第15章分式一、选择题1．已知关于x的分式方程=1的解是非正数，则a的取值范围是（ ）A．a≤﹣1B．a≤﹣1且a≠﹣2C．a≤1且a≠﹣2D．a≤12．下列计算正确的是（ ）A．﹣2﹣1=2B．（﹣2）2=﹣4C．20=0D．=23．甲乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（ ）A．甲乙同时到达B地B．甲先到达B地C．乙先到达B地D．谁先到达B地与速度v有关4．若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是（ ）A．m＞﹣1B．m≥1C．m＞﹣1且m≠1D．m≥﹣1且m≠15．若x=3是分式方程﹣=0的根，则a的值是（ ）A．5B．﹣5C．3D．﹣36．关于x的分式方程=有解，则字母a的取值范围是（ ）A．a=5或a=0B．a≠0C．a≠5D．a≠5且a≠07．解分式方程+=3时，去分母后变形为（ ）A．2+（x+2）=3（x﹣1）B．2﹣x+2=3（x﹣1）C．2﹣（x+2）=3（1﹣x）D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）8．分式方程=的解为（ ）A．x=0B．x=3C．x=5D．x=99．分式方程=1的解为（ ）A．1B．2C．D．010．关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（ ）A．m＞﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m≥﹣1D．m≥﹣1且m≠019\n11．已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）A．m＞2B．m≥2C．m≥2且m≠3D．m＞2且m≠312．关于x的分式方程=1的解为正数，则字母a的取值范围为（ ）A．a≥﹣1B．a＞﹣1C．a≤﹣1D．a＜﹣113．已知方程﹣a=，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（ ）A．﹣1＜b≤3B．2＜b≤3C．8≤b＜9D．3≤b＜4 二、填空题14．若分式方程=a无解，则a的值为 ．15．关于x的分式方程﹣=0无解，则m= ．16．关于x的方程x2﹣4x+3=0与=有一个解相同，则a= ．17．已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为 ．18．分式方程=的解是 ．19．方程=的解是 ．20．方程﹣=1的解是 ．21．若关于x的分式方程=﹣2有非负数解，则a的取值范围是 ．22．计算：20130﹣2﹣1= ．23．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余电线的质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是 米．24．已知关于x的分式方程﹣=1的解为负数，则k的取值范围是 ．25．若关于x的方程无解，则m= ．26．若关于x的分式方程的解为正数，那么字母a的取值范围是 ．27．关于x的方程=﹣1的解是正数，则a的取值范围是 ．19\n28．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是 ．29．若关于x的方程=+1无解，则a的值是 ． 三、解答题30．小明解方程﹣=1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程． 19\n参考答案与试题解析一、选择题1．已知关于x的分式方程=1的解是非正数，则a的取值范围是（ ）A．a≤﹣1B．a≤﹣1且a≠﹣2C．a≤1且a≠﹣2D．a≤1【考点】分式方程的解．【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非正数”建立不等式求a的取值范围．【解答】解：去分母，得a+2=x+1，解得，x=a+1，∵x≤0且x+1≠0，∴a+1≤0且a+1≠﹣1，∴a≤﹣1且a≠﹣2，∴a≤﹣1且a≠﹣2．故选：B．【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，这也是本题最容易出错的地方． 2．下列计算正确的是（ ）A．﹣2﹣1=2B．（﹣2）2=﹣4C．20=0D．=2【考点】负整数指数幂；有理数的乘方；算术平方根；零指数幂．【分析】根据有理数乘方的法则、算术平方根的定义以及负整数指数幂为正整数指数的倒数，任何非0数的0次幂等于1，分别进行计算，即可得出答案．【解答】解：A、﹣2﹣1=﹣，故本选项错误；B、（﹣2）2=4，故本选项错误；C、20=1，故本选项错误；D、=2，故本选项正确；故选D．【点评】19\n此题考查了负整数指数幂、有理数的乘方、算术平方根以及零指数幂，注意：负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1． 3．甲乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（ ）A．甲乙同时到达B地B．甲先到达B地C．乙先到达B地D．谁先到达B地与速度v有关【考点】列代数式（分式）．【分析】设从A地到B地的距离为2s，根据时间=路程÷速度可以求出甲、乙两人同时从A地到B地所用时间，然后比较大小即可判定选择项．【解答】解：设从A地到B地的距离为2s，而甲的速度v保持不变，∴甲所用时间为，又∵乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，∴乙所用时间为，∴甲先到达B地．故选：B．【点评】此题主要考查了一元一次方程在实际问题中的应用，解题时首先正确理解题意，根据题意设未知数，然后利用已知条件和速度、路程、时间之间的关系即可解决问题． 4．若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是（ ）A．m＞﹣1B．m≥1C．m＞﹣1且m≠1D．m≥﹣1且m≠1【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m的范围即可．【解答】解：去分母得：m﹣1=2x﹣2，解得：x=，19\n由题意得：≥0且≠1，解得：m≥﹣1且m≠1，故选D【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 5．若x=3是分式方程﹣=0的根，则a的值是（ ）A．5B．﹣5C．3D．﹣3【考点】分式方程的解．【分析】首先根据题意，把x=3代入分式方程﹣=0，然后根据一元一次方程的解法，求出a的值是多少即可．【解答】解：∵x=3是分式方程﹣=0的根，∴，∴，∴a﹣2=3，∴a=5，即a的值是5．故选：A．【点评】（1）此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．（2）此题还考查了一元一次方程的求解方法，要熟练掌握． 6．关于x的分式方程=有解，则字母a的取值范围是（ ）A．a=5或a=0B．a≠0C．a≠5D．a≠5且a≠0【考点】分式方程的解．【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“关于x的分式方程=有解”，即x≠0且x≠2建立不等式即可求a的取值范围．19\n【解答】解：=，去分母得：5（x﹣2）=ax，去括号得：5x﹣10=ax，移项，合并同类项得：（5﹣a）x=10，∵关于x的分式方程=有解，∴5﹣a≠0，x≠0且x≠2，即a≠5，系数化为1得：x=，∴≠0且≠2，即a≠5，a≠0，综上所述：关于x的分式方程=有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0，故选：D．【点评】此题考查了求分式方程的解，由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式．另外，解答本题时，容易漏掉5﹣a≠0，这应引起同学们的足够重视． 7．解分式方程+=3时，去分母后变形为（ ）A．2+（x+2）=3（x﹣1）B．2﹣x+2=3（x﹣1）C．2﹣（x+2）=3（1﹣x）D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）【考点】解分式方程．【分析】本题考查对一个分式确定最简公分母，去分母得能力．观察式子x﹣1和1﹣x互为相反数，可得1﹣x=﹣（x﹣1），所以可得最简公分母为x﹣1，因为去分母时式子不能漏乘，所以方程中式子每一项都要乘最简公分母．【解答】解：方程两边都乘以x﹣1，得：2﹣（x+2）=3（x﹣1）．故选D．【点评】19\n考查了解分式方程，对一个分式方程而言，确定最简公分母后要注意不要漏乘，这正是本题考查点所在．切忌避免出现去分母后：2﹣（x+2）=3形式的出现． 8．分式方程=的解为（ ）A．x=0B．x=3C．x=5D．x=9【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x=3x﹣9，解得：x=9，经检验x=9是分式方程的解，故选D．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 9．分式方程=1的解为（ ）A．1B．2C．D．0【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣3x=x﹣2，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解．故选A．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 19\n10．关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（ ）A．m＞﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m≥﹣1D．m≥﹣1且m≠0【考点】分式方程的解．【分析】由题意分式方程的解为负数，解方程求出方程的解x，然后令其小于0，解出m的范围．注意最简公分母不为0．【解答】解：方程两边同乘（x+1），得m=﹣x﹣1解得x=﹣1﹣m，∵x＜0，∴﹣1﹣m＜0，解得m＞﹣1，又x+1≠0，∴﹣1﹣m+1≠0，∴m≠0，即m＞﹣1且m≠0．故选：B．【点评】此题主要考查分式的解，关键是会解出方程的解，此题难度中等，容易漏掉隐含条件最简公分母不为0． 11．已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）A．m＞2B．m≥2C．m≥2且m≠3D．m＞2且m≠3【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3=x﹣1，解得：x=m﹣2，由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，解得：m≥2且m≠3．故选：C19\n【点评】此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件． 12．关于x的分式方程=1的解为正数，则字母a的取值范围为（ ）A．a≥﹣1B．a＞﹣1C．a≤﹣1D．a＜﹣1【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【分析】将分式方程化为整式方程，求得x的值然后根据解为正数，求得a的范围，但还应考虑分母x+1≠0即x≠﹣1．【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣a=x+1，解得：x=a+1，根据题意得：a+1＞0且a+1+1≠0，解得：a＞﹣1且a≠﹣2．即字母a的取值范围为a＞﹣1．故选：B．【点评】本题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 13．已知方程﹣a=，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（ ）A．﹣1＜b≤3B．2＜b≤3C．8≤b＜9D．3≤b＜4【考点】分式方程的解；一元一次不等式组的整数解．【专题】计算题．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，经检验确定出分式方程的解，根据已知不等式组只有4个正整数解，即可确定出b的范围．【解答】解：分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a=﹣1，即（a﹣4）（a+1）=0，解得：a=4或a=﹣1，经检验a=4是增根，故分式方程的解为a=﹣1，已知不等式组解得：﹣1＜x≤b，∵不等式组只有4个整数解，∴3≤b＜4．19\n故选：D【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题意是解本题的关键． 二、填空题（共16小题）14．若分式方程=a无解，则a的值为 1或﹣1 ．【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【分析】由分式方程无解，得到最简公分母为0求出x的值，分式方程去分母转化为整式方程，把x的值代入计算即可求出a的值．【解答】解：去分母得：x﹣a=ax+a，即（a﹣1）x=﹣2a，显然a=1时，方程无解；由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，把x=﹣1代入整式方程得：﹣a+1=﹣2a，解得：a=﹣1，综上，a的值为1或﹣1，故答案为：1或﹣1【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 15．关于x的分式方程﹣=0无解，则m= 0或﹣4 ．【考点】分式方程的解．【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【解答】解：方程去分母得：m﹣（x﹣2）=0，解得：x=2+m，∴当x=2时分母为0，方程无解，即2+m=2，∴m=0时方程无解．19\n当x=﹣2时分母为0，方程无解，即2+m=﹣2，∴m=﹣4时方程无解．综上所述，m的值是0或﹣4．故答案为：0或﹣4．【点评】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容． 16．关于x的方程x2﹣4x+3=0与=有一个解相同，则a= 1 ．【考点】分式方程的解；解一元二次方程-因式分解法．【分析】利用因式分解法求得关于x的方程x2﹣4x+3=0的解，然后分别将其代入关于x的方程=，并求得a的值．【解答】解：由关于x的方程x2﹣4x+3=0，得（x﹣1）（x﹣3）=0，∴x﹣1=0，或x﹣3=0，解得x1=1，x2=3；当x1=1时，分式方程=无意义；当x2=3时，=，解得a=1，经检验a=1是原方程的解．故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的解、分式方程的解．解分式方程时，注意：分式的分母不为零． 17．已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为 n＜2且n≠ ．【考点】分式方程的解．【分析】求出分式方程的解x=n﹣2，得出n﹣2＜0，求出n的范围，根据分式方程得出n﹣2≠﹣，求出n，即可得出答案．19\n【解答】解：，解方程得：x=n﹣2，∵关于x的方程的解是负数，∴n﹣2＜0，解得：n＜2，又∵原方程有意义的条件为：x≠﹣，∴n﹣2≠﹣，即n≠．故答案为：n＜2且n≠．【点评】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，关键是得出n﹣2＜0和n﹣2≠﹣，注意题目中的隐含条件2x+1≠0，不要忽略． 18．分式方程=的解是 x=2 ．【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x=2x+2，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．故答案为：x=2．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 19．方程=的解是 x=9 ．【考点】解分式方程．【专题】计算题．19\n【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可确定出分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x=3x﹣9，解得：x=9，经检验x=9是分式方程的解，故答案为：x=9【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 20．方程﹣=1的解是 x=2 ．【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2﹣2x+2=x2﹣x，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解，故答案为：x=2【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 21．若关于x的分式方程=﹣2有非负数解，则a的取值范围是 a且a ．【考点】分式方程的解．【分析】将a看做已知数，表示出分式方程的解，根据解为非负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．【解答】解：分式方程去分母得：2x=3a﹣4（x﹣1），移项合并得：6x=3a+4，19\n解得：x=，∵分式方程的解为非负数，∴≥0且﹣1≠0，解得：a≥﹣且a≠．故答案为：a且a．【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，本题注意x﹣1≠0这个隐含条件． 22．计算：20130﹣2﹣1= ．【考点】负整数指数幂；零指数幂．【分析】根据任何数的零次幂等于1，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数进行计算即可得解．【解答】解：20130﹣2﹣1=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了任何数的零次幂等于1，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，是基础题，熟记两个性质是解题的关键． 23．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余电线的质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是 米．【考点】列代数式（分式）．【专题】计算题．【分析】这卷电线的总长度=截取的1米+剩余电线的长度．【解答】解：根据1米长的电线，称得它的质量为a克，只需根据剩余电线的质量除以a，即可知道剩余电线的长度．故总长度是（+1）米．故答案为：（+1）．【点评】19\n注意代数式的正确书写，还要注意后边有单位，故该代数式要带上括号．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 24．已知关于x的分式方程﹣=1的解为负数，则k的取值范围是 k＞且k≠1 ．【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据解为负数确定出k的范围即可．【解答】解：去分母得：（x+k）（x﹣1）﹣k（x+1）=x2﹣1，去括号得：x2﹣x+kx﹣k﹣kx﹣k=x2﹣1，移项合并得：x=1﹣2k，根据题意得：1﹣2k＜0，且1﹣2k≠±1解得：k＞且k≠1故答案为：k＞且k≠1．【点评】此题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 25．若关于x的方程无解，则m= ﹣8 ．【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，将x=5代入计算即可求出m的值．【解答】解：分式方程去分母得：2（x﹣1）=﹣m，将x=5代入得：m=﹣8．故答案为：﹣8【点评】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 26．若关于x的分式方程的解为正数，那么字母a的取值范围是 a＞1且a≠2 ．【考点】分式方程的解．19\n【专题】计算题．【分析】将a看做已知数求出分式方程的解得到x的值，根据解为正数列出不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣a=x﹣1，解得：x=a﹣1，根据题意得：a﹣1＞0且a﹣1﹣1≠0，解得：a＞1且a≠2．故答案为：a＞1且a≠2．【点评】此题考查了分式方程的解，弄清题意是解本题的关键．注意分式方程分母不等于0． 27．关于x的方程=﹣1的解是正数，则a的取值范围是 a＞﹣1且a≠﹣ ．【考点】分式方程的解．【分析】根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得答案．【解答】解：=﹣1，解得x=，∵=﹣1的解是正数，∴x＞0且x≠2，即0且≠2，解得a＞﹣1且a≠﹣．故答案为：a＞﹣1且a≠﹣．【点评】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出a的取值范围． 28．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是 m＞﹣6且m≠﹣4 ．【考点】分式方程的解．19\n【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．【解答】解：解关于x的方程得x=m+6，∵方程的解是正数，∴m+6＞0且m+6≠2，解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于x的方程是关键，解关于x的不等式是本题的一个难点． 29．若关于x的方程=+1无解，则a的值是 2或1 ．【考点】分式方程的解．【专题】压轴题．【分析】把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根x=2代入即可求得a的值．【解答】解：x﹣2=0，解得：x=2．方程去分母，得：ax=4+x﹣2，即（a﹣1）x=2当a﹣1≠0时，把x=2代入方程得：2a=4+2﹣2，解得：a=2．当a﹣1=0，即a=1时，原方程无解．故答案是：2或1．【点评】首先根据题意写出a的新方程，然后解出a的值． 三、解答题30．小明解方程﹣=1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．19\n【考点】解分式方程．【专题】图表型．【分析】小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检验，写出正确的解题过程即可．【解答】解：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；正确解法为：方程两边乘以x，得：1﹣（x﹣2）=x，去括号得：1﹣x+2=x，移项得：﹣x﹣x=﹣1﹣2，合并同类项得：﹣2x=﹣3，解得：x=，经检验x=是分式方程的解，则方程的解为x=．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．19
