第二十八章锐角三角函数28．1锐角三角函数第1课时正弦函数学习目标：1．理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)．2．能根据正弦概念正确进行计算．重点：理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)．难点：能根据正弦概念正确进行计算．自主学习一、知识链接1．在Rt△ABC中，a=1，∠C=90°，∠A=30°，求c．2．在Rt△ABC中，a=1，∠C=90°，∠A=45°，求c．合作探究一、要点探究探究点1：已知直角三角形的边长求正弦值合作探究为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌．先测得斜坡的坡角(∠A)为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？这个问题可以归结为：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB．,【方法归纳】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于．思考1：Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠A=45°，那么BC与AB的比是一个定值吗？【方法归纳】在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于．思考2：任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？【方法归纳】这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即【典例精析】,例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．sinA=（）练一练1．如图，判断对错：sinA=（）sinB=（）sinA=0．6（）sinB=0．8（）2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=3，则sinA的值为（）A．B．C．D．例2如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值．【方法总结】结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解．练一练如图，已知点P的坐标是(a，b)，则sinα等于(),A．B．C．D．探究点2：已知锐角的正弦值求直角三角形的边长例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面积．提示：已知sinA及∠A的对边BC的长度，可以求出斜边AB的长，然后再利用勾股定理，求出AC的长度，进而求出sinB及Rt△ABC的面积．练一练1．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长为()A.4B．6C．8D．102．在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，AB=6，那么BC=．例4在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=，求这个三角形的周长．【方法总结】已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题．二、课堂小结,当堂检测1．在直角三角形ABC中，若三边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的正弦值将()A．扩大为原来的2倍B．不变C．缩小为原来的D．无法确定2．如图，在△ABC中，∠B=90°，则sinA的值为()A．B．C．D．3．如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值为．4．如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=______．,5．如图，在△ABC中，AB=BC=5，sinA=，求△ABC的面积．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB．(1)sinB可以由哪两条线段之比表示?(2)若AC=5，CD=3，求sinB的值．,参考答案自主学习一、知识链接1．解：c=2．2．解：c=．课堂探究一、要点探究探究点1：已知直角三角形的边长求正弦值合作探究解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB=2BC=2×35=70(m)．也就是说，需要准备70m长的水管．思考1解：因为∠A=45°，∠C=90°，所以AC=BC．由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2，所以．因此思考2解：因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．所以，即．典例精析例1解：如图①，在Rt△ABC中，由勾股定理得因此如图②，在Rt△ABC中，由勾股定理得因此练一练1．√××√√2．C例2解：如图，设点A(3，0)，连接PA，则PA⊥OA．在Rt△APO中，由勾股定理得因此练一练D例3解：∵∠C=90°，∴．∴∴AB=3BC=3×3=9．∴∴∴,练一练1．D2．2例4解：由sinA=，设BC=7x，则AB=25x．在Rt△ABC中，由勾股定理得，即24x=24，解得x=1cm．故BC=7x=7cm，AB=25x=25cm．所以△ABC的周长为BC+AC+AB=7+24+25=56(cm)．当堂检测1.B2．A3．4．5．解：作BD⊥AC于点D，∵sinA=，∴．∴又∵AB=AC，BD⊥AC，∴AC=2AD=6．∴S△ABC=AC×BD÷2=12．6．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°．∴∠ACD=∠B=90°-∠A．∴（2）在Rt△ACD中，由(1)知，
