19.1矩形2.矩形的判定第19章矩形、菱形与正方形
学习目标1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理．（重点）2.能应用矩形的判定解答简单的证明题和计算题.(难点)
复习引入导入新课问题1矩形的定义是什么？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.问题2矩形有哪些性质？矩形边：角：对角线：对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等
思考工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
讲授新课有三个角是直角的四边形是矩形一类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.问题1除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？矩形是特殊的平行四边形.类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
问题2上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.成立问题3至少有几个角是直角的四边形是矩形？ABDC(有一个角是直角)ABDC(有二个角是直角)ABDC(有三个角是直角)猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，∴AD∥BC,AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形.ABCD证一证
矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.归纳总结几何语言描述：在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°,∴四边形ABCD是矩形.ABCD
思考一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？有三个角是直角的四边形是矩形.
例1如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形．证明：在□ABCD中，AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AE与BG分别为∠DAB、∠ABC的平分线,ABDCHEFG∴四边形EFGH是矩形．同理可证∠AED=∠EHG=90°,∴∠AFB=90°，∴∠GFE=90°.∴∠BAE+∠ABF=∠DAB+∠ABC=90°.
例2如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝∠BAC.又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE＝∠CAM,∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝(∠BAC＋∠CAM)＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°,∴四边形ADCE为矩形．
练一练在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是（ ）A．测量对角线是否相等B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量其中三个角是否都为直角D
上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想“对角线相等的四边形是矩形”，你觉得对吗？我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.不对，等腰梯形的对角线也相等.不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.思考你能证明这一猜想吗？对角线相等的平行四边形是矩形二
已知：如图,在□ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：□ABCD是矩形.证明：∵AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB,∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴∠ABC=90°,∴□ABCD是矩形（矩形的定义）.ABCD证一证
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.归纳总结几何语言描述：在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形.ABCD
思考数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？对角线相等的平行四边形是矩形.
例3如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．ABCDO解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.又∵OA=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°.又∵∠OAD=50°，∴∠OAB=40°.
例4如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.BCDEFGHOA证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的对角线相等)，AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分），∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EO+OG=FO+OH，即EG=FH，∴四边形EFGH是矩形.
练一练1.如图，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定▱ABCD是矩形的是（ ）A．AC=BDB．AC=BCC．AD=BCD．AB=ADA
2.如图，在ABCD中,∠1=∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？ABCDO12解：四边形ABCD是矩形.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO,DO=BO.又∵∠1=∠2，∴AO=BO，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形.
当堂练习1.下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（5）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有三个角都相等的四边形是矩形;××××√√√√（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
2.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是（）A.梯形B.平行四边形C.矩形D.不能确定DEFMNQPABCC
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠ADC=90°.又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，满足132=52+122，∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形．ABCD
4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD，∴平行四边形NDMB为矩形．
5.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠FAE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，∴AE∥CD.又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且相等于BD.
又∵BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形.又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．
6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？解：设经过xs，四边形PQCD为平行四边形，即PD＝CQ，所以24－x＝3x，解得x＝6.即经过6s，四边形PQCD是平行四边形；能力提升：
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？解：设经过ys，四边形PQBA为矩形，即AP＝BQ，所以y＝26－3y，解得y＝6.5，即经过6.5s，四边形PQBA是矩形．
课堂小结有一个角是直角的平行四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.运用定理进行计算和证明矩形的判定定义判定定理
