9.1三角形9.1.2三角形的内角和与外角和,1.通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是180°;2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数;（重点、难点）3.掌握三角形的外角的性质及外角和.重点、难点）学习目标,将三角形纸片分别按下面两种方法进行折叠、剪拼等操作，你能发现什么？导入新课折叠三角形纸板，可以把它的三个角拼成一个角.可以将∠A，∠B剪下并移至顶点C处拼接成一个角.ABC三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观察与思考,因为直线在平移下的像是与它平行的直线，如图，将△ABC的边BC所在的直线平移，使其经过点A，得到直线B'C'.所以B'C'∥BC.则，所以∠B+∠BAC+∠C=180°.又讲授新课三角形的内角和一观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.,由此得到：三角形的内角和等于180°.你还能想出其它的方法推出这个结论吗？,多种方法证明的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.CAB12345lACB12345lP6mABCDE,例1在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解:设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°，从而有3x＋x＋(x＋15)＝180.解得x＝33.所以3x＝99，x＋15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.几何问题借助方程来解.这是一个重要的数学思想.典例精析,例2如图，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.ABCD解:由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.,问题1在△ABC中，若∠C=90°，你能求出∠A，∠B的度数吗？为什么？你能求出∠A+∠B的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？ABC直角三角形的两个锐角互余．应用格式：在直角△ABC中，∵ ∠C=90°，∴ ∠A+∠B=90°．直角三角形的内角性质二直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC,例3如图，∠C=∠D=90°,AD,BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ABCDE解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.,问题1在图中，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？我觉得可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论.三角形的外角的性质三,因为∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠ACD-∠A-∠B=0（等量减等量，差相等）于是∠ACD=∠A+∠B.1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.由此得到：2.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.,如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C的度数.解：因为∠B+∠C=∠CAD，所以∠C=∠CAD-∠B，所以∠C=100°-30°=70°.做一做,问题2如图，∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.ABCEFD((((((213你还有其他解法吗？,方法二：如图，∠BAE+∠1=180°①，∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.ABCEFD((((((213,要点归纳三角形的外角和等于360°.ABCEFD((((((213∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.,典例精析例4(一题多解）如图，计算∠BDC.ABCD(((51°20°30°ABDEACDE思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.,ABCD(((51°20°30°解：（解法一）连接AD并延长于点E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°.E))12)3)4,ABCD(((51°20°30°E)1（解法二）延长BD交AC于点E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°.（解法三）连接延长CD交AB于点F.（解题过程同解法二）)2,ABCD(((132(重要发现：∠BDC=∠1+∠2+∠3.,1.已知△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，∠B＝______.2.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角是_______.3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=_______.80°20°50°当堂练习4.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，则∠DAC的度数为________.34°,5.如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD,∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数.在△ABC中：∠B+∠BAC+∠C=180°，∠C=180º-40º-70º=70°.解：因为∠ADC是△ABD的外角.所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.又因为∠B=∠BAD，40°AB70°80°CD,课堂小结三角形的内角三角形的内角和定理证明了解添加辅助线的方法及其目的内容三角形内角和等于180°直角三角形的两锐角互余,课堂小结三角形的外角定义角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的外角和三角形的外角和等于360°
