高中数学高考冲刺数列题真题讲解

高中数学高考冲刺数列题真题讲解第一讲判断或证明数列是等差数列的方法等差数列是高中所学数列中的两个基本数列之一，正确判断一个数列是否为等差数列是研究等差数列的重要前提，根据高中知识特点，我们有如下几种常用的判断方法：1．定义法：（常数）（）是等差数列。（做解答题常用此法）2．递推法（等差中项法）：（）是等差数列。（做解答题常用此法）3．性质法：利用性质来判断。4．通项法：（为常数）是等差数列。（做选择题或填空题常用此法）5．求和法：（为常数，为的前项的和）是等差数列。（做选择题或填空题常用此法）6.数学归纳法（常用于解答题）例１　已知数列{}满足下列条件，判断数列{}是否为等差数列？若是等差数列，请指出公差是多少？(１)＝n+1(2)=(3)=n,(4)=+n(5)=解：（１）是等差数列，公差为１。（2）不是等差数列。　（３）是等差数列，公差为０。（4）是等差数列，公差为2。（5）不是等差数列。例2已知数列的前项和为，且满足，。⑴求证：是等差数列；⑵求的表达式；⑶若，求证：解：⑴由，得，两边同除以，得，即，是等差数列，公差是2，首项为。例3已知，，成等差数列，则，，是否也成等差数列？并说明你的理由。解：方法一：∵，，成等差数列，∴，即,∴∴，，也是等差数列。方法二：∵，，成等差数列，∴，即∴，，也是等差数列。方法三：∵，，成等差数列，∴，，也成等差数列，即，，也是等差数列，故，，也是等差数列。例4：设数列中，，且（），证明数列是等差数列，并求。解：由已知，去分母得，,，两边同除以，得，∴是以为首项，以2为公差的等差数列，故（）。经验证时也成立，所以（）。例5：设数列的前项和为，满足，且。⑴求的值；⑵求数列的通项公式。解：，，又，，，又，，，综上知，，；（２）由（１）猜想，下面用数学归纳法证明．①当时，结论显然成立；②假设当（）时，，则，又，，解得，，即当时，结论成立；由①②知，．,第二讲等差数列通项之比与前项和之比方法规律：解决已知等差数列的前项和之比，求项之比这样的问题，最简便的一种方法就是将项之比转化为和之比，转化的途径就是将式子变成前项和的形式；当然灵活应用等差数列的前项和公式及等差数列的性质是解决此类问题的基本思路。例1两个等差数列的前项之和分别为，满足对任意的都有成立，求。法一：，，，，同理，故法二：小结：法三：等差数列的前项和，其中是常数,可设，则，小结：数列是等差数列，首项，公差，前项和，,变式1：两个等差数列的前项之和分别为，满足对任意的都有成立，求。解：等差数列的前项和，其中是常数,可设，则，小结：由，求，方法二和方法三是通法。求，设，方法三是通法。变式2(2014全国数学竞赛陕西省预赛一试试题)已知两个等差数列的前项之和分别为，满足对任意的都成立，则。解：等差数列的通项公式可设为,其中是常数，故设，其中是常数，则，，故。小结：数列是等差数列数列的通项公式为,其中是常数数列的前项和，其中是常数,练习：1.等差数列的前项之和分别为，都有,，求。2.等差数列的前项之和分别为，都有，求。3.两个等差数列的前项之和分别为，满足对任意的都，求。4.（2013年“希望杯”数学竞赛试题）两个等差数列的前项之和分别为，满足对任意的都，求。第三讲等差数列前项和的性质例1等差数列的前项和为，满足求。法一：基本量法，求首项，公差由已知得则法二：由已知得则，故法三：设，其中是常数,,则，故，则法四：利用，数列是等差数列数列是等差数列，设，则，，公差为，通项为，故，则法五：同法四，先求得，则由，得，即，故。法六：由，得则法七：由等差数列性质得：数列是等差数列，即：三数，成等差数列，公差是600，故，。小结：由等差数列性质得：数列是等差数列。变式1：等差数列的前项和为，满足,求。分析：方法一至方法四均可解，是通法。下面用性质求解。解：由等差数列性质得：数列是等差数列，即数列：设，公差为，则，得，公差，。变式2：等差数列的前项和为，满足求。分析：方法一至方法四均可解。练习：1.等差数列的前项和为，满足求。2.等差数列的前项和为，若，则等于（）。3.等差数列的前项和为，若则等于（）。4.等差数列中，，则。,第四讲等差数列与数列前项和例1：已知等差数列中，，求数列的前项和。解：设，因则，得，，，从而，当时，，当时，综上：。小结：此类题的关键是找到通项中哪些是正数，哪些是负数，采用分类讨论，然后转化为等差数列或部分等差数列求和，变式1：已知等差数列中，，求数列的前项和。解：容易得，，，，,当时，，当时，综上：。小结：解决此类问题的关键是找到数列的征服分界点。通常有四种情形：①当时，；②当时，；③当时时，，，④当时时，，。练习：1.已知等差数列中，，求数列的前项和。2.已知等差数列中，，求数列。3.（2013浙江）已知公差为的等差数列中，成等比数列。,⑴求,;⑵若，求。4.已知数列，满足，且成等比数列，，求数列的前项和。,第五讲等差数列前项和的最值例1：在等差数列中，，，求的最大值。解：由，得，法一：，有二次函数的性质知，当时，有最大值169。法二：，，由，得，故当时，有最大值，。法三：由等差数列性质知，对称轴为，故当时，有最大值，。法四：，，又，故，故当时，有最大值，。变式1：在等差数列中，，，⑴求，⑵求前项和的最小值，并指出为何值时取最小值。解：容易求得，，。法一：由，得，又故当，有最小值,法二：，，故当，有最小值说明：当通项中有0时，存在两个取到最值。小结：此类问题的关键是找到通项中哪些是正数，哪些是负数。①当时，无最大值，有最小值；②当时，无最小值，有最大值；③当时时，有最大值，无最小值。④当时时，有最小值，无最大值练习：1.（浙江）设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是（）A.若，则数列有最大项；B.若数列有最大项，则；C.若数列是递增数列，则对任意，均匀；D.若对任意，均有，则数列是递增数列。2.（福建）等差数列的前项和为，，，则当的取最小值时，等于（）。3.等差数列前项和为，，，⑴求公差的取值范围；⑵中哪个最大值。4.在等差数列中，，，求当取何值时,有最小值。5（2014北京理12）若等差数列满足，则当时，的前项和最大。第六讲判断与证明等比数列的方法　掌握判定等比数列的方法,目的是深刻理解等比数列的基本概念,熟练应用有关知识,为解等比数列综合题奠定良好的基础.具体判定方法如下:一、定义法(又叫递推公式法)如果一个数列{an}满足(为不为零的,常数),则这个数列叫做等比数列.由此定义可判定为等比数列二、看通项与前n项和法（1）通项法：我们知道,等比数列的通项公式为(的常数),反之如果数列的通项公式为(的常数且≠0),则数列是等比数列.这样数列为等比数列的充要条件是(的常数)且≠0.所以用通项公式也可是判定等比数列.（2）前n项和公式法：若数列的前n项和Sn能表示成(均为不等于0的常数且q≠1)的形式，则数列,是公比不为1的等比数列．这些结论用在选择填空题上可大大节约时间． 例3若等比数列解析：用到上述方法，可得a=-1,大大节约了时间，同时大大提高了命中率．三、等比中项法3个非零的实数a,A,b,满足=ab,则a,A,b成等比数列,A叫做a,b的等比中项.可利用它来判定等比数列.四、运用数学归纳法这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“时命题成立”到“时命题成立”要会过渡．,例5(2004全国高考题)数列的前项和记为，已知，．证明：数列是等比数列．证明：由，，知，，猜测是首项为1，公比为2的等比数列．下面用数学归纳法证明：令.(1)当时，，成立．(2)当时，，成立．假设时命题成立，即．那么当时，，命题成立．综上知是首项为1，公比为2的等比数列．评析：例5是常规的猜想证明题，考查学生掌握猜想证明题的基本技能、掌握数列前项和这个概念、用数学归纳法证明等比数列的方法五、反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．如：例6（2000年全国高考（理））设是公比不相等的两等比数列，．证明数列不是等比数列．,证明：设的公比分别为，，，为证不是等比数列只需证．事实上，，又不为零，，故不是等比数列．评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力，对逻辑思维能力有较高要求．要证不是等比数列，只要由特殊项（如）就可否定．一般地讲，否定性的命题常用反证法证明，其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性．以上五种证明方法的选用,应因题而异.只要在平时的练习中不断总结,就能提高我们分析能力和解决问题的能力.第七讲等比数列通项的性质及应用一．知识整理1.等比数列的定义：,一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：2.等比数列的通项公式通项公式为3.等比数列的通项公式推广：4．等比数列{an}的常用性质(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列，公比为qk；一、等比数列通项的性质及应用1.在等比数列中，若，则.【解答】.2.等比数列中，，，则　．【解答】2403.｛｝是公比为2的等比数列，且=，则等于．【解答】4004.等比数列中，，则=变式1等比数列，变式2已知等比数列各项为正数，且3是,=__________________5.在等差数列中，若，则有等式成立。类比上列性质，相应的：在等比数列中，若，则有等式_______________成立。【解答】6.已知，各项为正的等差数列满足，又数列的前项和是．（1）求数列的通项公式；（2）求证数列是等比数列；（3）设，试问数列有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，说明理由。【解答】（1），又或若，则，与矛盾；若，则，显然，（2），当时，，欧时，，,数列是以9为首项，为公比的等比数列．（3），设是数列中的最大项，则由可得，数列有最大项，最大项是．第八讲等比数列中奇数项与偶数项问题等比数列前n项和的常用性质(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)．例1已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数由题目可获取以下主要信息：①等比数列的奇数项与偶数项分别依次构成等比数列；②当项数为2n时，S偶∶S奇＝q.解答本题的关键是设出项数与公比，然后建立方程组求解．[解题过程]　设此等比数列共2n项，公比为q.,由于S奇≠S偶，∴q≠1.由于奇数项依次组成以a1为首项，以q2为公比的等比数列，故所有奇数项之和为S奇＝＝85①同理可得所有偶数项之和为S偶＝＝170②②÷①，得q＝2，代入①得22n＝256，解得2n＝8，所以这个数列共8项，公比为2.变式1：等比数列共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求该数列的公比q.解析：　由题意知S奇＝S偶＋80，则S2n＝S偶＋S奇＝2S偶＋80＝－240，∴S偶＝－160，则S奇＝－80，∴q＝＝＝2.例2奇数项与偶数项分段的类型数列{an}的首项a1＝1，且对任意n∈N，an与an＋1恰为方程x2－bnx＋2n＝0的两个根.(Ⅰ)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Sn.解：(Ⅰ)由题意n∈N*，an·an＋1＝2n∴＝＝＝2'(1分)又∵a1·a2＝2'a1＝1'a2＝2∴a1，a3，…，a2n－1是前项为a1＝1公比为2的等比数列，a2，a4，…，a2n是前项为a2＝2公比为2的等比数列　∴a2n－1＝2n－1'a2n＝2n'n∈N*　,即an＝又∵bn＝an＋an＋1当n为奇数时，bn＝2＋2＝3·2当n为偶数时，bn＝2＋2＝2·2∴bn＝(Ⅱ)Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn当n为偶数时，Sn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝＋＝7·2－7　(当n为奇数时，Sn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝Sn－1＋bn＝10·2－7　(Sn＝变式：数列的通项，其前n项和为.(1)求;(2)求数列｛｝的前n项和.解:(1)由于,故,,故()(2)两式相减得故第九讲等比数列前n项和的性质及应用间隔相等、连续等长的片段和也成等比数列即：成等比数列。,注：当且n为偶数时，不是等比数列。③“相关和”性质：【典型题一】等比数列n项和性质的应用变式2：各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于(　　)A．80B.30C.20D.26解析：　∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列∴(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)∴(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6又∵(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)·(S4n－S3n)∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)又∵(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)·(S4n－S3n)∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)S4n＝30【巩固训练】（）A180B108C75D63,()ABCD()A480B493C495D498()ABCD,第十讲满足型数列的通项公式求法例1：已知数列满足，写出该数列的前5项，并求数列的通项公式。解：由已知，，。。。。。。。，，以上各式相加得，则，上是对也成立，故。例2：对于数列，满足，则解：由已知得，故，，。。。。，相加得，故，,上式对也成立，故例3：已知数列满足，写出该数列的前四项，并求数列的通项公式。解：由已知得，则由累加法得，得小结：当满足一定条件时，常用累加法来求通项，并要验证首项是否满足此通项。练习：1.已知数列满足，写出该数列的前5项，并求数列的通项公式。2.已知数列满足，求数列的通项公式。第十一讲满足型数列的通项公式求法例1：设是首项为1的正项数列，且，求它的通项。解：法一（累乘法）由已知，当时，，…，，，以上各式子相乘，得，即，此式对也成立，故,小结：若，则当法二（迭代法）由，得，即，此式对也成立，故变式1：（2006全国理）设是首项为1的正项数列，且，求它的通项。解：由，得，且，故，即易得例2：已知数列满足，求其通项公式。解：，两式相减得，即，故，即，又，故，,当时也成立，故小结：已知数列的递推式满足，则可以用累乘法（或迭代法）求通项公式。练习：1.已知数列满足，且，求。2（2014浙江理19）已知数列和满足.若为等比数列，且⑴求与；⑵设。记数列的前项和为.（i）求；（ii）求正整数，使得对任意，均有.,第十二讲满足型的数列的通项公式的求法例1：数列满足，，求。解：法一(归纳法)猜想，可以用数学归纳法证明，（证明略）法二（构造等比数列）由，得，即，故数列是公比为，首项为的等比数列，从而，即.小结：由，,可化为，则是公比为的等比数列。法三（构造等比数列）由，得，两式相减得，且故数列是公比为3，首项为3的等比数列，故，从而，即。小结：由，可化为，则是公比为的等比数列。法四（转化为型）由，两边同除以，得，即利用累加（或迭代）法可得：当时，，即，此式对也成立，故由，可化为，利用累加或迭代法求通项公式。法五（视觉转化，看成数列的前项和）同解法四，由，,两边同除以，得，即记，则就是的前项和，且有利用裂项相消得例2：数列满足，，求。解：法一：（归纳法）由已知得，，，，猜想，可用数学归纳法证明。法二：由，得，得，数列是等比数列，公比，首项，故，得。法三：由………….……①得…………….②由②-①得：，得，所以数列是等比数列，公比，首项，得，即，故。,小结：由，可化为，则是公比为的等比数列。或者化为，则是公比为的等比数列。练习：1.若满足关系式，，则数列的通项公式。2.（2006福建理22）已知数列满足，⑴求数列的通项公式；⑵若数列满足，证明是等差数列；⑶证明3.（2014全国新课标Ⅱ）已知数列满足，⑴证明是等比数列，并求的通项公式；⑵证明：。第十三讲满足型的数列的通项公式的求法例1：数列满足，，⑴求，并证明数列是等比数列；⑵求。,解：⑴，。由，得，，数列是公比为的等比数列，首项。故，例2：（2014安徽文18）数列满足，⑴证明：数列是等差数列；⑵设，求数列的前项和。解：⑴由已知得，所以数列是等差数列，公差为1，首项为，故，即。⑵有⑴知，，可由错位相减法求和，（过程略）例3：数列满足，求。解：法一：由已知得：则数列是等比数列，公比为，首项为，转化为型，利用累加或迭代法求解。法二：由已知得：，令，可化为型求解,法三：由已知得：，数列是等比数列，公比是3，首项是例4：数列满足，求。解：对已知式两边取对数得：，化简得，令，，，转化为型求解。例5：数列满足，求。解：由已知可得：，令，则转化为型求解。,第十四讲满足型的数列的通项公式求法例1：（人教版A版《数学（必修5）》第二章复习参考题B组第6题）：已知数列中，，对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？法1：（配凑法）由，得，而，故数列是公比为，首项为的等比数列，所以，①又由，得，而，故数列是公比为，首项为的等比数列，所以，②由①、②两式消去，得，,法2：（待定系数法）由，设，其中是待定的常数，则，比较系数得，显然是方程的两根，即方程的两根，由从而也得或下面与解法一相同，可得解法3：（特征根法）由，得特征方程为，解得，设，其中是待定的常数，把的值代入得从而小结：设数列满足：，求解：设，其中是待定的常数，则，比较系数得，,显然是方程的两根，即方程的两根，当时，设其实根为，从而有，得或，所以数列分别是公比为和的等比数列，故得，③与，④（ⅰ）当时，由③-④消去，可得，即，（注：若令，，则，。）（ⅱ）当时，由③式得：，上式两边同除以，得，数列是公差为，首项为的等差数列，故，得（注：若令，，则，。）小结：上述解题过程中得到的方程称为递推方程,的特征方程，特征方程的根叫做特征根。设数列满足：，其特征方程为，设其两根为。结论1：（构造法）二阶线性递推数列的通项公式均可通过构造法转化为等比数列或等差数列求得。构造过程可采用配凑法、待定系数法。（ⅰ）当方程有两个相异实根（）时，构造两个等比数列，它们的公比分别为，再利用方程思想解得通项。（ⅱ）当方程有两个相同实根（）时可以构造出等差数列，其公差为，首项为的等差数列，结论2：（特征根法）（ⅰ）当方程有两个相异实根（）时，，。（ⅱ）当方程有两个相同实根（）时，，；（ⅲ）当方程有两个共轭复数根时，，。例2：（2008广东理21题）：设、为实数，是方程,的两个实根，数列满足(1)证明：；(2)求数列的通项公式；(3)若，求的前项和解：（1）略。（2），由第（1）题知，特征方程，即的两个实根为，（ⅰ）当时，设则，得（ⅱ）当时，而，由第（1）题知，设，则，得（3）若，则特征方程是，得二重根，设，.把代入通项公式，得，故,利用错位相减法可得数列前项和。类型一：特征方程有两个相等实根例3（2009全国Ⅱ，理19题）设数列的前项和为，已知.（1）设，证明数列是等比数列；（2）求数列的通项公式。分析：由已知，得，两式相减得：，可直接应用特征根法就数列的通项公式。解：由已知，得，两式相减得：，特征方程是，，设，.把代入通项公式，得，故例4（2013安徽文19题）设数列满足，且对任意，函数。求数列的通项公式；（2）略。解：，即,，显然可以利用特征根法求解。又可变形为2，从而知数列是等差数列，由已知可得公差为1，且首项，所以注：当时，满足的数列是等差数列例5（2011全国高中数学竞赛安徽赛区9题）已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得，即，特征方程是，，设，代入通项公式，得，故类型二：特征方程有两个相异实根例6（2008广东文21题）设数列满足，数列满足是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有：，（1）求数列和的通项公式；（2）略。,解：特征方程是，，设，.把代入通项公式，得，故例7（2010全国高中数学竞赛河北赛区6题）从满足的数列中，依次抽出能被3整除的项组成数列，则A.B.C.D.解：此数列是斐波那契数列，写出前几项，归纳可知能被3整除，故选D.利用特征根法可求得斐波那契数列的通项公式：特征方程是，，设，.把代入通项公式，得，故例8（2013全国高中数学竞赛河北赛区11题）已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）略。,解：特征方程是，，设，.把代入通项公式，得，故例9（2013全国高中数学竞赛安徽赛区12题）设数列数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）略。解：由，得从而，两式相减，并整理得：，得，从而，令，得，且数列特征方程是，，设，.把代入通项公式，得，得，故。类型三：特征方程有两个共轭复数根,例10（2013全国高中数学竞赛安徽赛区4题）设数列数列满足，则解：特征方程是，得两根为，设，把代入通项公式，得，故,第十五讲满足的数列的通项公式的求法一、赛题呈现赛题：（2013年“希望杯”高二组二试）设函数，数列满足：。(1)证明：存在一个等差数列，使得当时，都成立。(2)求数列的通项公式。分析：本题的实质是：已知数列满足：，求数列的通项公式。其一般形式是，更一般的形式是。二、课本探源：（人教A版《数学（必修5）》第二章数列第一节）题源一：第31页例3：设数列满足：，写出这个数列的前5项。题源二：第34页习题B组第3题：已知数列,的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出，（1）写出这个数列的前5项（2）利用上面的数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项题源三：第33页习题A组第4题第（2）小题：设数列满足：，写出这个数列的前5项。三、解法研究解：由已知得：（1）当时，，故，即，，所以数列是等差数列。故命题成立。(2)方法1：利用第（1）的结论，先求等差数列的通项公式，再由求得。由已知及（1），得故的公差为，，当时，，,又，故上式对也成立，故。方法2：利用从特殊到一般思想，采用归纳-猜想-证明的思路来解决。由，得归纳猜想：，（可以用数学归纳法证明，证明过程略）。反思一：依第（1）的结论，能否先找到一个具体的等差数列，并求出的通项公式，再根据，求得呢？另外，由方法1和方法2的解答结果知，，变形后得，进一步观察、分析，对式子取倒数得，显然数列等差数列，可令，就找到了一个等差数列。由此，我们得第三种方法，即构造等差数列。方法3：构造等差数列由，得，取倒数得，即，所以数列是公差为1，首项为的等差数列，所以，即。,反思二：由方法3，我们构造了一个等差数列，不但证明了（1）的正确性，而且也找到了求的一种方法，说明数列满足：时，可以通过构造具体的等差数列求出通项公式。那么，把问题一般化，对于数列满足：，是否也存一个等差数列，使得当时，都成立呢？如果存在，这个等差数列是谁？四、问题探究探究1：由，知，即是方程的根，也即的根，也即函数的不动点，且方程恰好是递推式的特征方程，方程可化为，有两个相等的实根，发现我们构造等差数列恰好是，这是巧合还是必然呢？论证：按此推理，对于数列，其特征方程为，化为，当时，，,由，得取倒数得：，得，令，数列是公差为的等差数列。结论一：递推数列满足，当时，数列是公差为等差数列。探究2：我们再来思考当时，是否有类似结论呢？当时，，，，即，方法一：上式两边取倒数，得，得令，可化为型来求解。方法二：由同理，两式相除得,令，知数列是公比为的等比数列。结论二：递推数列满足，当时，数列是公比为的等比数列。探究3：我们再来思考当时，是否还有类似结论呢？当时，特征方程有一对共轭复数根，，，即，同理，两式相除得令，知数列是公比为的等比数列。此结论与相似。结论三：递推数列满足，当时，数列是公比为的等比数列。,（注：可以证明当，把复数表示成三角形式，由三角函数的周期性可证数列是周期数列，证明略。）探究4：把递推式，推广到更一般的情形：会有什么结论呢？由特征方程化为，设其两根为，则：因为，所以，类比型通项公式的求法，易得求满足型的数列通项公式的方法也是相同。结论四：设数列满足，求其通项公式的转化方法有如下两种常见的途径。特征方程，即，设其两根为，则：方法一：换元转化法令，或令可化为型来求解。方法二：构造转化法,（1）当时，数列是等差数列，公差是。（2）当时，数列是等比数列，公比为。（3）当时，数列是周期数列，且数列是等比数列，公比为。且周期最小正后期为的冲要条件是。探究5：当时，，由，得，整理得，此递推数列的特征方程是，即，特征方程与数列相同，由此可得到一种求数列的通项公式的方法。结论五：数列满足：，令，则有，即，利用结论一，求出，再由得到。可由求得。,（注：满足的数列通项公式的其他求法读者可以参考其他资料）至此，我们发现满足的数列，与满足的数列是可以相互转化的，求通项公式的方法是可以互相转化借鉴的。五、知识应用：类型一：周期数列型例1（人教A版《数学（必修5）》第二章数列第一节，第33页习题A组第4题）设数列满足：，写出这个数列的前5项。解：特征方程为，即，得，故数列是周期数列，，数列周期。例2（2012年“希望杯”高二组二试13）数列满足，记数列前项的积为，则。解：特征方程为，即，得，故数列是周期数列，，数列周期，一个周期内的四个数的乘积等于1，，故,练习：1.（2008年湖北省预赛试题）设数列满足，则2.（2008年黑龙江省预赛试题）给定数列，，且，则ABCD3.给定数列，，且，则的值是＿＿＿。类型二：可化为等差数列型例3已知数列满足：，求数列的通项公式。解：特征方程为，即，得，由，得，，，数列是公差为，首项为的等差数列，所以，即。例4已知数列满足，求数列的通项公式。,解：特征方程，得，则取倒数得：，，数列是公差为，首项为的等差数列，所以，即。例5已知函数的图像过点，且方程有两个相等的实数根。（1）求的值；（2）若正项数列满足，求。解：易得，，，特征方程，得，取倒数得，即，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，即。类型三：可构造等比数列型例6（2009江西理）各项均为正数的数列中，，且对满足的正整数都有：，,（1）当时，求通项公式；（2）略。解：令，得，把代入上式，整理得，特征方程为，得。则，上两式相除得故数列是公比为3的等比数列，首项是，所以，化简得。例7（2012全国卷大纲理22）函数，定义数列如下：是过两点的直线与轴交点的横坐标，（1）证明：；（2）求数列的通项公式。解：（1）略；（2）由已知可，特征方程为，得。下面与例6解法相同，可得：数列是公比为5的等比数列，首项是，,故，化简得，例8（2010全国数学竞赛安徽省预选赛9）数列满足，求数列的通项公式。解：特征方程为，得。则，上两式相除得故数列是公比为-2的等比数列，首项是，所以，化简得。例9（2014年“希望杯”高二组一试）数列满足：，，，。解：由已知得，特征方程，得，则，又上两式相除，得，,故数列是公比为的等比数列，首项是，所以，化简得。例10（2011年“华约”自主招生）已知函数，（1）求数列的通项公式；（2）证明：。解：易得，，，特征方程，得，下面与例9的解法相同，可得：数列是公比为的等比数列，首项是，所以，化简得。说明：对于型的递推式，可以直接取倒数，化为，再转化为型求解。例11（2005重庆文22）数列满足，记，（1）求；（2）求的通项公式，及前项和。,分析：由已知得：，本题没有要求我们求，而是通过构造数列，求出，再由解决问题。另外，由，也为我们提供了求的新方法，即作变换。下面我们只求。解：特征方程，得，方法1：由，取倒数得：，因为，所以，转化为型求解，易得，方法2：，取倒数得：，因为，所以，也转化为型求解，易得，方法3：,，，上两式相除，得，故数列是公比为的等比数列，首项是，所以，化简得。,第十六讲利用数列公式求通项公式例1：已知数列的前项和满足：，求数列的通项公式。解：法一（消去，保留）,，两式相减得：，即又，故数列从第2项开始为等比数列。故法二（消去，保留）由已知，及，得，即，故数列是公比为，首项为的等比数列，通项公式为，当时，有，故例2：.（2013广东理19）设数列的前项和，已知，⑴求的值；⑵求的通项公式；⑶证明：对一切正整数，有。解：已知递推式即⑴当时，，即，故。⑵法一（消去，保留）当时，由，得,，两式相减得，得，即，又，故数列是公差为，首项为的等差数列，有，即。法二（消去，保留）由已知，及，得即即故数列是公差为，首项为的等差数列，所以，即。当时，又，满足上式，故。例3：（2012广东理19）设数列的前项和，满足，且成等差数列。⑴求的值；⑵求的通项公式；⑶证明：对一切正整数，有。,解：⑴易得。⑵由，得，两式相减得：，即，又也满足，故法一：由，得数列是公比为，首项为的等比数列，得，即，法二：两边同除以，得，得，数列是公比为，首项为的等比数列，得，即，法三：两边同除以并移项，得，利用累加法得，，由也适合上式，故。,第十七讲数列求和的基本方法一、错位相减法在数列求和中的应用近年来，高考中数列问题正向多元化发展，命题中含有复合数列屡见不鲜.要想在高考中从容应对,就需熟练掌握等差、等比数列的有关知识,同时要善于把非等差等比数列转化为等差等比数列来求解.现对数列求和的方法----错位相减法简要分析如下：一.利用错位相减法推导等比数列求和公式.已知等比数列,它的前项和是,根据等比数列的通项公式,上式可写成①①的两边乘得②①的两边减去②的两边,得当时,等比数列的前项和的公式又因为所以上面公式可写成当时，点评：通过将①式的左右两边同时乘以公比,使②式与①,式产生错位后相减得出.二、应用错位相减法求和如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.例1、求数列的前项和分析：数列成等差数列，数列成等比数列，此例用错位相减法可达到目的.同时应注意和两种情况.解：若，则若,则①①式两边同乘以，得②①减去②得所以点评：这个数列可以看成一个等差数列和一个等比数列的对应项的乘积，这种数列我们称为“混合数列”，解决这类问题的常用方法是：依照等比数列前项和公式的推导方法——错位相减法，特别注意分和两种情况讨论.例2、设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且,,.⑴求,的通项公式.,⑵求数列的前项和.解：⑴设的公差为，的公比为则依题意有>0且解得所以,,⑵,①②②减去①得==点评：本题主要考查数列的概念，等差数列，等比数列，及求数列前项和的方法等基础知识，考查运算能力.第⑵问就运用了混合数列的求和方法----错位相减法.小结：（乘公比）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成，那么求此数列的前,项和时一般采用（乘公比）错位相减法，若公比是字母，需对其进行讨论。练习1设数列的前项和，数列满足，且。⑴求通项；⑵求数列的前项和。2：已知等差数列的公差为，恰为等比数列的前3项，且⑴求数列，的通项公式；⑵令，求数列的前项和.二、数列求和之裂项相消法在多年的教学实践中经常能遇到应用裂项相消法求数列和的题型，裂项相消法就是利用分解与组合的思想在数列求和中的具体应用.裂项相消法的实质是将数列中的每项(一般是通项)进行分解，然后再重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的口的.特别适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两项或多项的差的形式，即利用，然后累加时抵消中间的许多项从而化繁为简.从而解决数列求和的问题，下面就从具体例子中来观察裂项相消法的具体优势所在.等差数列积的倒数和已知等差数列解,+含二次根式的数列和已知正项等差数列解含三角函数的数列和求和：解,含排列组合种数求和（1）解(2)解在运用裂项相消法时，要注意细节和一些关键之处，特别注意裂项规律问题，留下项的项数以及裂项的实质。形如的求和（）（1）解析一：发现数列的特点是等差与等比相乘，则通法是错位相减法，但并不是唯一的方法，从教学反馈中可以看出，学生在使用错位相减法做题时，在运算过程中容易出错，有没有其他方法呢？解析二：,发现如能熟练掌握好裂项相消法的技巧，就可以化难为易，化繁为简，减少计算量，提高正确率.凡是等差与等比相乘的数列都可以利用这个思路，巧妙裂项而达到顺利求和的目的.一般结论推导过程：6..形如的求和（）求：解析：反思：此题首先考虑分子与分母两个因子之间的线性关系，这个关键的一步，然后再利用了分式的性质恒等变形而达到了裂项的目的，可谓巧妙绝伦。,总结：利用裂项相消解题时，首先要善于观察数列通项的基本特征，找到正确的解题方向，透过表面现象看其本质，这样才能确定思路；其次，要善于转化，数学家波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换，只要做到这两点，我们在解题过程中，就可以体会到“山穷水路疑无路，柳暗花明又一村”的解题效果。小结裂项相消法：把数列的通项分裂成两项之差后求和，正负项相消，剩下首尾若干项。使用此方法时必须搞清楚消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点。练习1：求数列的前项和2：求和。3：已知数列的前项和是，且。⑴求数列的通项公式；⑵设，求适合方程的值。4：数列的前10项和为＿＿＿＿。5：（2013江西）正项数列的前项和满足：。⑴求数列的通项公式；⑵令，数列的前项和为，证明：对任意的，都有。6：已知公差不为0的等差数列满足，，，成等比数列．,（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）数列满足，求数列的前项和；（Ⅲ）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围．7：数列满足，，⑴设，求数列的通项公式；⑵设，数列的前项和为，不等式对一切恒成立，求的取值范围。8：已知数列满足：，用表示不超过的最大整数，则三、其他求和方法1.公式法：公式法是数列求和的最常用方法之一，可直接利用等差数列、等比数列的求和公式，也可利用常见的求前项和的公式，如：,2.并项求和法：在数列中有相邻两项或几项的和是同一常数或有规律可循时，采用并项求和法较简便。例1：求和：例2：求和：例3：（2012新课标全国）数列满足，则的前60项和为＿＿＿＿。3.拆项（分组）求和法：有些数列，通过适当拆项或分组后，可得到几个等差或等比数列，这样就可利用公式法进一步求和了。例1：求数列的前项和。例2：数列的前项和为，则4.倒序相加法：当把一个数列倒过来排序，与原数列对应项相加后有公因式可提，且余下的项容易求和，这时一般可用倒序相加法求其前项和。例1：设，求和：。例2：设，则。例3：设，则例4：设函数上两点、，若=([来源:Zxxk.Com],+),且的横坐标为。（Ⅰ）求点的纵坐标；（Ⅱ）若，求；（Ⅲ）记为数列的前项和，若对一切第十八讲数列型不等式的证明,数列型不等式问题在近年逐渐成为高考热点，数列型不等式问题常被设置为高考压轴题，能力要求较高。因其仍然是不等式问题，可用处理不等式的方法：基本不等式法；比较法；放缩法，函数单调性法等都是常用的方法；但数列型不等式与自然数有关，因而还有一种行之有效的方法：数学归纳法。重要不等式法若数列不等式形如下式，可用均值不等式法求证。（1）;（2）（3）比较法比较法是证明不等式的基本方法，可以作差比较也可以作商比较，是一种易于掌握的方法。放缩法常用的放缩结论：①、其中（）②③、用放缩法解题的途径一般有两条，一是先求和再放缩，二是先放缩再求和。（1）、先求和再放缩,一般先分析数列的通项公式，如果此数列的前n项和能直接求和或通过变形后可以求和，则采用先求和再放缩的方法证明不等式。数列求和的方法较多，我们在数列求和的专题中有具体的讲解，主要用的有公式法、裂项法、倒序相加法、分组求和法等方法。例1、已知函数对任意实数都满足，且，（1）当时，求的表达式；（2）设，是其前项和，试证明.分析：不难求得，于是.对于，这是一个“差比”数列的和，可以用错位相减法求出，然后再与比较大小.于是有：①，②，两式相减得：，化简得，显然有.（2）、先放缩再求和高考数列不等式证明一般用此法的较多，对此法往往又有以下几个具体情况。①、将数列的通项进行去项或添项的适当放缩，使之成为我们所熟悉的等差、等比或差比数列进而进行求和证明；②,、对通项式进行裂项处理，并对其中某些项的分母进行适当放缩，构成便于加减相消的结构或变形出能使用重要不等式法的结构，使题目便于证明。③、以某一不等关系为依据建立起相邻两项的不等关系进行逐层递推放缩，以寻求各项与首项的不等关系。④、利用二项式定理将通项展开后进行适度放缩，有时展开后只需保留其中一部分就可达到放缩的目的。⑤、先分组在放缩比较例2、（2002全国卷）设数列满足，（1）当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；（2）当时，证明对所有的，有（Ⅰ）；（Ⅱ）.分析：（1）略.对于（2）中的（Ⅱ），由及（Ⅰ）中的可知，从而，，于是.说明：对于一些复杂的数列不等式，考虑将每一项进行确当的放大或缩小是一种常见的方法，而方法的寻找要结合题设条件和要证的结论，看它们的内在关系，考虑将通项朝什么方向进行放缩。请你思考一下，直接由得，能证明这个问题吗？,例3、（2004全国卷改编）已知数列的前项和满足：，（1）写出数列的前三项，并求数列的通项公式；（2）证明对任意的整数，有.分析：（1），过程略.对于（2），显然.当且为奇数时，，所以当且为偶数时，；当且为奇数时，，综上所述对任意的整数，有成立.说明：通过计算比较可以发现该数列的通项规律较复杂，用求和的方法计算难度很大，这时可以通过两个方面来寻找解题方向，一是看通项的特点，二是从特殊入手，例如取等进行比对发现.此外发现数值也是很重要的一点.,数学归纳法例4、设数列{}满足证明对所有的，有:（i）;（ii）分析:（Ⅰ）由数学归纳法知，，，……2分对，有，。对所有的，有，函数单调性法例5、证明：设，求证：证明：求导数可证ln(x+1)≤x,