专题09不等式一、选择题部分1.(2021•高考全国乙卷•文T5)若满足约束条件则的最小值为（）A.18B.10C.6D.4【答案】C．【解析】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由可得点,转换目标函数为，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，此时.故选C.2.(2021•高考全国乙卷•文T8)下列函数中最小值为4的是（）A.B.C.D.【答案】C．【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；23,对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选C．3.(2021•浙江卷•T5)若实数x，y满足约束条件，则最小值是（）A.B.C.D.【答案】B．【解析】画出满足约束条件的可行域，如下图所示：目标函数化为，由，解得，设，当直线过点时，取得最小值为.23,4.(2021•河南郑州三模•理T7)若x，y满足条件，当且仅当x＝5，y＝6时，z＝ax﹣y取最小值，则实数a的取值范围是（ ）A．（﹣1，）B．（﹣，1）C．（﹣1，）D．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）【答案】C．【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：其中C（5，6），3x﹣5y+15＝0的斜率kAC＝，y＝﹣x+11的斜率kBC＝﹣1由z＝ax﹣y得y＝ax﹣z，要使在C（5，6）处取得最小值，则直线在C（5，6）处的截距最大，当a＝0时，y＝﹣z，此时满足条件，当a＞0时，要满足条件，则满足0＜a＜kAC＝，当a＜0时，要满足条件，则满足kBC＜a＜0，即﹣1＜a＜0，综上﹣1＜a＜，5.(2021•河南焦作三模•理T8)已知x，y满足约束条件，则z＝ax+y（a为常数，且1＜a＜3）的最大值为（ ）A．﹣aB．2aC．﹣2a+3D．223,【答案】D．【解析】由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（0，2），由z＝ax+y，得y＝﹣ax+z，由图可知，当直线y＝﹣ax+z过A（0，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2．6.(2021•江西上饶三模•理T5．)已知a＝log38，b＝0.910，c＝，则（ ）A．c＞a＞bB．a＞c＞bC．a＞b＞cD．b＞c＞a【答案】A．【解析】因为a＝log38∈（1，2），b＝0.910∈（0，1）），c＝＝21.1＞2，所以c＞a＞b．7.(2021•江西上饶三模•理T6．)已知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且＝m+2n（m＞0，n＞0），则的最小值是（ ）A．10B．9C．8D．4【答案】C．【解析】由“A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且＝m+2n”可知m+2n＝1（m＞0，n＞0），∴＝（m+2n）()＝4++≥4+2＝8,当且仅当即时取“＝”．∴的最小值是8．8.(2021•安徽马鞍山三模•文T11．)已知椭圆经过点（3，1），当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时，其标准方程为（ ）23,A．B．C．D．【答案】D．【解析】由题意椭圆经过点（3，1），可得：（a＞b＞0），该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长l＝4．∴a2+b2＝（a2+b2）（）＝10+≥10+2＝16，当且仅当a2＝9b2时，即b＝，a＝3取等号．∴周长l的最小值：4×4＝16．∴椭圆方程：．9.(2021•河北张家口三模•T11)已知正数a，b满足（a﹣1）b＝1，则（ ）A．a+b≥3B．2＞4C．2log2a+log2b≥2D．a2+b2＞2a【答案】ACD．【解析】由（a﹣1）b＝1，得，又b＞0，所以，当且仅当b＝，即b＝1时取等号；因为，所以当b＝2时，，此时；，当且仅当b＝，即b＝1时取等号，所以2log5a+log2b≥2，故C正确；又（a﹣5）2+b2≥6（a﹣1）b＝2，当且仅当a﹣8＝b时取等号，所以a2+b2≥8+2a＞2a，故D正确．23,10.(2021•山东聊城三模•T11.)已知实数a、b，下列说法一定正确的是（ ）A. 若a<b，则(27)b<(27)a<(37)ab.>a>1，则logaba<12C. 若a>0，b>0，a+2b=1，则2a+1b的最小值为8D. 若b>a>0，则1+ab2>1+ba2【答案】B,C．【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数值大小的比较，基本不等式【解析】【解答】对于A，当a=0时，(27)a=(37)a，A不符合题意；对于B，若b>a>1，则1<a<ab，两边取对数得logaba<logabab=12，b符合题意；对于c，若a>0，b>0，a+2b=1，则2a+1b=(2a+1b)(a+2b)=4+4ba+ab≥4+24ba⋅ab=8，当且仅当4ba=ab，即a=2b=12时等号成立，C符合题意；对于D，取a=1,b=2，1+ab2=24=12<1+21=3，D不符合题意；故答案为：BC【分析】A由特值可判A错误。B由已知得1<a<ab，两面取对数可推得b正确。c由基本不等式可推得c正确。d由特值可判断d错误。11.(2021•安徽蚌埠三模•文t3．)下面四个条件中，使a＞b成立的必要不充分条件是（>40=1，b=log0.34<log0.31=0，0<c=0.34<0.30=1，即a>1，b<0，0<a<1，故b<c<a.故选：b.利用指数函数与对数函数的单调性将a，b，c与特殊值0，1比较，即可得到答案．本题考查了函数值大小的比较，主要考查了运用指数函数与对数函数的单调性比较大小，属于基础题．二、填空题部分37.(2021•山西调研二模•文t13)若x，y满足约束条件x+y+1≥02x-y≥0x≤1，则z=x-3y的最大值为______.【答案】7．【解析】由约束条件作出可行域如图，联立x=1x+y+1=0，解得a(1,-2)，化z=x-3y为y=x3-z3，由图可知，当直线y=x3-z3过a时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为7.故答案为：7.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．38.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文t13．)不等式的解集是>ay，a<0，则x>y”是假命题的一组整数x，y的值依次为______.【答案】-1，1(满足x<0，y>0，x，y∈Z均可)【解析】当ax>ay，a<0，可得1x<1y，①当x，y同号时，可得x>y，②当x，y异号时，y>0>x.故取整数x，y满足y>0>x即可．23,故答案为：-1，1.当ax>ay，a<0，可得1x<1y，分x，y同号和异号讨论即可求得答案．本题考查了命题真假判定、倒数的性质，属于中档题．50.(2021•安徽宿州三模•理T13．)已知实数x，y满足，目标函数z＝3x+2y的最大值为 ．【答案】14．【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，4），化z＝3x+2y为y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3×2+2×4＝14．51.(2021•江西鹰潭二模•理T13．)已知实数x，y满足不等式组，则目标函数z＝x﹣2y的最大值为 ．【答案】0．【解析】由约束条件作出可行域如图，23,联立，解得A（2，1），由z＝x﹣2y，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2﹣1×2＝0．52.(2021•浙江杭州二模•理T15．)已知x，y，z为正实数，且x2+y2+z2＝1，则的最小值为 ．【答案】3+2．【解析】因为x，y，z为正实数，且x2+y2+z2＝1，所以1﹣z2＝x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y时取等号，则≥＝＝＝3+2，当且仅当1+z＝，即z＝时取等号，此时取得最小值3+2．23</a<1，故b<c<a.故选：b.利用指数函数与对数函数的单调性将a，b，c与特殊值0，1比较，即可得到答案．本题考查了函数值大小的比较，主要考查了运用指数函数与对数函数的单调性比较大小，属于基础题．二、填空题部分37.(2021•山西调研二模•文t13)若x，y满足约束条件x+y+1≥02x-y≥0x≤1，则z=x-3y的最大值为______.【答案】7．【解析】由约束条件作出可行域如图，联立x=1x+y+1=0，解得a(1,-2)，化z=x-3y为y=x3-z3，由图可知，当直线y=x3-z3过a时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为7.故答案为：7.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．38.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文t13．)不等式的解集是></log0.31=0，0<c=0.34<0.30=1，即a></a<ab，两面取对数可推得b正确。c由基本不等式可推得c正确。d由特值可判断d错误。11.(2021•安徽蚌埠三模•文t3．)下面四个条件中，使a＞b成立的必要不充分条件是（></a<ab，两边取对数得logaba<logabab=12，b符合题意；对于c，若a></b，则(27)b<(27)a<(37)ab.>
