第十一章三角形11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角
第2课时直角三角形的性质和判定一、教学目标【知识与技能】掌握直角三角形的两个锐角互余。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。【过程与方法】会用直角三角形的性质进行有关推理和计算。【情感态度与价值观】让学生体会从一般到特殊的思想。二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。四、教学重难点【教学重点】探索并掌握直角三角形的两个锐角互余。【教学难点】\n经历直角三角形性质的探索过程，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。能利用直角三角形的性质和判定解决一些简单问题，会用直角三角形的性质进行有关推理和计算。五、课前准备教师：课件、三角尺、量角器等。学生：三角尺、直尺、量角器。六、教学过程（一）导入新课本节课开始之前，先给大家讲一个故事：在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷.你知道其中的道理吗？老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因而是不可能的.（出示课件2）（二）探索新知1.探索直角三角形的性质教师问1：三角形的内角和是多少度？学生回答：三角形内角和为180°.教师问2：我们学习过的三角形按角分类，分为哪些呢？学生回答：所有的三角形只能分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.\n今天我们将要一块儿学习三角形里面特殊又别致的一个三角形，大家知道是什么吗？出示直角三角形的图形：学生回答：直角三角形.教师讲解：那么老师说它不一般，而且很特殊，那它到底有些什么样的特殊地方呢？下面我就请大家作为探宝者，把它的秘密都给发掘出来教师问3：如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度?
（出示课件4）学生回答：30°+60°=90°，45°+45°=90°.教师让同学们利用手里的工具（直尺、量角尺）,随意构建任何大小的直角三角形，等同学们画完以后，让同位互换所画的三角形.教师问4：请同学们量出自己手中的直角三角形的两个锐角，计算一下它们的和是多少度？学生回答：两个锐角的和是90°.\n教师问5：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？如何证明呢？（出示课件5）学生回答：在直角三角形ABC中，因为∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B=90°.
教师问6：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？学生回答：直角三角形的两个锐角互余.教师总结：（出示课件6）直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余．应用格式：
在Rt△ABC中，
∵ ∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．
\n探究1：利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数例1：（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？（出示课件7）
图师生共同解答如下:方法一（利用平行的判定和性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠D.
（2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.（出示课件8）
\n图师生共同解答如下：解：∠A=∠C.
理由如下：
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠C.出示课件9，学生自主练习解答。例2：如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？（出示课件10）
师生共同解答如下：解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°–∠AEC.
在Rt△BDE中，∠DBE=90°–∠BED.
∵∠AEC=∠BED，
∴∠CAE=∠DBE.\n总结点拨：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？（出示课件12）
基本图形：∠A=∠D∠A=∠C2.活动探究直角三角形的判定方法教师问7：我们知道，直角三角形的两锐角互余；反之，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？学生讨论后回答：有两个角互余的三角形是直角三角形.教师问8：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？（出示课件13）
学生小组讨论给出证明如下：在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，
所以∠C=90°.
即△ABC是直角三角形.
教师总结：（出示课件14）\n直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.应用格式：
在△ABC中，
∵ ∠A+∠B=90°，
∴ △ABC是直角三角形．探究2：利用直角三角形的判定定理识别直角三角形例：如图，∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？（出示课件15）
师生共同解答如下：解：在Rt△ABC中，
∠2+∠A=90°.
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠A=90°.
即△ADE是直角三角形.例：如图，\nCE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？（出示课件17）
师生共同解答如下：解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.（三）课堂练习（出示课件20-23）1.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________.2.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A=________.
\n3.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________.
4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C
B．∠A–∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3
D．∠A=∠B=3∠C
6.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB，与∠1互余的角有（ ）
A．∠BB．∠A
C．∠BCD和∠AD．∠BCD7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形．
参考答案：\n1.90°
2.52°3.直角三角形4.B5.D6.C7.证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴△ACD是直角三角形.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1．直角三角形的内角有什么关系？答：直角三角形的两锐角互余．2．目前已学的直角三角形的判定方法：答：(1)有一个角是直角；(2)两边互相垂直；(3)有两个角互余．（五）课前预习预习下节课（11.2.2）的相关内容。知道三角形外角的定义和三角形外角的性质及外角和的度数七、课后作业1、教材14页练习和教材16页第4题\n2、如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.试判断△ABD的形状．
八、板书设计：11.2.1三角形的内角（第2课时）直角三角形的两个锐角互余．应用格式：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90°，∴ ∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC例1：例2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 应用格式：在△ABC中，∵ ∠A+∠B=90°，∴ △ABC是直角三角形．例3：\n例4：九、教学反思：老师根据本节课同学们的课堂表现，积极反思教学过程，对这样的教学方法做出改进。了解同学们的自主学习、探索能力，为以后教学提供经验。
