第四章曲线运动第4讲万有引力定律以及应用【教学目标】1、了解开普勒对行星运动的描述；2、掌握万有引力定律的内容、公式和适用范围；3、能熟练解析万有引力定律在天文学上的应用问题【重、难点】1、天体运动的向心力是由万有引力提供的；2、天体质量和密度的估算【知识梳理】（1）所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。（）（2）行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。（）（3）只有天体之间才存在万有引力。（）18
（4）只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力。（）（5）地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。（）（6）两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。（）（1）德国天文学家开普勒提出天体运动的开普勒三大定律。（2）总结了前人的科研成果，在此基础上，经过研究得出了万有引力定律。（3）英国物理学家利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量，因此被人们称为“能称出地球质量的人”考点一开普勒行星运动定律与万有引力定律例1、关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律变式1、火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A．太阳位于木星运行轨道的中心B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积变式2、北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由35颗卫星组成，卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中轨道和倾斜轨道。其中，同步轨道半径大约是中轨道半径的18
1.5倍，那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为( )A． B．C．D．（1）行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。（2）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。（3）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。考点二万有引力的“两点理解”1．两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．2．地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力．如图所示，地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向．（1）在赤道上：G＝mg1＋mω2R（2）在两极上：G＝mg218
（3）在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和．综上所述重力大小：两个极点处最大，等于万有引力；赤道上最小，其他地方介于两者之间，但差别很小。重力方向：在赤道上和两极点的时候指向地心，其他地方都不指向地心，但与万有引力的夹角很小。由于地球自转缓慢，物体需要的向心力很小，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有：地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即≈mg说明：由于地球自转的影响，从赤道到两极，重力的变化为千分之五；地面到地心的距离每增加一千米，重力减少不到万分之三，所以，在近似的计算中，认为重力和万有引力相等例2、设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G，假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为（）A．B．C．D．考点三万有引力的三种计算思路1．用万有引力定律计算质点间的万有引力公式F＝G适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算。当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线。例3、（多选）如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是( )18
A．地球对一颗卫星的引力大小为B．一颗卫星对地球的引力大小为C．两颗卫星之间的引力大小为D．三颗卫星对地球引力的合力大小为2．用万有引力定律的两个推论计算万有引力推论Ⅰ：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零；推论Ⅱ：如图所示，在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M′）对它的引力，即F＝G。例4、如图所示，有人设想要“打穿地球”从中国建立一条通过地心的光滑隧道直达巴西。若只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度( )A．一直增大 B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大3．填补法求解万有引力运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了思想。18
例5、如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）( )A．G B．0C．4GD．G（1）万有引力定律只适用于求质点间的万有引力。（2）在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀，不可再随意视为质点处理。（3）可以采用先填补后运算的方法计算万有引力大小。考点四万有引力定律在天文学上的应用1．解决天体（卫星）运动问题的基本思路[（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即：G＝man＝m＝mω2r＝m（2）在中心天体表面或附近时，万有引力近似等于重力，即G＝mg（g表示天体表面的重力加速度）．（3）GM＝gR2称为黄金代换公式。例6、火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行周期为T1，神州飞船在地球表面附近圆形轨道运行周期为T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T1、T2之比为（）A．B．C．D．变式3、（多选18
）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转周期为T，地球同步卫星离地面的高度为h，则地球同步卫星的线速度的大小可以表示为（）A．B．C．D．2．天体质量M、密度ρ的估算（1）“自力更生”法（g－R）：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R由于：G＝mg，故天体质量：M＝，天体密度：ρ＝==；（2）“借助外援”法（T－r）：通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量：M＝；②若已知天体半径R，则天体的平均密度：ρ＝==；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的，就可估算出中心天体的密度．例7、过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，该中心恒星与太阳的质量比约为（ ）A．B．1C．5D．10例8、假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常数为G，则地球的密度为（）A．B．C．D．变式4、一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为（ ）18
A．B．C．D．变式5、（多选）公元2100年，航天员准备登陆木星，为了更准确了解木星的一些信息，到木星之前做一些科学实验，当到达与木星表面相对静止时，航天员对木星表面发射一束激光，经过时间t，收到激光传回的信号，测得相邻两次看到日出的时间间隔是T，测得航天员所在航天器的速度为v，已知引力常量G，激光的速度为c，则（ ）A．木星的质量M＝B．木星的质量M＝C．木星的质量M＝D．根据题目所给条件，可以求出木星的密度一、估算天体质量和密度时应注意的问题1．利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量．2．区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径．考点五天体表面的重力加速度问题重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力等于万有引力，即mg＝，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。1．求天体表面的重力加速度例9、某行星的半径是地球半径的3倍，质量是地球质量的36倍。则该行星表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的（ ）A．4倍 B．6倍 C．1/4倍 D．12倍变式6、一名宇航员来到某星上，此星的密度为地球的一半，半径也为地球的一半，则他受到的“重力”为在地球上所受重力的（ ）18
A．1/4 B．1/2C．2倍 D．4倍2．求天体表面某深度处的重力加速度例10、假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（）A．1－B．1+C．D．3．求天体表面某高度处的重力加速度例11、由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7000米分别排在第一、第二．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。则“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为（ ）A．B．C．D．4．天体表面重力加速度与抛体运动的综合例12、（2015·海南高考）若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶。已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R。由此可知，该行星的半径约为( )A．RB．RC．2RD．R【能力展示】【小试牛刀】1．如图所示，质量为m1和m2的两个物体用细线相连，在大小恒定的拉力F作用下，先沿光滑水平面，再沿光滑斜面，最后竖直向上运动．在三个阶段的运动中，线上拉力的大小（ ）18
A．由大变小B．由小变大C．始终不变D．由大变小再变大2．宇宙飞船进入一个围绕太阳的近乎圆形的轨道运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（）A．3年B．81年C．9年D．27年3．某行星的卫星，在靠近行星的轨道上运动，若要计算行星的密度，唯一要测量出的物理是（）A．行星的半径B．卫星的半径C．卫星运行的线速度D．卫星运行的周期4．（多选）探测器探测到土星外层上有一个环。为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来确定（）A．若v∝R，则该环是土星的一部分B．若v2∝R，则该环是土星的卫星群C．若v∝1/R，则该环是土星的一部分D．若v2∝1/R，则该环是土星的卫星群5．一物体静止在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（）A． B． C． D．6．（多选）设想人类开发月球，不断地把月球上的矿藏搬运到地球上．假如经过长时间开采后，地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动则与开采前比较（）A．地球与月球间的万有引力将变大B．地球与月球间的万有引力将减小C．月球绕地球运动的周期将变长D．月球绕地球运动的周期将变短7．（多选）某人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t（t小于航天器的绕行周期），航天器运动的弧长为s，航天器与月球的中心连线扫过的角度为θ，引力常量为G，则( )A．航天器的轨道半径为 B．航天器的环绕周期为C．月球的质量为D．月球的密度为8．宇航员站在某一星球距表面h高度处，以某一速度沿水平方向抛出一个小球，经过时间t18
后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，则该星球的质量为( )A．B．C．D．9．（多选）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计。则( )A．g′∶g＝5∶2B．g′∶g＝1∶5C．M星∶M地＝1∶20D．M星∶M地＝1∶8010．科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的。电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样。若某黑洞的半径R约为45km，质量M和半径R的关系满足＝（其中c＝3×108m/s，G为引力常量），则该黑洞表面的重力加速度大约为( )A．108m/s2 B．1010m/s2C．1012m/s2D．1014m/s211．（多选）设地球半径为R，质量为m的卫星在距地面R高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，则（）A．卫星的线速度为B．卫星的角速度为C．卫星的加速度为D．卫星的周期为212．（多选）如图所示，在绕地运行的天宫一号实验舱中，宇航员王亚平将支架固定在桌面上，摆轴末端用细绳连接一小球．拉直细绳并给小球一个垂直细绳的初速度，它做圆周运动．在a、b两点时，设小球动能分别为Eka、Ekb，细绳拉力大小分别为Ta、Tb，阻力不计，则（）18
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A．Eka>EkbB．Eka=EkbC．Ta>TbD．Ta=Tb13．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的（忽略其自转影响）( )A．B．4倍C．16倍D．64倍【大显身手】14．据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的a倍，质量是地球的b倍。已知近地卫星绕地球运动的周期约为T，引力常量为G。则该行星的平均密度为( )A．B．C．D．15．已知一质量为m的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为ΔN，假设地球是质量分布均匀的球体，半径为R。则地球的自转周期为( )A．T＝2πB．T＝2πC．T＝2πD．T＝2π16．（多选）如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其它恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则（）18
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A．甲星所受合外力为B．乙星所受合外力为C．甲星和丙星的线速度相同D．甲星和丙星的角速度相同17．（多选）（2017·西安模拟）欧洲航天局的第一枚月球探测器——“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，用m表示它的质量，h表示它近月点的高度，ω表示它在近月点的角速度，a表示它在近月点的加速度，R表示月球的半径，g表示月球表面处的重力加速度。忽略其他星球对“智能1号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于( )A．m(R＋h)ω2 B．mC．maD．m18．（多选）如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是（）18
θP18
A．轨道半径越大，周期越长B．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度C．轨道半径越大，速度越大D．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度19．（多选）在某行星表面以不太大的初速度v0竖直上抛一物体，测得物体由抛出到返回到抛出点所用的时间为t，该行星的半径为R，万有引力恒量为G，则下列叙述正确的（）A．该行星表面的重力加速度g＝B．该行星的质量为M＝C．该行星的密度ρ＝D．该行星的第一宇宙速度v＝20．我国航天事业取得了突飞猛进地发展，航天技术位于世界前列。在航天控制中心对其正上方某卫星测控时，测得从发送“操作指令”到接收到卫星“已操作”的信息需要的时间为2t（设卫星接收到“操作指令”后立即操作，并立即发送“已操作”的信息到控制中心），测得该卫星运行周期为T，地球半径为R，电磁波的传播速度为c，由此可以求出地球的质量为( )A． B．C．D．第4讲万有引力定律以及应用答案例1、B变式1、C变式2、C例2、B例3、BC例4、D例5、D例6、D变式3、BC例7、B例8、B变式4、B变式5、B例9、A变式6、A例10、A例11、C例12、C【能力展示】1、C2、D3、D4、AD5、D6、BD7、BC8、B9、BD10、C11、AC12、BD13、D14、C15．B16．AD17、BC18、AD19、BD20、B18
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