导数及其几何意义(建议用时：40分钟)一、选择题1．下面说法正确的是( )A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在C [根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．]2．已知f′(x0)＝3，的值是( )A．3 B．2 C． D．B [＝＝f′(x0)＝2．故选B．]3．已知曲线f(x)＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是( )A．(1，1)B．(－1，1)C．(1，1)或(－1，－1)D．(2，8)或(－2，－8)C [设P(x0，y0)，则f′(x0)＝＝[3x＋3x0·Δx＋(Δx)2]＝3x．由题意，知切线斜率k＝3，令3x＝3，得x0＝1或x0＝－1．当x0＝1时，y0＝1；当x0＝－1时，y0＝－1．故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1)，故选C．]4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝bC [∵f′(x0)＝＝＝(a＋bΔx)＝a，6
∴f′(x0)＝a．]5．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )A．4x－y－4＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0A [设切点为(x0，y0)，∵f′(x0)＝＝(2x0＋Δx)＝2x0．由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，∴x0＝2，∴切点坐标为(2，4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A．]二、填空题6．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是__________．(填序号)① ② ③ ④② [由y＝f(x)的图像及导数的几何意义可知，当x<0时，f′(x)>0；当x＝0时，f′(x)＝0；当x>0时，f′(x)<0．故②符合．]7．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，则常数a＝________．2 [因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝4a＋aΔt，故当t＝2时，瞬时速度为＝4a，所以4a＝8，所以a＝2．]8．若f′(x0)＝1，则＝__________．－ [6
＝－＝－f′(x0)＝－．]三、解答题9．试求过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．[解] 设所求切线的切点为A(x0，y0)，则f′(x0)＝＝＝2x0．∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x，又∵A是切点，∴过点A的切线的斜率k＝2x0，∵所求切线过P(3，5)和A(x0，y0)两点，∴其斜率为＝．∴2x0＝，解得x0＝1或x0＝5．从而切点A的坐标为(1，1)或(5，25)．当切点为(1，1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；当切点为(5，25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10．∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25．10．“菊花”烟花是壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．[解] 烟花在t＝2s时的瞬时速度就是h′(2)．而＝＝－4.9－4.9Δt，所以h′(2)＝＝(－4.9－4.9Δt)＝－4.9，即在t＝2s时，烟花正以4.9m/s的瞬时速度下降．如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t＝1.5s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.56
s之间，曲线在任何点处的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5s后，曲线在任何点处的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．1．(多选题)下列命题正确的是( )A．若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x0处无切线B．函数y＝f(x)的切线与函数的图像可以有两个公共点C．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则当Δx→0时，＝1D．若函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，且f(1)＝2，则f(x)的图像在x＝1处的切线方程为x＋y－3＝0BD [若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x0处的切线斜率为0，故选项A错误；函数y＝f(x)的切线与函数的图像可以有两个公共点，例如函数f(x)＝x3－3x，在x＝1处的切线为y＝－2，与函数的图像还有一个公共点(－2，－2)，故选项B正确；因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以f′(1)＝2，又＝－＝－f′(1)＝－1≠1，故选项C错误；因为函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，所以f′(1)＝12－2＝－1，又f(1)＝2，所以切点坐标为(1，2)，斜率为－1，所以切线方程为y－2＝－(x－1)，化简得x＋y－3＝0，故选项D正确．故选BD．]2．设f(x)在x＝1附近有定义，且满足＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )A．2B．－1C．1D．－2D [∵＝＝－1，∴＝－2，即f′(1)＝－2．由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝－2，故选D．]3．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．2 [因为s′(0)＝6
＝＝＝(2－3Δt)＝2．所以物体的初速度是v0＝2．]4．已知f′(x0)>0，若a＝，b＝，c＝，d＝，e＝，则a，b，c，d，e的大小关系为__________．c>a＝d＝e>b [a＝＝f′(x0)，b＝＝－＝－f′(x0)，c＝＝2＝2f′(x0)，d＝＝f′(x0)，e＝＝f′(x0)．即c>a＝d＝e>b．]已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，求a，b的值．[解] 因为f′(1)＝＝＝2a，所以f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a．6
因为g′(1)＝＝＝3＋b，所以g′(1)＝3＋b，即切线的斜率k2＝3＋b．因为在交点(1，c)处有公切线，所以2a＝3＋b．又因为c＝a＋1，c＝1＋b，所以a＋1＝1＋b，即a＝b，由得6
