利用导数解决实际问题(建议用时：40分钟)一、选择题1．某莲藕种植塘每年的固定成本是10000元，每年最大规模的种植量是40000斤，每种植一斤莲藕，成本增加0.5元，如果收入函数是R(q)＝－q3＋10000q2＋q(q是莲藕的质量，单位：斤)，则要使利润最大，每年莲藕的种植量应为( )A．10000斤 B．12000斤C．20000斤D．20100斤D [设利润为L，则L＝－q3＋10000q2＋q－10000－0.5q＝－q3＋10000q2＋2010000q－10000(0<q≤40000)，∴L′＝－q2＋20000q＋2010000＝－(q－20100)(q＋100)，∴函数在(0，20100)上单调递增，在(20100，40000]上单调递减，故当q＝20100时，利润最大．]2．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )A．32，16B．30，15C．40，20D．36，18A [要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－．令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短．]3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是( )A．100 B．150 C．200 D．300D [由题意，得总成本函数为C(x)＝20000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝8
所以P′(x)＝令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．]4．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8300－170p－p2．则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A．30元B．60元C．28000元D．23000元D [设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700．令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000．因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．]5．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，当容器的体积最大时，该容器的高为( )A．8cmB．9cmC．10cmD．12cmC [设容器的高为xcm，容器的体积为V(x)cm3，则V(x)＝(90－2x)(48－2x)x＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)，所以V′(x)＝12x2－552x＋4320，由V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍)，因为当0<x<10时，V′(x)>0，当10<x<24时，V′(x)<0．所以当x＝10时，V(x)在区间(0，24)内有唯一极大值，8
所以容器高x＝10cm时，容器体积V(x)最大．]二、填空题6．边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成一个正四棱锥．当该棱锥的体积取得最大值时，其底面边长为________． [设正四棱锥的底面边长为2x，则斜高为＝1－x，所以此正四棱锥的高h＝＝，所以正四棱锥的体积V＝·4x2·＝，令f(x)＝x4－2x5，则f′(x)＝4x3－10x4，令f′(x)＝4x3－10x4＝2x3(2－5x)＝0，得x＝0或x＝．当x∈时，f′(x)>0，x∈时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝时取得极大值，也是最大值，此时正四棱锥的体积最大，底面边长为．]7．已知矩形的两个顶点A、D位于x轴上，另两个顶点B、C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大为________． [由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4－x2，∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0<x<2)．∴S′＝8－6x2．令S′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当0<x<时，S′>0；当<x<2时，S′<0．∴当x＝时，S取得最大值为．]8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为108
km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为________km/h．20 [设轮船的速度为xkm/h时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3(k≠0)．因为6＝k×103，所以k＝，所以Q＝x3．所以行驶每千米的费用总和为y＝·＝x2＋(x>0)．所以y′＝x－．令y′＝0，解得x＝20．因为当x∈(0，20)时，y′<0，此时函数单调递减；当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增，所以当x＝20时，y取得最小值，即此轮船以20km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小．]三、解答题9．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝－x＋8，x∈(0，120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以多少千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少？[解] 当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，由题意，得y＝·＝＋－(0<x≤120)，则y′＝－＝(0<x≤120)，令y′＝0，得x＝80，当x∈(0，80)时，y′<0，该函数单调递减；当x∈(80，120]时，y′>0，该函数单调递增．故当x＝80时，y取得最小值．故汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少．10．如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50km．两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a8
元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？[解] 设C点距D点x(km)，则AC＝50－x(km)，所以BC＝＝(km)．又设总的水管费用为y元，依题意，得y＝3a(50－x)＋5a(0<x<50)．y′＝－3a＋．令y′＝0，解得x＝30．在x∈(0，50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．1．现有一个帐篷，它下部分的形状是高为1m的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示)，当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为( )A．1m B．mC．2mD．3mC [设OO1为xm，则1<x<4，设底面正六边形的面积为Sm2，帐篷的体积为Vm3．则由题设可得，正六棱锥底面边长为＝(m)，于是S＝6×()2＝(8＋2x－x2)，所以V＝×(8＋2x－x2)(x－1)＋×(8＋2x－x2)＝(8＋2x－x2)[(x－1)＋3]＝(16＋12x－x3)(1<x<4)，则V′＝(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(舍去)．当1<x<2时，V′>0，V单调递增；当2<x<4时，V′<0，V单调递减．所以当x8
＝2(m)时，V最大，故选C．]2．(多选题)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，若长方体的宽为xm，则( )A．长方体的体积V(x)＝(9x2＋6x3)m3B．长方体的最大体积V＝3m3C．长方体的体积最大时，长为2m，宽为1mD．长方体的体积最大时，高为1.5mBCD [设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h＝＝－3x(m)，故长方体的体积为V(x)＝2x2＝9x2－6x3，故A错误；从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)．当0<x<1时，V′(x)>0；当1<x<时，V′(x)<0，故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)，故BCD正确．]3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．3 [设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r>0)，则水桶的高为，所以S＝πr2＋2πr×＝πr2＋(r>0)．求导数，得S′＝2πr－，令S′＝0，解得r＝3．当0<r<3时，S′<0；当r>3时，S′>0．所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省．]4．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．8
6 3 [设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k(k>0)为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，得b＝(0<a<30)．于是y＝＝＝．令y′＝＝0，得a＝6或a＝－10(舍去)．因为只有一个极值点，所以此极值点即为最值点．当a＝6时，b＝3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．]某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r．[解] (1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，故l＝＝－r＝．由于l≥2r，因此0<r≤2．8
所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr××3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋，0<r≤2．(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－＝，0<r≤2．由于c>3，所以c－2>0．当r3－＝0时，r＝．令＝m，则m>0，所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0<m<2，即c>时，令y′＝0，得r＝m．当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m，2]时，y′>0，所以r＝m＝是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2，即3<c≤时，当r∈(0，2]时，y′≤0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤时，建造费用最小时r＝2；当c>时，建造费用最小时r＝．8
