专题17复数一、选择题部分1.(2021•新高考全国Ⅰ卷•T2)已知，则（）A.B.C.D.【答案】C．【解析】因为，故，故故选C.2.(2021•高考全国甲卷•理T3)已知，则（）A.B.C.D.【答案】B．【解析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.，.故选B.3.(2021•高考全国乙卷•文T2)设，则（）A.B.C.D.【答案】C．【解析】由题意可得：.故选C.4.(2021•浙江卷•T2)已知，，(i为虚数单位)，则（）A.B.1C.D.3【答案】C．【解析】，利用复数相等的充分必要条件可得：.故选C.5.(2021•江西上饶三模•理T2．)已知复数z1＝1+i，z2＝3﹣i在复平面内对应的向量分别为，，则的模为（ ）A．B．C．4D．2【答案】D．-11-
【解析】∵复数z1＝1+i，z2＝3﹣i在复平面内对应的向量分别为，，∴＝(1,1),＝(3,﹣1),∴＝﹣＝(2,﹣2),∴＝＝2．6.(2021•江苏盐城三模•T2)若复数z满足|z－i|≤2，则z的最大值为A．1B．2C．4D．9【答案】D．【考点】复数的运算【解析】由题意可知，设z＝a＋bi，则|z－i|＝|a＋(b－1)i|≤2，即a2＋(b－1)2≤4，不妨设a＝2cosθ，b＝2sinθ＋1，则z＝a2＋b2＝4cos2θ＋2sin2θ＋4sinθ＋1＝5＋4sinθ≤9，故答案选D．7.(2021•河南郑州三模•理T2)1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix＝cosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式可知，设复数z＝，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（ ）A．B．iC．D．i【答案】C．【解析】eix＝cosx+isinx，复数z＝，＝＝×＝＝i，所以复数的虚部为：．8.(2021•河南开封三模•文理T2)设复数z满足|z|＝|z﹣i|＝1，且z的实部大于虚部，则z＝（ ）A．B．C．D．【答案】B．【解析】设z＝a+bi，（a，b∈R），∵复数z满足|z|＝|z﹣i|＝1，∴＝1，＝1，即x2+y2＝1，x2+y2﹣2y＝0，-11-
解得y＝，x＝±，∵z的实部大于虚部，∴x＝，∴z＝+i．9.(2021•河南焦作三模•理T2)已知复数z满足|z﹣2|＝1，则|z|的最大值为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C．【解析】因为|z﹣2|＝1，所以z在复平面内所对应的点Z到点（2，0）的距离为1，所以点Z的轨迹为以（2，0）为圆心，1为半径的圆，所以|z|的取值范围为[1，3]，则|z|的最大值为3．10.(2021•河北张家口三模•T2)若复数z满足＝，则在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D．【解析】由已知得，所以＝1﹣2i，所以在复平面内对应的点（1，-2）．11.(2021•山东聊城三模•T2.)已知a∈R，i为虚数单位，若a-3i2+4i为实数，则a的值为（）A. 32B. 23C.-23D.-32【答案】D．【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】a-3i2+4i=(a-3i)(2-4i)(2+4i)(2-4i)=2a-12-(4a+6)i20，若其为实数，则4a+6=0，即a=-32．故答案为：D．【分析】根据复数乘除运算和复数概念即可求得。12.(2021•四川内江三模•理T1．)复数的共轭复数是（ ）A．1﹣iB．1+iC．﹣1﹣iD．﹣1+i【答案】A．【解析】∵＝，-11-
∴复数的共轭复数是1﹣i．13.(2021•重庆名校联盟三模•T2．)若复数z满足|z﹣1+i|＝|1﹣2i|，其中i为虚数单位，则z对应的点（x，y）满足方程（ ）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5B．（x﹣1）2+（y+1）2＝5C．（x+1）2+（y﹣1）2＝5D．（x+1）2+（y+1）2＝5【答案】B．【解析】设z＝x+yi，∵|z﹣1+i|＝|1﹣2i|，∴|（x﹣1）+（y+1）i|＝|1﹣2i|，∴＝，故（x﹣1）2+（y+1）2＝5．14.(2021•安徽蚌埠三模•文T1．)复数z满足（1+i）•z＝1﹣i，则的虚部为（ ）A．1B．﹣1C．iD．﹣i【答案】A．【解析】∵（1+i）•z＝1﹣i，∴（1﹣i）（1+i）•z＝（1﹣i）（1﹣i），化为2z＝﹣2i，解得z＝﹣i，则＝i的虚部为1．15.(2021•贵州毕节三模•文T2．)若复数z满足z（2﹣i）＝1（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D．【解析】由题意得z＝＝＝，则＝在复平面内对应的点在第四象限．16.(2021•河南济源平顶山许昌三模•文T2．)若复数z满足|z﹣3i|＝3，i为虚数单位，则|z﹣4|的最大值为（ ）A．8B．6C．4D．2【答案】A．【解析】由|z﹣3i|＝3，可知复数z对应点的轨迹为以B（0，3）为圆心，以3为半径的圆上，如图：-11-
则|z﹣4|的最大值为|AB|+3＝5+3＝8．17.(2021•四川泸州三模•理T2．)复数z＝，则其共轭复数＝（ ）A．﹣1﹣iB．﹣1+iC．1﹣iD．1+i【答案】A．【解析】化简可得复数z＝＝＝＝﹣1+i，∴复数z的共轭复数为：﹣1﹣i．18.(2021•江苏常数三模•T6．)已知i为虚数单位，则复数z＝1+2i+3i2+⋯+2020i2019+2021i2020的虚部为（ ）A．﹣1011B．﹣1010C．1010D．1011【答案】B．【解析】因为z＝1+2i+3i2+⋯+2020i2019+2021i2020，所以iz＝i+2i2+3i3+⋯+2020i2019+2021i2020+2021i2021，两式相减可得，（1﹣i）z＝1+i+i2+···+i2020﹣2021i2021＝，所以z＝，所以复数z的虚部为﹣1010．19.(2021•湖南三模•T2．)已知z在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1），则＝（ ）A．1﹣3iB．3+iC．1﹣iD．2﹣i【答案】B．【解析】因为z在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1），所以z＝2﹣i，-11-
故．20.(2021•福建宁德三模•T1)复平面内复数z1，z2对应的点关于实轴对称，若z1=3+4i，则z1z2=( )A.7-24iB.-7-24iC.-25D.25【答案】D．【解析】∵复平面内复数z1，z2对应的点关于实轴对称，z1=3+4i，∴z2=3-4i，∴z1z2=(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9+16=25，故选：D.根据复数在复平面内的几何意义求出复数z2，再利用复数的四则运算求解．本题主要考查了复数在复平面内的几何意义，考查了复数的四则运算，是基础题．21.(2021•江西南昌三模•理T2．)若复数z满足（1+i）（z﹣2）＝2i，则＝（ ）A．3+iB．3﹣iC．﹣3+iD．﹣3﹣i【答案】B．【解析】由（1+i）（z﹣2）＝2i，得z＝2+＝2+＝2+i（1﹣i）＝3+i，所以＝3﹣i．22.(2021•安徽宿州三模•理T2．)i为虚数单位，已知复数z＝，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A．【解析】∵i4＝1，∴i2021＝（i4）505•i＝i，∴复数z＝＝＝＝＝﹣i，则z的共轭复数＝+i在复平面内对应的点（，）位于第一象限．23.(2021•安徽宿州三模•文T2．)设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）＝（1﹣i），则复数z的模|z|＝（ ）A．﹣1B．1C．D．2【答案】B．【解析】，所以有|z|＝1．24.(2021•安徽马鞍山三模•理T2．)若复数（1+i）（a﹣i）（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（ ）-11-
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）【答案】B．【解析】复数（1+i）（a﹣i）＝a+1+（a﹣1）i，在复平面内对应的点在第三象限，∴a+1＜0，a﹣1＜0，解得：a＜﹣1．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．25.(2021•安徽马鞍山三模•文T2．)已知复数（i是虚数单位），z的共轭复数记作，则＝（ ）A．B．C．D．【答案】A．【解析】∵，∴，|z|＝，则＝．26.(2021•江西鹰潭二模•理T2．)若复数z满足（1+i）z＝|2+i|，则复数z的虚部是（ ）A．B．C．D．【答案】A．【解析】复数z满足（1+i）z＝|2+i|，∴（1﹣i）（1+i）z＝（1﹣i）•，∴z＝﹣i，则复数z的虚部是﹣．27.(2021•河北秦皇岛二模•理T2．)复数z＝的共轭复数在复平面内对应点坐标为（ ）A．（4，﹣3）B．（4，3）C．（﹣3，4）D．（3，4）【答案】B．【解析】复数z＝＝，所以复数z的共轭复数为，它在复平面内对应点坐标为（4，3）．28.(2021•江西上饶二模•理T2．)复数z满足z•i＝1+2i（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D．【解析】由z•i＝1+2i，得z＝，∴复数z在复平面内所对应的点的坐标为（2，﹣1），在第四象限．29.(2021•北京门头沟二模•理T1)复数z=2i1-i在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B．-11-
【解析】解：复数z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=2i(1+i)2=i-1在复平面内对应的点(-1,1)在第二象限，故选：B.利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．30.(2021•河北邯郸二模•理T9．)若复数z满足（2+i）z+5i＝0，则（ ）A．z的虚部为﹣2B．＝1+2iC．z在复平面内对应的点位于第二象限D．|z4|＝25【答案】AD．【解析】因为（2+i）z+5i＝0，所以，故z的虚部为﹣2，故选项A正确；，故选项B错误；z在复平面内对应的点位于第三象限，故选项C错误；|z4|＝|z|4＝|﹣1﹣2i|4＝25，故选项D正确．31.(2021•浙江杭州二模•理T2．)设复数z满足z•（3﹣i）＝10（i为虚数单位），则|z|＝（ ）A．3B．4C．D．10【答案】C．【解析】由z•（3﹣i）＝10得z＝＝＝3+i，则|z|＝．32.(2021•江西九江二模•理T2．)已知复数z＝，则|z|＝（ ）A．0B．C．2D．﹣2【答案】B．【解析】∵＝，|z|＝．33.(2021•广东潮州二模•T2．)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D．【解析】复数＝＝，共轭复数对应点的坐标（，﹣）在第四象限．34.(2021•山东潍坊二模•T2．)在复数范围内，已知p，q为实数，1﹣i是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，则p+q＝（ ）A．2B．1C．0D．﹣1【答案】C．-11-
【解析】因为1﹣i是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，则1+i是方程x2+px+q＝0的另一个根，由韦达定理可得1+i+（1﹣i）＝﹣p，（1+i）（1﹣i）＝q，解得p＝﹣2，q＝2，所以p+q＝0．35.(2021•浙江丽水湖州衢州二模•T1．)已知复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝（ ）A．B．C．D．2【答案】C．【解析】z＝＝＝3﹣i，其中i为虚数单位，则|z|＝＝．36.(2021•安徽淮北二模•文T2．)设复数z＝i2021+1（i是虚数单位），是z的共轭复数，则﹣z2＝（ ）A．3﹣iB．1+3iC．﹣1﹣iD．1﹣3i【答案】D．【解析】∵z＝i2021+1＝（i4）505•i+1＝i+1，∴，则﹣z2＝1﹣i﹣（1+i）2＝1﹣i﹣1﹣2i+1＝1﹣3i．37.(2021•宁夏银川二模•文T2．)复数z满足（1﹣i）z＝1﹣i3，则复数z＝（ ）A．iB．﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i【答案】A．【解析】（1﹣i）z＝1﹣i3，∴（1﹣i）z＝1+i，∴（1+i）（1﹣i）z＝（1+i）（1+i），∴2z＝2i，解得z＝i．38.(2021•河南郑州二模•文T2．)设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（ ）A．B．C．D．2【答案】C．【解析】∵（1+i）z＝2i，∴（1﹣i）（1+i）z＝2i（1﹣i），z＝i+1．则|z|＝．39.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文T2．)已知复数z＝1﹣i，则＝（ ）A．2B．﹣2C．2iD．﹣2i【答案】A．【解析】将z＝1﹣i代入得．-11-
40.(2021•吉林长春一模•文T2.)已知复数z满足zi=2+2i(i为虚数单位)，z-为复数z的共轭复数，则z⋅z-=( )A.2B.6C.2D.6【答案】D．【解析】解：复数z满足zi=2+2i(i为虚数单位)，∴zi(-i)=(2+2i)(-i)，∴z=-2-2i，z-=-2+2i，则z⋅z-=(-2-2i)(-2+2i)=(-2)2+22=6，故选：D.利用复数的运算法则、共轭复数的性质即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题部分41.(2021•吉林长春一模•文T15.)若复数满足则.【答案】．【解析】设有．42.(2021•辽宁朝阳二模•T14．)已知|z+i|+|z﹣i|＝6，则复数z在复平面内所对应点P（x，y）的轨迹方程为 ．【答案】+＝1．【解析】∵复数z在复平面内所对应点P（x，y），又|z+i|+|z﹣i|＝6，∴+＝6，即点P（x，y）到点A（0，﹣），和B（0，﹣）的距离之和为：6，且两定点的距离为：2＜6，故点P的运动轨迹是以点AB为焦点的椭圆，且2a＝6，2c＝2，故b＝＝2，∴复数z在复平面内所对应点P（x，y）的轨迹方程为：+＝1．43.(2021•天津南开二模•T10．)若复数z＝2i+，其中i是虚数单位，则复数z的模为 ．【答案】．-11-
【解析】复数z＝2i+＝2i+，则复数|z|＝．44.(2021•上海嘉定三模•T3．)若复数z＝（1+i）•i（其中i为虚数单位），则共轭复数＝ ．【答案】﹣1﹣i．【解析】由已知得，z＝（1+i）⋅i＝﹣1+i，则＝﹣1﹣i．45.(2021•辽宁朝阳三模•T13．)写出一个虚数z，使得z2+3为纯虚数，则z＝ 1+2i ．【答案】1+2i．【解析】设z＝a+bi（a，b∈R，b≠0），则z2+3＝（a+bi）2+3＝a2﹣b2+3﹣2abi为纯虚数，∴a2﹣b2+3＝0，2ab≠0，取a＝1，b＝2，则z＝1+2i．46.(2021•上海浦东新区三模•T8．)若复数z＝x+yi（x，y∈R，i为虚数单位）满足|x|+|y|≤1，则z在复平面上所对应的图形的面积是 2 ．【答案】2．【解析】因为复数z＝x+yi（x，y∈R，i为虚数单位）满足|x|+|y|≤1，所以复数z在复平面上所对应的图形为边长为的正方形内部（包括边界），又正方形的面积为，所以z在复平面上所对应的图形的面积是2．47.(2021•宁夏中卫三模•理T13．)已知i为虚数单位，复数z＝（2+i3）（1﹣ai）为实数，则z＝ ．【答案】．【解析】∵z＝（2+i3）（1﹣ai）＝（2﹣i）（1﹣ai）＝（2﹣a）﹣（2a+1）i为实数，∴2a+1＝0，即a＝，则z＝2﹣（﹣）＝2+＝．-11-
