二分法基础过关练题组一 二分法的概念及适用条件1.下面关于二分法的叙述,正确的是( )A.用二分法可求所有函数零点的近似值B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任意一位C.二分法无规律可循D.只有在求函数零点时才用二分法2.下列函数中能用二分法求零点的是( )3.(2020安徽芜湖高一上期末)在用二分法求函数f(x)零点的近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是( ) A.[1,4]B.[-2,1]C.-2,52D.-12,14.若函数f(x)在[a,b]上的图像为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)fa+b2>0,则( )A.f(x)在a,a+b2上有零点B.f(x)在a+b2,b上有零点C.f(x)在a,a+b2上无零点D.f(x)在a+b2,b上无零点5.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是( )A.[-2,1]B.[-1,0]8
C.[0,1]D.[1,2]6.用二分法研究f(x)=x2+3x-1的零点时,第一次经过计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈ ,第二次计算 ,以上横线应填的内容分别是( ) A.(0,0.5),f(0.25)B.(0,1),f(0.25)C.(0.5,1),f(0.75)D.(0,0.5),f(0.125)题组二 用二分法求函数零点的近似值7.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精度为0.001,则结束计算的条件是( )A.|a-b|<0.2B.|a-b|<0.002C.|a-b|>0.002D.|a-b|=0.0028.若用二分法计算函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点附近的函数值,参考数据如下:f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)≈-0.984f(1.375)≈-0.260f(1.4375)≈0.162f(1.40625)≈-0.054则方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解为 .(精确到0.1) 9.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.5)<0,f(0.75)>0,f(0.625)<0,即可得出方程的一个近似解为 (精度为0.1). 10.借助计算器用二分法求关于x的方程x2-2x-1=0的正实数解的近似值.(精度为0.1)能力提升练一、单项选择题8
1.()已知函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[a,b],都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0,且f(a)·f(b)<0.在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为[a,b],a+b2,b,a2,2b-3,又fa2+2b-32=0,则函数f(x)的零点为( ) A.-6B.-3C.-92D.-322.()已知函数f(x)在(1,2)内有1个零点,用二分法求零点的近似值时,若精度为0.01,则至少计算中点函数值( )A.5次B.6次C.7次D.8次二、多项选择题3.()下列函数图像与x轴均有交点,其中能用二分法求函数零点的是( )4.()若函数f(x)的图像是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在(0,4),(0,2),(1,2),1,32,54,32内,则与f(0)符号不同的是( )A.f(4)B.f(2)C.f(1)D.f32三、填空题5.()用二分法求方程x2+1=3x的一个近似解时,已确定有一个根在区间(0,1)内,则下一步可确定这个根所在的区间为 . 6.()用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的近似解时,已知f(2)f(4)<0,若精度为0.1,则要确定零点所在区间,至少需将区间等分 次. 7.()已知函数f(x)=3x2-1在区间(0,1)上有唯一零点x0,用二分法求这个零点(精度ε=0.025)的近似值时,规定只要零点的存在区间(a,b)满足|a-b|<2ε时,就可以用区间中点a+b2作为零点的近似值,那么求得x0≈ .四、解答题 8
8.()在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真币完全相同的假币(质量比真币的略小).现只有一台天平,请问:利用二分法的思想,至多几次就一定可以找出这枚假币?9.()已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,且满足a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.答案全解全析8
第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系第2课时 二分法基础过关练1.B2.C3.D4.B5.A6.A7.B1.B 只有函数的图像在零点附近是连续不断的且在该零点左右函数值异号,才可以用二分法求函数的零点的近似值,故A错;二分法有规律可循,可以通过计算机来进行,故C错;求方程的近似解也可以用二分法,故D错.故选B.2.C 在A和D中,函数虽有零点,但在零点左右函数值同号,因此它们都不能用二分法求零点;在B中,函数无零点;在C中,函数图像是连续不断的,且图像与x轴有交点,并且其零点左右函数值异号,所以C中的函数能用二分法求零点.故选C.3.D ∵第一次所取的区间是[-2,4],∴第二次所取的区间是[-2,1]或[1,4],∴第三次所取的区间是-2,-12,-12,1,1,52或52,4.4.B 由f(a)f(b)<0,f(a)fa+b2>0可知fa+b2f(b)<0,根据函数零点存在定理可知f(x)在a+b2,b上有零点.故选B.5.A 由于f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,故可以取区间[-2,1]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算.6.A f(x)=x2+3x-1的图像在(0,0.5)上连续并且f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈(0,0.5),使得f(x0)=0.根据二分法思想可知在第二次计算时,应计算f(0.25).故选A.7.B 根据二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于或等于精度的2倍时,便可结束计算,故选B.8.答案 1.4 解析 由题表中参考数据得f(1.4375)>0,f(1.40625)<0,所以函数的零点在1.40625至1.4375之间,因为题中要求精确到0.1,所以方程的一个近似解为1.4.9.答案 0.6875解析 因为|0.75-0.5|=0.25>0.2,|0.75-0.625|=0.125<0.2,所以0.75+0.6252=0.6875可作为方程的近似解.10.解析 令f(x)=x2-2x-1,则关于x的方程x2-2x-1=0的正实数解的近似值即为函数f(x)=x2-2x-1的正零点的近似值.8
由于f(2)=-1<0,f(3)=2>0,故可取区间(2,3)作为计算的初始区间.用二分法逐次计算,列表如下:零点所在区间区间中点中点对应的函数值(2,3)2.50.25(2,2.5)2.25-0.4375(2.25,2.5)2.375-0.109375(2.375,2.5)2.4375因为|2.5-2.375|=0.125<0.2,所以关于x的方程x2-2x-1=0的正实数解的近似值可取2.375+2.52=2.4375.能力提升练1.C2.B3.ABC4.ABD一、单项选择题1.C 根据二分法的概念和已知,有a2=a+b2,2b-3=a+3b4或a2=a+3b4,2b-3=b,解得a=-12,b=0或a=9,b=3,又因为a<b,所以a=-12,b=0,故函数f(x)的零点为a2+2b-32=-92.故选C.2.B 设对区间(1,2)二等分n次,初始区间长度为1.第1次计算后区间长度为12;第2次计算后区间长度为122;第3次计算后区间长度为123……第5次计算后区间长度为125>0.02;第6次计算后区间长度为126<0.02.故至少计算6次.故选B.二、多项选择题3.ABC 二分法适用于函数图像连续,且零点两侧函数值异号的情况.故选ABC.4.ABD 由二分法的步骤可知:①零点在(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2;②零点在(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1;③零点在(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中点32;④零点在1,32内,则有f(1)·f32<0,则f(1)>0,f32<0,取中点54;⑤零点在54,32内,则有f54·f32<0,则f54>0,f32<0.8
所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f32,故选ABD.三、填空题5.答案 0,12解析 令f(x)=x2-3x+1,它的图像在(0,1)上是连续不断的.∵f(0)=1>0,f12=14-312+1=54-3×22=5-624<0,∴下一步可确定这个根所在的区间为0,12.6.答案 5解析 因为区间(2,4)的长度为2,所以第一次等分后区间长度为1,第二次等分后区间长度为0.5,第三次等分后区间长度为0.25,第四次等分后区间长度为0.125>0.1,第五次等分后区间长度为0.0625<0.1,所以需要将区间等分5次.7.答案 3764解析 因为f(0)<0,f(1)>0,f12<0,所以x0∈12,1;因为f34>0,所以x0∈12,34;因为f58>0,所以x0∈12,58;因为f916<0,所以x0∈916,58;因为f1932>0,所以x0∈916,1932.因为58-916=0.0625>0.05,1932-916=0.03125<0.05,所以函数零点x0≈916+19322=3764.四、解答题8.解析 利用二分法,至多四次就一定可以找出这枚假币.第一次把26枚金币平均分成两组,放在天平上称,天平一定不平衡,轻的一组(13枚金币)含假币;第二次把含假币的13枚金币分成三组:6,6,1,把有6枚金币的两组放在天平上称,如果平衡,那么剩下的一枚是假币(称量结束),如果不平衡,那么轻的一组(6枚金币)含假币;第三次把含假币的6枚金币平均分成两组,放在天平上称,天平不平衡,轻的一组含假币;第四次把含假币的3枚金币分成3组:1,1,1,取其中的两枚金币放在天平上称,如果平衡,那么剩下的一枚是假币,如果不平衡,那么轻的一枚是假币.因此,最多四次就可以找出假币.9.证明 ∵f(1)>0,∴3a+2b+c>0,8
即3(a+b+c)-b-2c>0.∵a+b+c=0,∴-b-2c>0,则-b-c>c,即a>c.∵f(0)>0,∴c>0,∴a>0.取区间[0,1]的中点12,则f12=34a+b+c=34a+(-a)=-14a<0.∵f(0)>0,f(1)>0,∴函数f(x)在区间0,12和12,1内各有一个零点.又f(x)为二次函数,最多有两个零点,从而方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.8
