第3章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝40°，∠B＝60°，则∠C′等于( )A．20°B．40°C．60°D．80°2．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若＝，则等于( )A.B.C.D．13．下列四组线段中，不是成比例线段的为( )A．3，6，2，4B．4，6，5，10C．1，，，D．2，，2，4．下列各组图形中有可能不相似的是( )A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形14,5．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，位似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为( )A．(2，1)B．(2，0)C．(3，3)D．(3，1)6．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，为计算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB为( )A．60mB．40mC．30mD．20m14,8．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( )A．(6，0)B．(6，3)C．(6，5)D．(4，2)9．如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使OC＝FO，连接AB，AC，BC，则在△ABC中，S△ABO：S△AOC：S△BOC等于( )A．6：2：1B．3：2：1C．6：3：2D．4：3：210．已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根，做一个与△ABC相似的三角形木架，要求以其中一根为一边，将另一根截下两段(允许有余料)作为另外两边，那么另两边的长度分别为( )A．10cm，25cmB．10cm，36cm或12cm，36cmC．12cm，36cmD．10cm，25cm或12cm，36cm二、填空题(每题3分，共24分)11．已知＝＝≠0，则＝________.12．如图，∠1＝∠2，添加一个条件____________使得△ADE∽△ACB.14,13．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD(AD＝AB)、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为____________． 14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝1，则BC＝______，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG与△BFD的面积之比为________．15．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝________．16．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“14,今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是________步．17．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为____________．18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，……，以此类推，则Sn＝______________(用含n的式子表示，n为正整数)．14,三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)19．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小． 20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；(2)计算△A′B′C′的面积．14,21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．22．如图，竖立在B处的标杆AB＝2.4米，在F处的观测者从E处看到标杆顶端A、树顶C在同一条直线上(点F，B，D也在同一条直线上)．已知BD＝8米，FB＝2.5米，EF＝1.5米，求树高CD.14,23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF(点E，F分别在边AC，BC上)．(1)若△CEF与△ABC相似．①当AC＝BC＝2时，AD的长为________．②当AC＝3，BC＝4时，AD的长为__________．(2)当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．24．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)当α＝0°和α＝180°时，求的值．(2)试判断当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．14,答案一、1.D 2.B 3.B 4.A 5.A 6.B7．B 点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.∴＝，即＝.∴AB＝40m.8．B 9．B 点拨：设AB与OF相交于点M，∵AF∥OB，∴△FAM∽△OBM，∴＝＝＝.设S△BOM＝S，则S△AOM＝2S，∵OC＝FO，OM＝FM，∴OM＝OC.∴S△AOC＝S△AOM＝2S，S△BOC＝S△BOM＝S.∴S△ABO：S△AOC：S△BOC＝3：2：1.10．D 点拨：如果从30cm长的一根中截，那么60cm长的一根只能作为最长边，而△ABC的最长边也为60cm，且另两边长之和大于30cm，所以不符合题意．如果从60cm长的一根中截，设截得的短边和长边的长分别为xcm，ycm，那么有三种情况，即20：30＝50：x＝60：y或20：x＝50：30＝60：y或20：x＝50：y＝60：30，解得x＝75，y＝90(x＋y＞60，不符合题意，舍去)或x＝12，y＝36或x＝10，y＝25.故选D.二、11.12．∠D＝∠C(答案不唯一)13．S1＝S2 点拨：∵点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC，∴BC2＝AC·AB.又∵S1＝BC2,S2＝AC·AD＝AC·AB，14,∴S1＝S2.14．2；1：2；1：615.16. 点拨：∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF，设ED＝x步，则CD＝x步，AD＝(12－x)步，∵DE∥CF，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴x＝.∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是步．17.或3 点拨：如图．∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝90°，∴BD＝＝10，当PD＝AD＝8时，BP＝BD－PD＝2，∵△PBE∽△DBC，∴＝，即＝，解得PE＝，当P′D＝P′A时，点P′为BD的中点，∴P′E′＝CD＝3，当PA＝AD时，显然不成立．故答案为或3.14,18.× 点拨：在正三角形ABC中，AB1⊥BC，∴BB1＝BC＝1.在Rt△ABB1中，AB1＝＝＝，根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，记△AB1B的面积为S，∴＝.∴S1＝S.同理可得S2＝S1，S3＝S2，S4＝S3，….∵S＝×1×＝，∴S1＝S＝×，S2＝S1＝×，S3＝S2＝×，S4＝S3＝×，…，Sn＝×.三、19.解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴∠H＝∠D＝95°.∴∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°.∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴＝，∴x∶7＝12∶6，解得x＝14.20．解：(1)如图．(2)S△A′B′C′＝4×4－×2×2－×2×4－×2×4＝6.21．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，14,又∵AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC.∵DE⊥AB，∴∠BED＝∠ADC＝90°.∴△BDE∽△CAD.(2)解：∵BC＝10，AD为BC边上的中线，∴BD＝CD＝5.∵AC＝AB＝13，∴由勾股定理可知AD＝＝12.由(1)中△BDE∽△CAD可知＝，得＝，故DE＝.22．解：过点E作EH⊥CD交CD于点H，交AB于点G，如图所示．由题意得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD.∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴四边形EFDH为矩形，∴EF＝GB＝DH＝1.5米，EG＝FB＝2.5米，GH＝BD＝8米，∴AG＝AB－GB＝2.4－1.5＝0.9(米)．∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，∴△AEG∽△CEH，∴＝，∴＝，解得CH＝3.78米，∴CD＝CH＋DH＝3.78＋1.5＝5.28(米)．答：树高CD为5.28米．14,23．解：(1)① ②或(2)相似．理由：连接CD交EF于点O.∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD＝DB＝AB，∴∠DCB＝∠B，由折叠知∠COF＝∠DOF＝90°，∴∠DCB＋∠CFE＝90°，∴∠B＋∠CFE＝90°.∵∠CEF＋∠CFE＝90°，∴∠B＝∠CEF.在△CEF和△CBA中，∠ECF＝∠BCA，∠CEF＝∠B，∴△CEF∽△CBA.24．解：(1)当α＝0°时，∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴BD＝4，AE＝EC＝AC.∵∠B＝90°，∴AC＝＝4，∴AE＝CE＝2，∴＝＝.当α＝180°时，如图①，易得AC＝4，CE＝2，CD＝4，∴＝＝＝.14,(2)无变化．证明：在题图①中，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴＝，∠EDC＝∠B＝90°.在题图②中，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，∴＝仍然成立．∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△ACE∽△BCD.∴＝.由(1)可知AC＝4.∴＝＝.∴＝.∴的大小不变．(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝＝8.又知DE＝2，∴AE＝6.∵＝，∴BD＝.综上，BD的长为4或.14
