都成立？23学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长t（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A：t＜8，B：8≤t＜9，C：9≤t＜10，D：t≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）小明一共抽样调查了 名同学；在扇形统计图中，表示D组的扇形圆心角的度数为 ；（2）将条形统计图补充完整；（3）小明所在学校共有1400名学生，估计该校最近一周大约有多少名学生睡眠时长不足8小时？（4）A组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率．24如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点
F，交⊙O于点D，连接BD，BE．（1）求证：DB＝DE；（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长．25某中学计划暑假期间安排2名老师带领部分学生参加红色旅游．甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师、学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：两位老师全额收费，学生都按七五折收费．（1）设参加这次红色旅游的老师学生共有x名，y甲，y乙（单位：元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用，求y甲，y乙关于x的函数解析式；（2）该校选择哪家旅行社支付的旅游费用较少？26如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F．（1）求证：BD＝CE，BD⊥CE；（2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．27如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．（1）填空：点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，抛物线的解析式为 ；
（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值；（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．下列各数中，为无理数的是（ ）A．πB．C．0D．﹣2【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．【解答】解：A．π是无理数，故本选项符合题意；B．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；C．0是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；D．﹣2是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；故选：A．2．如图所示的几何体，其左视图是（ ）A．B．C．D．【分析】画出从左面看这个几何体所得到的图形即可．【解答】解：这个几何体的左视图为：故选：C．3．6月6日是全国“放鱼日”为促进渔业绿色发展，今年“放鱼日”当天，全国同步举办增殖放流200余场，放流各类水生生物苗种近30亿尾．数30亿用科学记数法表示为（ ）A．0.3×109B．3×108C．3×109D．30×108
【分析】按科学记数法的要求，直接把数据表示为a×10n（其中1≤|a|＜10，n为整数）的形式即可．【解答】解：30亿＝3000000000＝3×109，故选：C．4．下列城市地铁标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．5．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）A．70°B．75°C．80°D．85°【分析】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．【解答】解：如图，
∵∠2＝90°﹣30°＝60°，∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝75°，故选：B．6．下列运算正确的是（ ）A．（3﹣π）0＝﹣1B．＝±3C．3﹣1＝﹣3D．（﹣a3）2＝a6【分析】根据零指数幂的定义即可判断A；根据算术平方根的定义即可判断B；根据负整数指数幂的定义即可判断C；根据幂的乘方与积的乘方即可判断D．【解答】解：A．（3﹣π）0＝1，故本选项不符合题意；B．＝3，故本选项不符合题意；C．3﹣1＝，故本选项不符合题意；D．（﹣a3）2＝a6，故本选项符合题意；故选：D．7．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为（ ）A．540°B．720°C．900°D．1080°【分析】先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和．【解答】解：正多边形的边数为：360°÷45°＝8，∴这个多边形是正八边形，∴该多边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°．故选：D．
8．《九章算术》中记载了一个问题，大意是甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱x，乙带了钱y，依题意，下面所列方程组正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】设甲需带钱x，乙带钱y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半＝50，乙的钱+甲所有钱的＝50，据此列方程组可得．【解答】解：设甲需带钱x，乙带钱y，根据题意，得，故选：A．9．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（ ）A．6mB．8mC．4mD．8m【分析】过C作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则AE＝DF，在Rt△DCF中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE，在Rt△DCF中，根据含30°直角三角形的性质即可求出CD．【解答】解：过C作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，∴AE∥DF，∵AD∥BC，∴四边形AEFD是平行四边形，∴四边形AEFD是矩形，
∴AE＝DF，在Rt△ABE中，∵∠ABC＝45°，∴∠BAE＝90°﹣∠ABC＝90°﹣45°，∴∠ABC＝∠BAE，∴AE＝BE，∵AB2＝AE2+BE2＝2AE2，AB＝8m，∴AE2＝AB2＝×82＝32，∴AE＝DF＝4，在Rt△DCF中，∵∠DCB＝30°，∴DF＝CD，∴CD＝2DF＝2×4＝8，故选：B．10．已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）A．a≥﹣4B．a＞﹣4C．a≥﹣4且a≠0D．a＞﹣4且a≠0【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，然后求出a的范围后对各选项进行判断．【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，解得a＞﹣4且a≠0，故选：D．11．下列说法正确的是（ ）A．了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查B．一组数据5，5，3，4，1的中位数是3C．甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为S甲2＝1.1，S乙2
＝2.5，说明乙的成绩比甲稳定D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件【分析】根据普查与抽样调查的区别、中位数的定义、方差的意义及随机事件的概念逐一判断即可．【解答】解：A．了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，由于调查的工作量较大，适合抽样调查，此选项错误，不符合题意；B．一组数据5，5，3，4，1，重新排列为1、3、4、5、5，其中位数是4，此选项错误，不符合题意；C．甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为S甲2＝1.1，S乙2＝2.5，由S甲2＜S乙2，说明甲的成绩比乙稳定，此选项错误，不符合题意；D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”，由于事先无法预测遇到哪种灯，所以此事件是随机事件，此选项正确，符合题意；故选：D．12．某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长为（ ）A．8πmB．4πmC．πmD．πm【分析】根据线段的和差得到OA＝OC+AC，然后根据弧长公式即可得到结论．【解答】解：∵OC＝12m，AC＝4m，∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），∵∠AOB＝120°，∴弯道外边缘的长为：＝（m），故选：C．
13．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）A．5B．6C．7D．8【分析】设八年级有x个班，根据“各班均组队参赛赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设八年级有x个班，依题意得：x（x﹣1）＝15，整理得：x2﹣x﹣30＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．故选：B．14．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝7，BC＝9，M是BC上的点，且CM＝2．将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C′处，折痕为MN，则线段PA的长是（ ）A．4B．5C．6D．2【分析】连接PM，设AP＝x，可得出PB＝7﹣x，BM＝7，根据折叠的性质可得CD＝PC＝7，CM＝C′M＝2，在Rt△PBM中和Rt△PC′M中，根据勾股定理PB2+BM2＝PM2，PM2＝（7﹣x）2+72，C′P2+C′M2＝PM2，PM2＝72+22，因为PM是公共边，所以可得PM＝PM，即（7﹣x）2+72＝72+22，求出x的值即可得出答案．【解答】解：连接PM，如图，设AP＝x，∵AB＝7，CM＝2，∴PB＝7﹣x，BM＝BC﹣CM＝7，
由折叠性质可知，CD＝PC＝7，CM＝C′M＝2，在Rt△PBM中，PB2+BM2＝PM2，PM2＝（7﹣x）2+72，在Rt△PC′M中，C′P2+C′M2＝PM2，PM2＝72+22，∴（7﹣x）2+72＝72+22，解得：x＝5，∴AP＝5．故选：B．15．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（ ）A．abc＞0B．b2＞4acC．4a+2b+c＞0D．2a+b＝0【分析】利用函数图象的开口，与y轴交点坐标，和对称轴，分别判断出a，b，c的正负，可以判断出A选项，由抛物线与x轴交点坐标个数，可以判断Δ＝
b2﹣4ac的正负，可以判断出B选项，又当x＝2时，y＝4a+2b+c，根据图象可以判断C选项，由对称轴为x＝1，可以判断D选项．【解答】解：由图象可得，抛物线开口向上，故a＞0，由于抛物线与y轴交点坐标为（0，c），由图象可得，c＜0，对称轴为x＝，∴，∴b＝﹣2a，∵a＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故A选项正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故B选项正确；由图象可得，当x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故C选项错误；∵抛物线的对称轴为x＝1，∴，∴2a+b＝0，故D选项正确，故选：C．二．填空题（共3小题）16．将直线y＝﹣3x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 y＝﹣3x﹣2 ．【分析】根据平移k值不变，只有b值发生改变解答即可．
【解答】解：由题意得：平移后的解析式为：y＝﹣3x﹣2．故答案为：y＝﹣3x﹣2．17．学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为 8.5 m．【分析】由AB⊥BE，CD⊥BE，得到AB∥CD，推出△ECD∽△EAB，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．【解答】解：∵AB⊥BE，CD⊥BE，∴AB∥CD，∴△ECD∽△EAB，∴＝，∴＝，解得：AB＝8.5，答：路灯灯泡A离地面的高度AB为8.5米，故答案为：8.5．18．如图，在菱形ABCD中，BC＝2，∠C＝120°，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点，则AP+PQ的最小值为 ．【分析】如图，连接PC．过点C作CH⊥AB于H．证明PA＝PC，可得PA+PA＝PC+PQ≥CH，解直角三角形求出CH，可得结论．
【解答】解：如图，连接PC．过点C作CH⊥AB于H．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABP＝∠PBC，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝120°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∴CH＝BC•sin60°＝，∵PA+PQ＝PC+PQ≥CH，∴PA+PQ≥，∴PA+PQ的最小值为．故答案为：．19如图，在平面直角坐标系中，点N1（1，1）在直线l：y＝x上，过点N1作N1M1⊥l，交x轴于点M1；过点M1作M1N2⊥x轴，交直线于N2；过点N2作N2M2⊥l，交x轴于点M2；过点M2作M2N3⊥x轴，交直线l于点N3；…，按此作法进行下去，则点M2021的坐标为 ．
【考点】规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】规律型；数形结合；数学建模思想；几何直观．【答案】（22021，0）．【分析】因为直线解析式为y＝x，故可以证明直线l是第一象限的角平分线，所以∠N1OM1＝45°，所以可以证明△N1OM1为等腰直角三角形，可以利用N1的坐标求出OM1的长度，得到其坐标，用同样的方法求得M2，M3，...，即可解决．【解答】解：如图1，过N1作N1E⊥x轴于N，过N1作N1F⊥y轴于F，∵N1（1，1），∴N1E＝N1F＝1，∴∠N1OM1＝45°，∴∠N1OM＝∠N1M1O＝45°，∴△N1OM1是等腰直角三角形，∴N1F＝OF＝FM1＝1，∴OM1＝2，∴M1（2，0），同理，△M2ON2是等腰直角三角形，∴OM2＝2OM1＝4，∴M2（4，0），同理，OM3＝2OM2＝22OM1＝23，∴，∴，
∴M4（24，0），依次类推，故M2021（22021，0），故答案为（22021，0）．20如图，直线AB与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且AB＝BC，连接OA．已知△OAC的面积为12，则k的值为 ．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．【答案】8．【分析】根据题意设B（，a），A（，2a），利用待定系数法表示出直线AB的解析式为y＝﹣x+3a，则C（，0），根据三角形面积公式得到××2a＝12，从而得到k的值．【解答】解：设AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，∵AM∥BN，
∴＝，∵AB＝BC，∴＝，设B（，a），A（，2a），设直线AB的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3a，当y＝0时，﹣x+3a＝0，解得x＝，∴C（，0），∵△OAC的面积为12，∴××2a＝12，∴k＝8，故答案为8．21先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝2，b＝1．【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【答案】，3．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：÷（a﹣）＝÷＝＝，当a＝2，b＝1时，原式＝＝3．22.x取哪些正整数值时，不等式5x+2＞3（x﹣1）与≤都成立？【考点】一元一次不等式组的整数解．【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力．【答案】1、2、3．【分析】根据题意分别求出每个不等式解集，根据口诀：大小小大中间找，确定两不等式解集的公共部分，即可得正整数值．【解答】解：根据题意解不等式组，解不等式①，得：x＞﹣，解不等式②，得：x≤3，∴﹣＜x≤3，故满足条件的正整数有1、2、3．23学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长t（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A：t＜8，B：8≤t＜9，C：9≤t＜10，D：t≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：（1）小明一共抽样调查了 名同学；在扇形统计图中，表示D组的扇形圆心角的度数为 ；（2）将条形统计图补充完整；（3）小明所在学校共有1400名学生，估计该校最近一周大约有多少名学生睡眠时长不足8小时？（4）A组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率．【考点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】（1）40、18°；（2）见解答；（3）140人；（4）．【分析】（1）由B组人数及其所占百分比求出总人数，用360°乘以D组人数所占比例即可；（2）根据四组总人数为40人求出C组人数，从而补全图形；（3）用总人数乘以样本中A组人数所占比例；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）本次调查的学生人数为22÷55%＝40（名），表示D组的扇形圆心角的度数为360°×＝18°，
故答案为：40、18°；（2）C组人数为40﹣（4+22+2）＝12（名），补全图形如下：（3）估计该校最近一周睡眠时长不足8小时的人数约为1400×＝140（名）；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，所以恰好选中1男1女的概率为＝．24如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD，BE．（1）求证：DB＝DE；（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长．
【考点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力；应用意识．【答案】（1）见解析；（2）6．【分析】（1）依据三角形内心的性质可得∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，由圆周角定理的推论可得∠CAD＝∠CBD＝∠BAD．从而可证∠BED＝∠DBE，根据等角对等边即可得结论；（2）由∠D＝∠D，∠DBF＝∠CAD＝∠BAD，即可判定△ABD∽△BFD，所以，设EF＝x，可化为，解得x＝2，从而可求DB的长．【解答】（1）证明：∵点E是△ABC的内心，∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，又∵∠CAD与∠CBD所对弧为，∴∠CAD＝∠CBD＝∠BAD．∴∠BED＝∠ABE+∠BAD，∠DBE＝∠CBE+∠CBD，即∠BED＝∠DBE，故DB＝DE．（2）解：∵∠D＝∠D，∠DBF＝∠CAD＝∠BAD，∴△ABD∽△BFD，∴①，∵DF＝4，AE＝3，设EF＝x，由（1）可得DB＝DE＝4+x，则①式化为，解得：x1＝2，x2＝﹣6（不符题意，舍去），则DB＝4+x＝4+2＝6．
25某中学计划暑假期间安排2名老师带领部分学生参加红色旅游．甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师、学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：两位老师全额收费，学生都按七五折收费．（1）设参加这次红色旅游的老师学生共有x名，y甲，y乙（单位：元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用，求y甲，y乙关于x的函数解析式；（2）该校选择哪家旅行社支付的旅游费用较少？【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【答案】（1）y甲＝800x，y乙＝750x+500；（2）当老师学生数超10人时，选择乙旅行社支付的旅游费用较少；当老师学生数为10人时，两旅行社支付的旅游费用相同；当老师学生数少于10人时，选择甲旅行社支付的旅游费用较少．【分析】（1）甲旅行社需要的费用为：0.8×1000x，；乙旅行社的收费为：2×1000+0.75×1000×（x﹣2）；（2）分别用小于号，等于号，大于号连接表示两个旅行社费用的代数式，计算得到费用少的方案即可．【解答】解：（1）y甲＝0.8×1000x＝800x，y乙＝2×1000+0.75×1000×（x﹣2）＝750x+500；（2）①y甲＜y乙，800x＜750x+500，解得x＜10，②y甲＝y乙，
800x＝750x+500，解得x＝10，③y甲＞y乙，800x＞750x+500，解得x＞10，答：当老师学生数超10人时，选择乙旅行社支付的旅游费用较少；当老师学生数为10人时，两旅行社支付的旅游费用相同；当老师学生数少于10人时，选择甲旅行社支付的旅游费用较少．26如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F．（1）求证：BD＝CE，BD⊥CE；（2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（1）见解答过程；（2）AF∥CD，理由见解答．【分析】（1）通过SAS证明△ABD≌△CAE，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，再利用三角形内角和定理可证BD⊥CE；（2）作AG⊥BF，AH⊥CE，由全等知AG＝AH，从而得到AF平分∠BFE，证出∠AFD＝∠GDC＝45°，从而证出平行．【解答】证明（1）如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，又∵∠AOB＝∠COF，∴∠BFC＝∠BAC＝90°，∴BD⊥CE；（2）AF∥CD，理由如下：如图2，作AG⊥BF于G，AH⊥CE于H，由（1）知△ABD≌△CAE，∴AG＝AH，又∵AG⊥BF，AH⊥CE，∴AF平分∠BFE，又∵∠BFE＝90°，∴∠AFD＝45°，∵∠BDC＝135°，∴∠FDC＝45°，∴∠AFD＝∠GDC，∴AF∥CD．27如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C
，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．（1）填空：点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，抛物线的解析式为 ；（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值；（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．【答案】（1）（1，0），（2，﹣1），y＝x2﹣4x+3；（2）（2，2）或（2，1）．【分析】（1）由对称轴为直线x＝2求出b的值，再将点B（3，0）代入y＝x2+bx+c即可求出函数的解析式；（2）分三种情况求函数在给定范围的最小值：当m+2＜2时，（m+2）2﹣4（m+2）+3＝；当m＞2时，m2﹣4m+3＝；当0≤m≤2时，与题意不符；（3）求出AC＝，AC的中点为E（，），设P（2，t），因为△PAC是以AC为斜边的直角三角形，则PE＝AC，列出方程即可求出t的值．【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2，∴b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x+c，
∵点B（3，0）是抛物线与x轴的交点，∴9﹣12+c＝0，∴c＝3，∴y＝x2﹣4x+3，令y＝0，x2﹣4x+3＝0，∴x＝3或x＝1，∴A（1，0），∵D是抛物线的顶点，∴D（2，﹣1），故答案为（1，0），（2，﹣1），y＝x2﹣4x+3；（2）当m+2＜2时，即m＜0，此时当x＝m+2时，y有最小值，则（m+2）2﹣4（m+2）+3＝，解得m＝，∴m＝﹣；当m＞2时，此时当x＝m时，y有最小值，则m2﹣4m+3＝，解得m＝或m＝，∴m＝；当0≤m≤2时，此时当x＝2时，y有最小值为﹣1，与题意不符；综上所述：m的值为或﹣；（3）A（1，0），C（0，3），∴AC＝，AC的中点为E（，），设P（2，t），∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形，∴PE＝AC，
∴＝，∴t＝2或t＝1，∴P（2，2）或P（2，1），∴使△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，P点坐标为（2，2）或（2，1）．
