4.3.3余角和补角一、新课导入1.导入课题：在5.12大地震中，都江堰大坝受到严重损害，需要修复加固.施工前要求先测量大坝的倾斜角（即图中的∠1）,但坝底是由石块堆积而成，量角器无法伸入大坝底部测量，聪明的你有什么简单的方法吗？要解决这问题，我们先来学习4.3.3余角和补角（板书设计）.2.三维目标：（1）知识与技能①在具体的现实情境中，认识一个角的余角与补角，掌握余角和补角的性质.②了解方位角，能确定具体物体的方位.（2）过程与方法进一步提高学生的抽象概括能力，空间观念的认识和知识运用的能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想.（3）情感态度体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步理解数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益.3.学习重、难点：重点：余角、补角的意义和性质；方位角及其应用.\n难点：余角、补角及其性质的应用；画方位角确定物体的具体位置.二、分层学习1.自学指导:（1）自学范围：教材第137页例3之前的容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学要求：认真阅读课文，弄清楚两个角互余，两个角互补的意义的性质，并能用几何语言描述它们.（4）自学参考提纲：①如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个的余角，用几何语言表示：如果∠α+∠β=90°,那么∠α与∠β互为余角，反过来也成立.②如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个的补角，用几何语言表示：如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互为补角，反过来也成立.③a.已知∠α是锐角，则∠α的余角可表示为90°-∠α,∠α的补角可表示为180°-∠α.若∠α的补角是它的3倍，则∠α=45°.b.仿①用几何语言说理的方式说明“等角的补角相等”.∠1与∠3互为补角，∠2与∠4互为补角，∠1=∠2,那么∠3=180°-∠1,∠4=180°-∠2,所以∠3=∠4，这说明∠1的补角与∠2的补角相等，即等角的补角相等.c.对于余角也有类似性质：同角（等角）的余角相等.④∠1与∠2、∠3都互为补角，那么∠2=180°-∠1,∠3=180°-∠1,所以∠2=∠3,这说明∠1的补角∠2、∠3相等，即同角的补角相等.2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.\n3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况.②差异指导：根据学情进行相应指导.（2）生助生：小组内同学间相互交流、纠错.4.强化：（1）余角、补角的意义.（2）余角、补角的性质.（3）练习：①教材第138页练习第1题.互为余角：第1个角与第4个角，第2个角与第3个角.互为补角：第1个角与第8个角，第2个角与第7个角，第3个角与第6个角，第4个角与第5个角.②已知一个角是70°39′,则它的余角为19°21′,补角为109°21′.③学习以上知识，你能解决“导入课题”中的问题吗？你能想出哪些办法？测量其补角.1.自学指导:(1)自学内容：教材第137页例3和第138页例4.(2)自学时间：8分钟.(3)自学指导：认真阅读课文，体会如何用几何语言进行表述说理，结合图形，进一步理解余角、补角的概念.学会画方位图.(4)自学参考提纲：①例3中要找图中互余的角，就是要找和为90°度的两个角.a.因为点A、O、B在同一直线上，所以∠AOB=180°,即∠AOC+\n∠BOC=180°.b.又因为OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC,所以∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，所以∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=∠AOB=90°,所以∠COD与∠COE互为余角.c.因为∠AOD=∠COD,∠BOE=∠COE，所以互为余角的角还有∠AOD和∠COE,∠COD和∠BOE,∠AOD和∠BOE.d.观察本例的图形，除了∠AOC与∠BOC互补外，还有哪些角互为补角？∠AOD和∠DOB∠AOE和∠EOB②a.在课本上完成例4中未完成的画图.b.例4中，灯塔A在货轮O的南偏东60°方向上，反过来，货轮O在灯塔A的什么方向上?北偏西60°c.如图，射线OA表示的方向是北偏西30°,射线OB表示的方向是南偏西45°或西南方向,射线OC表示的方向是南偏东70°.2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况.②差异指导：根据学情进行相应指导.\n（2）生助生：小组内同学间相互交流，纠错.4.强化：（1）理解余角、补角的概念，体会如何用几何语言表述说理.（2）方位角在航行、测绘等工作中经常用到，常以正北，正南方向为基准.三、评价1.学生自我评价：让学生交流学习目标的达成情况及学习的感受等.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：教师对学生在本节课学习中的整体表现进行总结和点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本课时教学关键在引领学生抓住两角之间特殊关系的要求：涉及角的个数只能是两个，角与角间数量关系是固定的，且与角的位置无关.指导学生解应用题时要认识到：由互余、互补的关系转化为方程计算；实现等角的寻找或角的位置改变.而在方位角的学习中，让学生在自己探索和交流的同时掌握方位角的判断与应用，从而进一步加深对余角和补角的认识.本课时内容很好地体现了数形结合的数学思想，要引导学生形成图形与数式间灵活转化以合理解题的能力.一、基础巩固\n1.（10分）一个角等于63°29′,则它的余角等于26°31′，它的补角等于116°31′.2.（10分）一个角的补角是余角的3倍，则这个角的度数是45°.3.（10分）射线OA是东北方向，射线OB是北偏西60°方向，则∠AOB的度数是105°.4.（10分）下列说法不正确的是（B）A.任意两直角互补B.任意两锐角互余C.同角或等角的补角相等D.同角或等角的余角相等5.（10分）下列结论正确的个数为（C）①互余且相等的两个角都是45°②锐角的补角一定是钝角③一个角的补角一定大于这个角④一个锐角的补角比这个角的余角大90°A.1个B.2个C.3个D.4个6.（20分）按照上北下南，左西右东的规定，画出表示东南西北的十字线，然后在图上画出来表示下列方向的射线.（1）北偏西30°；（2）南偏东60°；（3）北偏东15°；（4）西南方向.二、综合应用7.（20分）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与\n∠β互余？在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？在哪种摆放方式中∠α与∠β相等？(1)(2)(3)(4)解：(1)互余；（2）（3）相等；（4）互补.三、拓展延伸8.（10分）如右图，E、D、F在同一条直线上，∠CDE=90°,∠1=∠2.（1）哪些角互为余角？哪些角互为补角？（2）∠ADC与∠BDC有什么关系？为什么?（3）∠ADF与∠BDE有什么关系？为什么？解：(1)互余：∠EDA和∠ADC，∠FDB和∠BDC,∠ADE和∠BDC,∠ADC和∠BDF;互补：∠EDA和∠ADF,∠EDC和∠CDF,∠EDB和∠BDF.(2)∠ADC=∠BDC,∵∠CDE=∠CDF=90°,∠1=∠2,∴∠CDE-∠1=∠CDF-∠2,∠ADC=∠BDC.(3)∠ADF=∠BDE.∵∠1=∠2,∴∠1+∠ADB=∠2+∠ADB,即∠BDE=∠ADF.
