模块综合试卷(一)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．在空间内，可以确定一个平面的条件是________．(填序号)①三条直线，它们两两相交，但不交于同一点；②三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交；③三个点；④两两相交的三条直线．答案 ①解析 ①中，三条直线，它们两两相交，但不交于同一点，说明三点不在同一条直线上，可以确定一个平面，说明三条直线都在同一平面内；②中，当一条直线与两条异面直线相交时，不能确定一个平面；③中，当三个点在同一条直线上时，不能确定一个平面；④中，当两两相交的三条直线过同一点时，可能确定一个或三个平面．2．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是____________．答案 x＋2y－3＝0解析 设所求直线上任一点(x，y)，则它关于x＝1对称的点为(2－x，y)．又对称点在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.3．下列命题正确的是________．(填序号)①平行于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两直线平行；③平行于同一直线的两平面平行；④垂直于同一直线的两平面平行．答案 ②④4．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为________cm2.答案 2＋4解析 设正四棱柱的高为acm.由题意知，正四棱柱的体对角线是球的直径，所以1＋1＋a2＝4，所以a＝，所以正四棱柱的表面积为S＝1×1×2＋4×1×＝(2＋4)cm2.,5．过A(－3,0)，B(3,0)两点的所有圆中面积最小的圆的方程为__________．答案 x2＋y2＝9解析 以A，B两点为直径端点时的圆的方程为x2＋y2＝9.6．与直线l：mx－m2y－1＝0垂直于点P(2,1)的直线方程为__________．答案 x＋y－3＝0解析 直线l的斜率为，因此与直线l垂直的直线的斜率为－m.又直线l过点P(2,1)，则有2m－m2－1＝0，因此m＝1，则所求的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.7．如图，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，DD1的中点，点P是DD1上一点，且PB∥平面CEF，则四棱锥P－ABCD外接球的表面积为______．考点 球的表面积题点 其他球的表面积计算问题答案 41π解析 连结BD交CE于O，则＝＝，连结OF，则当BP∥OF时，PB∥平面CEF，则＝，∵F是DD1的中点，DD1＝4，∴DP＝3，又四棱锥P－ABCD外接球就是三棱锥P－ABC的外接球，∴四棱锥P－ABCD外接球的半径为＝.外接球的表面积为4π×2＝41π.8．过点P(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与切线l平行，则切线l与直线m间的距离为________．,答案 4解析 根据题意知，点P在圆C上，∴切线l的斜率k＝－＝＝，∴切线l的方程为y－4＝(x＋2)，即4x－3y＋20＝0.又直线m与切线l平行，∴直线m的方程为4x－3y＝0.故切线l与直线m间的距离d＝＝4.9.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，＝________.答案 解析 ＝，故＝.10．若过点A(4,0)的直线l与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为____________．答案 解析 由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，则圆心到直线l的距离d＝.若直线l与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，,则d＝≤1，解得k∈.11．点P(x，y)在直线x＋y－1＝0上，则x2＋2x＋y2＋4y＋5的最小值是________．答案 8解析 x2＋2x＋y2＋4y＋5＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示点(x，y)与点(－1，－2)间距离的平方，∴它的最小值即为点(－1，－2)到直线x＋y－1＝0的距离的平方．12．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面MNP的图形序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)答案 ①②解析 由面面平行的判定定理可得．13．已知l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，则当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是______________．答案 x＋2y－3＝0解析 当直线AB与l1，l2均垂直时，l1，l2间的距离最大．∵A(1,1)，B(0，－1)，∴kAB＝＝2，∴kl1＝－.∴直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.14.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是________．(填序号)①CC1与B1E是异面直线；,②AC⊥平面ABB1A1；③AE与B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1；④A1C1∥平面AB1E.答案 ③解析 ①中，直线CC1与B1E都在平面BCC1B1中，不是异面直线；②中，平面ABC⊥平面ABB1A1，而AC与AB不垂直，则AC与平面ABB1A1不垂直；③中，AE与B1C1不平行也不相交，是异面直线．又由已知得平面ABC⊥平面BCC1B1，由△ABC为正三角形，且E为BC的中点知，AE⊥BC，所以AE⊥平面BCC1B1，则AE⊥B1C1；④中，A1C1与平面AB1E相交，故错误．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知点A(4，－3)，B(2，－1)，直线l：4x＋3y＋1＝0，点P在直线l上，且PA＝PB，求点P的坐标．解 由PA＝PB可知，点P在线段AB的垂直平分线上．因为A(4，－3)，B(2，－1)，所以线段AB的中点坐标为(3，－2)，AB所在直线的斜率kAB＝＝－1，所以线段AB的垂直平分线的斜率为1，且过点(3，－2)，则其方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.解方程组可得因此点P的坐标为(2，－3)．16．(14分)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥E—A1CD的体积．(1)证明 连结AC1交A1C于点O，连结OD，可得OD∥BC1.又OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)解 在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，,所以AA1⊥CD.又AB⊥CD，AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面A1DE，所以三棱锥E—A1CD可以把平面A1DE作为底面，CD＝作为高，底面A1DE的面积为4－－－＝，所以三棱锥E—A1CD的体积为××＝1.17．(14分)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝，DE＝3，∠BAD＝60°，G为BC的中点．(1)求证：FG∥平面BED；(2)求证：平面BED⊥平面AED.证明 (1)取BD的中点O，连结OE，OG.在△BCD中，因为点G是BC的中点，所以OG∥DC且OG＝DC＝1.又因为EF∥AB，AB∥DC，EF＝1，所以EF∥OG且EF＝OG，即四边形OGFE是平行四边形，所以FG∥OE.又FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，所以FG∥平面BED.,(2)在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理可得BD＝，进而∠ADB＝90°，即BD⊥AD.又因为平面AED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，所以BD⊥平面AED.又因为BD⊂平面BED，所以平面BED⊥平面AED.18．(16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．解 (1)由题设知，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过点A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.由题意，得＝1，解得k＝0或k＝－，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以点D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意知，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3，整理，得－8≤5a2－12a≤0.,由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围为.19．(16分)如图所示，在三棱锥S—ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明 (1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.20．(16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以点M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．,(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．解 (1)∵点N在直线x＝6上，∴设N(6，n)，∵圆N与x轴相切，∴圆N：(x－6)2＋(y－n)2＝n2，n>0.又圆N与圆M外切，圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0，即圆M：(x－6)2＋(y－7)2＝25，∴|7－n|＝|n|＋5，解得n＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.(2)由题意得OA＝2，kOA＝2，设l：y＝2x＋b，则圆心M到直线l的距离d＝＝，则BC＝2＝2，BC＝2，即2＝2，解得b＝5或b＝－15，∴直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
