专题25平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值．求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．例题与求解【例1】在Rt△ABC中，CB=3，CA=4，M为斜边AB上一动点．过点M作MD⊥AC于点D，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．（四川省竞赛试题）解题思路：四边形CDME为矩形，连结CM，则DE=CM，将问题转化为求CM的最小值．【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm．若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）解题思路：作点B关于AC的对称点B′，连结B′M，B′A，则BM=B′M，从而BM+MN=B′M+MN．要使BM+MN的值最小，只需使B′M十MN的值最小，当B′，M，N三点共线且B′N⊥AB时，B′M+MN的值最小．【例3】如图，已知□ABCD，AB=a，BC=b()，P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q．求AP+BQ的最小值．（永州市竞赛试题）\n解题思路：设AP=，把AP，BQ分别用的代数式表示，运用不等式以或a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来求最小值．【例4】阅读下列材料：问题如图1，一圆柱的底面半径为5dm，高AB为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到C点的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段AC．如图2所示．设路线l的长度为l1，则l12=AC2=AB2+BC2=25+(5π)2=25+25π2．路线2：高线AB十底面直径BC．如图1所示．设路线l的长度为l2，则l22=(BC+AB)2=(5+10)2=225．∵l12–l22=25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l12＞l22，∴l1＞l2．所以，应选择路线2．(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高AB为5分米”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：路线1：l12=AC2=25+π2；路线2：l22=（AB+BC）2=49．∵l12l22，∴l1＜l2 （ 填“＞”或“＜”），所以应选择路线1（填“1”或“2”）较短．(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短．（衢州市中考试题）解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率．（中学生数学智能通讯赛试题）解题思路：设DN=x，PN=y，则S=．建立矩形MDNP的面积S与x\n的函数关系式，利用二次函数性质求S的最大值，进而求钢板的最大利用率．【例6】如图，在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90°，BC，AD的延长线交于P，求AB·S△PAB的最小值．（中学生数学智能通讯赛试题）解题思路：设PD=x(x>1)，根据勾股定理求出PC，证Rt△PCD∽Rt△PAB，得到，求出AB，根据三角形的面积公式求出y=AB·S△PAB，整理后得到y≥4，即可求出答案．能力训练A级1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是．（烟台市中考试题）2．D是半径为5cm的⊙O内一点，且OD=3cm，则过点O的所有弦中，最短的弦AB=cm．（广州市中考试题）3．如图，有一个长方体，它的长BC=4，宽AB=3，高BB1=5．一只小虫由A处出发，沿长方体表面爬行到C1，这时小虫爬行的最短路径的长度是．（“希望杯”邀请赛试题）第1题图第3题图第4题图第5题图4．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是()（兰州市中考试题）A．4B．4.75C．5D．4.8\n5．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A，则小虫所走的最短距离为()（河北省竞赛试题）A．12B．4πC．6D．66．如图，已知∠MON=40°，P是∠MON内的一定点，点A，B分别在射线OM，ON上移动，当△PAB周长最小时，∠APB的值为()（武汉市竞赛试题）A．80°B．100°C．120°D．140°7．如图，是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为AD上任意一点．若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是()（福州市中考试题）A．15B．20C．15+5D．15+5第6题图第7题图第8题图8．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合），BE的垂直平分线交AB于M，交DC与N．(1)设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式．(2)当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？（山东省中考试题）9．如图，六边形ABCDEF内接于半径为r的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA．(1)当∠BAD=75°时，求的长；(2)求证：BC∥AD∥FE；(3)设AB=，求六边形ABCDEF的周长l关于x的函数关系式，并指出x为何值时，l取得最大值．\n10．如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D）．Q是BC边上任意一点．连结AQ，DQ，过P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F．(1)求证：△APE∽△ADQ；(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明）（无锡市中考试题）11．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M，N分别在两腰AB，AC上(M不与A，B重合，N不与A，C重合)，且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？(2)设MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）B级1．已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD=16，且S四边彤ABCD=32，那么当AC=，BD=时，四边形ABCD面积最大，最大值是．（“华杯赛”试题）2．如图，已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，BC=2，则r的取值范围是．（江苏省竞赛试题）第2题图第3题图第4题图第5题图3．如图⊙O的半径为2，⊙O内的一点P到圆心的距离为1，过点P的弦与劣弧组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为．4．如图，△ABC的面积为1，点D，G，E和F分别在边AB，AC，BC上，BD＜DA，DG∥BC，\nDE∥AC，GF∥AB，则梯形DEFG面积的最大可能值为．（上海市竞赛试题）5．已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴，y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的最大值是．（潍坊市中考试题）6．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为()（鄂州市中考试题）A．B．C．D．3第6题图第7题图第8题图7．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B，C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q．设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．(1)求点P在BC上运动的过程中y的最大值；(2)当y=cm时，求x的值．（河南省中考试题）8．如图，y轴正半轴上有两点A(0，a)，B(0，b)，其中a>b>0．在x轴上取一点C，使∠ACB最大，求C点坐标．（河北省竞赛试题）9．如图，正方形ABCD的边长为1，点M，N分别在BC，CD上，使得△CMN的周长为2．求：(1)∠MAN的大小；(2)△MAN的面积的最小值．（“宇振杯”上海市竞赛试题）10，如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC于F，DE与AB\n相交于点E．(1)求证：AB·AF=CB·CD；(2)已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点，设DP=xcm(x>0)，四边形BCDP的面积为ycm2．①求y关于x的函数关系式；②当x为何值时，△PBC的周长最小？求出此时y的值．（南通市中考试题）第6题图第7题图第8题图第9题图11．如图，已知直线：(为实数)．(1)求证：不论k为任何实数，直线l都过定点M，并求点M的坐标；(2)若直线l与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值．（太原市竞赛试题）12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=x，点F在边AB上，点G，H在边BC上，四边形EFGH是一个边长为y的正方形，且AE=AC．(1)求y关于x的函数解析式；(2)当x为何值时，y取得最大值？求出y的最大值．（上海市竞赛试题）\n专题25平面几何的最值问题例1提示：当CM⊥AB时，CM值最小，CM＝例2如图，B′M＋MN的最小值为点B′到AB的距离B′F，BE＝cm，BB′＝cm，AE＝cm．在△ABB′中，由BB′•AE＝AB•B′F，得B′F＝16cm．故BM＋MN的最小值为16cm．例3由△APD∽△BPQ，得，即BQ＝，∴AP＋BQ＝x＋．∵x＋≥，∴当且仅当x＝即x＝时，上式等号成立．故当AP＝时，AP＋BQ最小，其最小值为2－b．例4⑴，＝49，l1＜l2，故要选择路线l较短．⑵，，．当r＝时，，当r＞时，，当r＜时，．例5设DN＝x，PN＝y，则S＝xy，由△APQ∽△ABF，得即x＝10－2y，代入S＝xy得S＝xy＝y(10－2y)，即S＝－2，因3≤y≤4，而y＝不在自变量y的取值范围内，所以y＝不是极值点，当y＝3时，S(3)＝12，当y＝4时，S(4)＝8，故Smax＝12．此时，钢板的最大利用率＝80%．例6设PD＝x(x＞1)，则PC＝，由Rt△PCD∽△PAB，得AB＝，令y＝AB•S△PAB，则y＝AB×PA×AB＝，求y的最小值，有下列不同思路：①配方：y＝，∴当，即当x＝3时，y有最小值4．②运用基本不等式：y＝32＋2＝4，∴当＝，即当x＝3时，y有最小值4.③借用判别式，去分母，得x2\n＋2（1－y）x＋1＋2y＝0，由△＝4（1－y）2－4（1＋2y）＝4y（y－4）≥0，得y≥4，∴y的最小值为4.A级1.17提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最大.2.83.4.D5.D6.B7.C提示：当点P与点D重合时，四边形ACBP的周长最大.8.（1）连结ME，过N作NF⊥AB于F，可证明Rt△EBA≌Rt△MNF，得MF＝AE＝x.∵ME2＝AE2＋AM2，故MB2＝x2＋AM2，即（2－AM）2＝x2＋AM2，AM＝1－x2，∴S＝×AD＝×2＝AM＋AM＋MF＝2AM＋AE＝2（1－x2）＋x＝－x2＋x＋2.（2）S＝－（x2－2x＋1）＋＝－（x－1）2＋.故当AE＝x＝1时，四边形ADNM的面积最大，此时最大值为.9.（1）长为.（2）提示：连结BD.（3）过点B作BM⊥AD于M，由（2）知四边形ABCD为等腰梯形，从而BC＝AD－2AM＝2r－2AM.由△BAM∽△DAB，得AM＝＝，∴BC＝2r－.同理，EF＝2r－.l＝4x＋2（2r－）＝－（x－r）2＋6r（0＜x＜r）..当x＝r时，l取得最大值6r.10.（1）∵∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD，∴△APE∽△ADQ.（2）由△APE∽△ADQ，△PDF∽△ADQ，S△PEF＝S□PEQF，得S△PEF＝－x2＋x＝－（x－）2＋.故当x＝时，即P是AD的中点时，S△PEF取得最大值，（3）作A关于直线BC的对称点A′，连结DA′交BC于Q，则这个Q点就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点.11.（1）点P恰好在BC上时，由对称性知MN是△ABC的中位线，∴当MN＝BC＝3时，点P在BC上.（2）由已知得△ABC底边上的高h＝＝4.①当0＜x≤3时，如图1，连结AP并延长交BC于点D，\nAD与MN交于点O.由△AMN∽△ABC，得AO＝x，y＝S△PMN＝S△AMN＝·x·x＝x2即y＝x2.当＝3时，y的值最大，最大值是3.②当3＜x＜6时，如图2，设△PMN与BC相交于点E，F，AP与BC相交于D.由①中知AO＝x，∴AP＝x，∴PD＝AP－AD＝x－4，∵△PEF∽△ABC.，∴＝()2＝()2，即＝.∵S△ABC＝12，∴S△PEF＝（x－3）2.∴y＝S△AMN－S△PEF＝x2－（x－3）2＝－x2＋8x－12＝－（x－4）2＋4.故当x＝4时，y的最大值为4.综上，当x＝4时，y的值最大，最大值为4.B级1.8832提示：当∠CAB＝∠ACD＝90°时，四边形ABCD的面积达到最大值.2.0＜r≤1提示：设BC＝a，CA＝b，AB＝c，b＋c＝2（r＋1），又bcsin60°＝S△ABC＝（a＋b＋c）r，即bc·＝［2＋2（r＋1）］r，.bc＝4r（r＋2）.b，c为方程x2－2（r＋1）x＋4r（r＋2）＝0的两个根，由△≥0，得（r＋1）≤22.因r＞0，r＋1＞0，故r＋1≤2，即0＜r≤1.3.－提示：过P作垂直于OP的弦AB，此时弓形面积最小.4.提示：设＝x，则＝1－x＝，＝x2，＝（1－x）2＝，S梯形DEFG＝1―x2―2（1－x）2＝－3（x－）2＋.5.a提示：当OA＝OB时，OC的长最大.6.C7.（1）由Rt△ABP∽Rt△PCQ，得＝，即＝，y＝－（x－2）2＋1（0＜x＜4）.当x\n＝2时,y最大值＝1cm.（2）由＝－（x－2）2＋1，得x＝（2＋）cm或（2－）cm.8.当过A，B两点的圆与x轴正半轴相切时，切点C为所求.作O′D⊥AB于D.，O′D2＝O′B2－BD2＝－＝ab，O′D＝故点C坐标为（，0）.9.（1）如图，延长CB到L，使BL＝DN，则Rt△ABL≌Rt△ADN，得AL＝AN，∠1＝∠2，又∵N＝2―CN―CM＝DN＋BM＝BL＋BM＝ML，且AM＝AM，∠NAL＝∠DAB＝90°.∴△AMN≌△AML，故∠MAN＝∠MAL＝＝45°.（2）设CM＝x，CN＝y，MN＝z，则，于是，（2―y―z）2＋y2＝z2.整理得2y2＋（2z－4）y＋（4－4z）＝0.∵y＞0，故△＝4（z－2）2－32（1－z）≥0，即（z＋2＋2）（z＋2－2）≥0.又∵z＞0，故z≥2－2，当且仅当x＝y＝2－时等号成立.由于S△AMN＝S△AML＝·ML·AB＝MN×1＝，因此，△AMN的面积的最小值为－1.10.（1）提示：证明△ADF∽△BAC.（2）①AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，∴AC＝＝，∴CF＝AF＝6，∴．②∵BC＝９（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小，由（1）知，点C关于直线DE的对称点是点A，所以PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小．显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小，此时DP＝DE，PB＋PA＝AB．由（1），角∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC．\nEF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝．∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15，∴AD＝10．Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8．∴DE＝DF＋FE＝8＋＝．∴当x＝时，△PBC的周长最小，此时y＝．11．（1）令k＝1，得y＝x＋2；令k＝2，得y＝2x＋6，联立解得x＝4，y＝2，故定点（4，2）．（2）取x＝0，得OB＝2－4k（k＜0），取y＝0，得OA＝．于是△ABO的面积，化简得．由得，故S≥16．将S＝16代入上述方程，得k＝．故当k＝，S值最小．12．（1）如图，延长EF交AC于点D，DF∥BC，Rt△ADF∽Rt△ACB，AE＝AC＝x，，，2x－2y－xy＝，两边平方整理得(x2＋2x＋2)y2－(x3＋2x2＋4x)y＋2x2＝0．解得(y＝x舍去)．（2）由（1）．当且仅当，即时，上式等号成立．故当时，y去最大值．
