11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角——三角形的内角和定理及直角三角形的性质与判定一、新课导入1.导入课题：前面我们学习了与三角形有关的线段，今天我们就来学习与三角形有关的角.2.学习目标：（1）通过经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理.（2）能运用平行线的性质证明内角和定理.（3）能应用三角形内角和定理推导并归纳直角三角形的性质与判定.3.学习重、难点：重点：三角形内角和定理及其应用，直角三角形的性质与判定.难点：三角形内角和定理的证明.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：探究验证三角形内角和等于180°的方法.（2）自学时间：5分钟.（3）自学要求：动手完成实验活动，得出三角形的内角和定理，并能证明这一定理.,（4）探究提纲：①拼一拼:在事先准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码（如图），并将它的内角剪下将顶点拼合在一起，试一试看怎么样？拼成了一个平角.②议一议：从上面的操作过程你能得出什么结论？与同伴交流.把一个三角形其中的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，形成了一个平角.说明在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.从中得出：三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°。③想一想：如果我们不用剪、拼的办法，可不可以用推理论证的方法来说明三角形内角和定理的正确性呢？如果有困难的话不妨先完成如下的填空，再回答.已知：△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明：如右图，过点A作直线DE，使DE∥BC∵DE∥BC，∴∠B=∠DAB（两直线平行，内错角相等）同理∠C=∠EAC（两直线平行，内错角相等）∵∠BAC、∠DAB、∠EAC组成平角，,∴∠BAC+∠DAB+∠EAC=180°（平角定义）∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）④记一记：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，添加的辅助线通常用虚线（选“实线”或“虚线”）来表示.⑤思考：你能从拼图中想出其他证明三角形内角和定理的方法吗？2.自学:同学们可结合探究提纲进行自主探究学习.3.助学:（1）师助生：①明了学情：“三角形的内角和为180°”在小学四年级已经接触过，学生并不陌生，但学生对添加辅助线证明内角和定理仍存在难度，教师对此应予关注.②差异指导：引导学生回忆前面学习过的知识之中，有哪些知识涉及到180°.（2）生助生：学生相互查看拼图及论证过程,并对错误的学生进行指导.4.强化:（1）三角形内角和定理及证明方法.（2）教材第16页复习巩固第1题.1.自学指导：（1）自学内容：教材第12页到第13页例1、例2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学要求：认真阅读例题条件和问题，学习例题的解答过程.,（4）自学参考提纲：①把例1的已知条件在图形中标示出来.②找准例2中的方位角，并在图形上标示出来.③还有哪些角没有弄清楚，做上记号，组内交流.④试着独立完成例2，组内评一评.2.自学:结合自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生：①明了学情：例1学生会很快独立地完成.例2中由于出现的方位角较多，学生容易混淆，需要重点关注.②差异指导：帮助学习困难的学生，一句一句分析例2中所描述的方位角，并对照图形找出来.(2)生助生：不清楚、不明白的地方互助交流.4.强化:（1）三角形内角和定理及应用.（2）方位角的意义及应用.1.自学指导：（1）自学内容：教材第13页到第14页“练习”之前的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学要求：动手完成推导的过程，能说出得出结论的依据.（4）自学参考提纲：①如图，用符号表示下列直角三角形.,Rt△ABCRt△PMQ②三角形的内角和定理在直角三角形中是否适用？直角三角形两锐角之间存在什么关系？写出证明过程.证明：因为直角三角形中有一个直角，且内角和为180°，所以另外两锐角的和为90°.结论：直角三角形的两个锐角互余.根据下列图形，把上述结论改写成几何语言：在△ABC中,∵∠B=90°，∴∠A+∠C=90°.③独立阅读例3的解答过程，你知道例3中运用了直角三角形的什么性质？这个性质反过来也成立吗？例3中运用了直角三角形两个锐角互余的性质，这个性质反过来也是成立的.④直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.结合右图把上述语句改写成几何语言：在△ABC中,∵∠B+∠C=90°.∴△ABC是直角三角形.2.自学:结合自学指导进行自学.,3.助学:（1）师助生：①明了学情：本节内容比较容易，学生能通过自学掌握本节知识.②差异指导：在解答例3时，引导学生寻找题目中的隐含条件.（2）生助生：学生之间相互交流，帮助解决学习疑点及存在的问题.4.强化:（1）回忆直角三角形的性质及判定.（2）教材第14页“练习”.练习1：∠ACD=∠B.∵∠BCD+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠B.练习2：△ADE是直角三角形.∵∠C=90°,∴∠2+∠A=90°,又∵∠1=∠2，∴∠1+∠A=90°,∴∠ADE=90°.∴△ADE是直角三角形.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和困惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及存在的不足进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师自我评价（教学反思）：本课时教学思路按猜想、实验、证明的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，并给学生留下充分的思考时间与空间，形成解决问题的意识与能力.,一、基础巩固（每题10分，共60分）1.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°.2.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，CD是∠C的角平分线，图中有3个等腰三角形.3.如图，在△ABC中，∠B=∠C=50°，AD、DE分别是∠BAC、∠ADC的角平分线，则∠DEC=（D）A.45°B.50°C.60°D.85°4.一个等腰△ABC，一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰△ABC的顶角度数为50°或130°.5.若一个三角形三个内角度数的比为2∶7∶4，那么这个三角形是（C）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定6.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则图中除直角外相等的角有∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，互余的角有：∠A与∠B，∠A与∠ACD，∠B与∠BCD，∠ACD与∠BCD.二、综合应用（每题10分，共20分）7.如图,在△ABC中,∠ABC=70°,∠C=65°,BD⊥AC于D，求∠ABD,∠CBD的度数.,解：∵∠ABC=70°,∠C=65°,∴∠A=180°-∠ABC-∠C=45°.∵BD⊥AC,∴∠ADB=∠CDB=90°,∴∠ABD=90°-∠A=∠45°,∠CBD=90°-∠C=25°.8.△ABC中，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，已知∠A=100°,求∠BDC的度数.解：∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）.又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=80°.∴∠DBC+∠DCB=40°，∴∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=140°.三、拓展延伸（20分）9.如图,AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，试问：∠AEC的度数是多少？解：∵AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°.,AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,∴∠EAC+∠ECA=12(∠BAC+∠ACD)=90°,∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=90°.
