27.2.1相似三角形的判定第3课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似学习目标：1.探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理.2.会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算.(重点、难点)自主学习一、知识链接1.回忆我们学习过的判定三角形相似的方法.类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？2.类似于判定三角形全等的SAS方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？合作探究一、要点探究探究点1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似操作利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A′，，量出BC及B′C′的长，它们的比值等于k吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC与△A′B′C′有何关系？思考改变k和∠A的值的大小，是否有同样的结论？,如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，，求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E.【补全后面的证明过程】【要点归纳】由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．符号语言：∵，∠A=∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.思考对于△ABC和△A′B′C′，如果∠B=∠B′，，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.【结论】如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.【典例精析】例1根据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由：∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，,∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm．【针对训练】在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：△DEF∽△ABC.例2如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.例3如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的长.例4如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且，求证：∠ACB=90°．,【方法总结】解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高可以转化为90°等.二、课堂小结当堂检测1.判断(1)两个等边三角形相似()(2)两个直角三角形相似()(3)两个等腰直角三角形相似()(4)有一个角是50°的两个等腰三角形相似()2.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是()A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC第2题图第3题图3.如图△AEB和△FEC(填“相似”或“不相似”).,4.如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长．5.如图，∠DAB=∠CAE，且AB·AD=AE·AC，求证：△ABC∽△AED.拓展提升6.如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为时，△ADP和△ABC相似.,参考答案自主学习一、知识链接1.解：三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL；相似也可以有SAS和HL.2.解：能.合作探究一、要点探究探究点1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明解：∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.∴.∵A′D=AB，，∴，∴A′E=AC.又∠A′=∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.【典例精析】例1解：∵，，∴，又∠A′=∠A，∴△ABC∽△A′B′C′.【针对训练】证明：∵AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，∴.又∵∠C=∠F=70°，∴△DEF∽△ABC.例2证明：∵△ABC与△ADE都是等腰三角形，∴AD=AE，AB=AC，∴，又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∴△ABC∽△ADE.例3解：∵AE=1.5，AC=2，∴.又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴，∴.例4证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°.∵，∴△ADC∽△CDB.∴∠ACD=∠B.∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°.,当堂检测1.(1)√(2)×(3)√(4)×2.D3.相似4.解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=，∴.又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，∴，∴AD=.5.证明：∵AB·AD=AE·AC，∴.又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∴△ABC∽△AED.拓展提升6.4或9解析：当△ADP∽△ACB时，AP:AB=AD:AC，∴AP:12=6:8，解得AP=9；当△ADP∽△ABC时，AD:AB=AP:AC，∴6:12=AP:8，解得AP=4.∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．
