专题强化练4 函数的单调性与奇偶性一、单项选择题1.()已知函数f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是减函数,且在区间[a,b](a<b<0)上的值域为[-3,4],则f(x)在区间[-b,-a]上( ) A.有最大值4B.有最小值-4C.有最大值-3D.有最小值-32.()定义在R上的函数f(x)在(-∞,2)上是增函数,且f(x+2)=f(2-x)对任意x∈R恒成立,则( )A.f(-1)<f(3)B.f(-1)>f(3)C.f(-1)=f(3)D.f(0)=f(3)二、多项选择题3.(2021江苏盐城响水中学高三上学情分析,)已知函数f(x)是偶函数,f(x+1)是奇函数,且当x∈[1,2]时,f(x)=1-|x-2|,则下列说法正确的是( )A.f(x)在(-3,-2)上为减函数B.在(-3,-2)上,f(x)<0C.f(x)在(-3,-2)上为增函数D.在(-3,-2)上,f(x)>0三、填空题4.(2021安徽六安高一上期中,)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f13的x的取值范围是 . 5.()设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若x1<0且x1+x2>0,则f(-x1) f(-x2).(填“<”“>”或“=”) 四、解答题6.()已知函数f(x)=-x2+2x,x>0,0,x=0,x2+mx,x<0是奇函数.6
(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.7.()已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+ax.(1)若a=-2,求函数f(x)的解析式;(2)若函数f(x)为R上的单调递减函数,①求实数a的取值范围;②若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求实数t的取值范围.8.(2021四川广元八二一中学高一上月考,)已知函数f(x)是定义在(-1,1)上的函数,对于区间(-1,1)内的任意两个数a,b都满足等式f(a)+f(b)=fa+b1+ab,且当x>0时,f(x)>0.(1)求f(0)的值,并判断f(x)的奇偶性;(2)证明f(x)是(-1,1)上的增函数;6
(3)若f12=1,解关于x的不等式f(x)+f(1-x)>2.答案全解全析第三章 函数专题强化练4 函数的单调性与奇偶性一、单项选择题1.B 解法一:根据题意作出y=f(x)的简图(如图所示),由图知选B.6
解法二:当x∈[-b,-a]时,-x∈[a,b],由题意得f(b)≤f(-x)≤f(a),即-3≤-f(x)≤4,所以-4≤f(x)≤3,即在区间[-b,-a]上f(x)min=-4,f(x)max=3,故选B.2.A 易知f(x)的图像关于直线x=2对称,所以f(3)=f(1)≠f(0),因为f(x)在(-∞,2)上是增函数,所以f(-1)<f(1)=f(3).故选A.二、多项选择题3.CD 因为f(x)是偶函数,f(x+1)是奇函数,所以函数f(x)的图像关于y轴对称,且关于点(1,0)中心对称,当x∈[1,2]时,f(x)=1-|x-2|=1+x-2=x-1,画出f(x)的部分图像如图所示,由图像知函数f(x)在(-3,-2)上单调递增,且f(x)>0,所以C,D正确.三、填空题4.答案 x13<x<23解析 ∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(|x|),∴不等式f(2x-1)<f13等价为f(|2x-1|)<f13.∵f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,∴|2x-1|<13,解得13<x<23.∴x的取值范围是x13<x<23.5.答案 >解析 ∵x1<0,x1+x2>0,∴x2>-x1>0,又∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(x2)<f(-x1),∵f(x)是偶函数,∴f(-x2)=f(x2)<f(-x1).四、解答题6.解析 (1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.6
又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)由(1)知f(x)在[-1,1]上是增函数,要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增.结合f(x)的图像(图略)知a-2>-1,a-2≤1,解得1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].7.解析 (1)当x<0时,-x>0,又∵f(x)为奇函数,且a=-2,∴当x≥0时,f(x)=-x2-2x,当x<0时,f(x)=-f(-x)=x2-2x,∴f(x)=x2-2x,x<0,-x2-2x,x≥0.(2)①当a≤0时,a2≤0,由二次函数的性质得f(x)=-x2+ax在[0,+∞)上单调递减,∵奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,又∵在(-∞,0)上f(x)>0,在(0,+∞)上f(x)<0,∴当a≤0时,f(x)为R上的单调递减函数.当a>0时,f(x)在0,a2上单调递增,在a2,+∞上单调递减,不符合题意.∴函数f(x)为单调递减函数时,实数a的取值范围为(-∞,0].②∵f(m-1)+f(m2+t)<0,∴f(m-1)<-f(m2+t),又∵f(x)是奇函数,∴f(m-1)<f(-t-m2),又∵f(x)为R上的单调递减函数,∴m-1>-t-m2恒成立,∴t>-m2-m+1=-m+122+54对任意实数m恒成立,∴t>54,即实数t的取值范围是54,+∞.8.解析 (1)令a=b=0,则f(0)+f(0)=f(0),6
∴f(0)=0.任取x∈(-1,1),则-x∈(-1,1),不妨令a=x,b=-x,则f(x)+f(-x)=fx-x1-x2=f(0)=0,即f(x)=-f(-x),故f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数.(2)证明:任取x1,x2∈(-1,1),且x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=fx1-x21-x1x2.∵x1>x2,∴x1-x2>0.∵-1<x1<1,-1<x2<1,∴1-x1x2>0,∴x1-x21-x1x2>0,由题意得fx1-x21-x1x2>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)是定义在(-1,1)上的增函数.(2)由f(x)的定义域为(-1,1)可知-1<x<1,-1<1-x<1,解得0<x<1.令a=b=12,则f12+f12=f45,可得f45=2,原不等式可化为f11+x(1-x)>f45,∵f(x)是定义在(-1,1)上的增函数,∴11+x(1-x)>45.∵0<x<1,∴1+x(1-x)恒大于0,不等式可化为(2x-1)2>0,解得x≠12.∴原不等式的解集为0,12∪12,1.6
