九年级下学期一模数学试题一、单选题1．早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年，下列各式计算结果为负数的是（ ）A．B．C．D．2．下列计算正确的是（ ）.A．B．C．D．3．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也只有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．4．如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）A．B．C．D．5．一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（ ）A．B．C．D．6．小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（s）与出发时间（t）之间的对应关系的是（ ）A．B．nC．D．7．已知关于x的分式方程=1的解是负数，则m的取值范围是（ ）A．m≤3B．m≤3且m≠2C．m＜3D．m＜3且m≠28．在抗击疫情知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在种奖品不超过两个且钱全部用尽的情况下，有多少种购买方案（ ）A．7种B．8种C．14种D．15种9．如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）A．B．C．D．10．如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（ ）A．5B．4C．3D．2二、填空题n11．我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒，数3000000用科学记数法表示为 .12．如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使和全等．13．小明在手工制作课上，用面积为，半径为的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．14．若关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为 ．15．在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且点A与点B关于直线y＝x对称，C为AB的中点，若AB＝4，则线段OC的长为 ．16．在矩形中，，，点E在边上，且，连接，将沿折叠．若点B的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为 ．17．如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为 ．n三、解答题18．（1）计算：（2）因式分解：19．解方程：.20．3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．信息二：第三组的成绩（单位：分）为747173747976777676737275根据信息解答下列问题：（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；（2）第三组竞赛成绩的众数是 分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 分；（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为 人．21．如图，在中，，点O在上，以为半径的半圆O交n于点D，交于点E，过点D作半圆O的切线，交于点F.（1）求证：；（2）若，，，求半圆O的半径长.22．，两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过市，甲车从市到市，乙车从市到市，两车在途中匀速行驶，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离市的路程（单位：千米）与甲车行驶的时间（单位：小时）的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：（1）图中括号内应填入的数为 ，、两市相距的路程为 千米；（2）求图象中线段所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距市的路程之和是300千米．23．综合与实践综合与实践上，老师组织同学们以“正方形的旋转”为主题开展数学活动，“智慧小组”选行了下面的探究：已知正方形与正方形，正方形保持不变，正方形绕点旋转一周．n（1）操作发现：当点在正方形的边上时，如图①所示，连接、，若，，则的值为 ；（2）探究证明：当正方形旋转至图②的位置时，连接、，试写出与的数量关系，并加以证明；（3）拓展延伸：连接、，分别取、的中点、，连接，，当正方形绕点旋转一周时，请直接写出线段所扫过的面积．24．综合与探究已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点的坐标为．（1）求抛物线的解析式．（2）求的值．（3）若直线将四边形的面积分为两部分，则的值为 ．（4）点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、=1，故此选项不符合；B、=5，故此选项不符合；nC、=-6，故此选项符合；D、=，故此选项不符合.故答案为：C.【分析】各式计算得到结果，即可作出判断.2．【答案】B【解析】【解答】解：A、，该选项错误，不符合题意；B、，该选项正确，符合题意；C、，该选项错误，不符合题意；D、，不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；故答案为：B.【分析】根据同底数幂的乘法，单项式乘多项式，完全平方公式以及合并同类项的法则进行计算即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，此项不符题意；B、不是轴对称图形，此项不符题意；C、是轴对称图形，此项符合题意；D、不是轴对称图形，此项不符题意.故答案为：C.【分析】根据轴对称图形的定义“在平面内，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”逐项判断即可得.4．【答案】B【解析】【解答】解：由题意，由主视图有3层，2列，由左视图可知，第一层最多有4个，第二层最多2个，第三层最多1个，∴所需的小正方体的个数最多是：4+2+1=7（个）；故答案为：B．【分析】这个几何体共有3层，由左视图可得第一层小正方体的最多个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个数，以及第三层的最多个数，再相加即可．5．【答案】D【解析】【解答】解：从袋中任意摸出一个球有6种情况，其中摸出一个球是红色的有4种情况，n∴P=.故答案为：D.【分析】首先确定从袋中任意摸出一个球共有几种情况，再确定摸出一个球是红色的有几种情况，然后用概率公式求概率即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：小明从家出发步行至学校，可以看作是一条缓慢上升的直线；中间停留一段时间，可以看作与水平方向平行的直线；从学校乘车返回家，可以看作是一条迅速下降的直线；结合四个选项，B符合题意；故答案为：B.【分析】根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果.7．【答案】D【解析】【解答】=1，解得：x=m﹣3，∵关于x的分式方程=1的解是负数，∴m﹣3＜0，解得：m＜3，当x=m﹣3=﹣1时，方程无解，则m≠2，故m的取值范围是：m＜3且m≠2，故答案为：D．【分析】把m作常数解出方程的解x=m﹣3，又根据原方程的解是负数，得出m﹣3＜0，且m﹣3≠﹣1，求解得出m的取值范围。8．【答案】C【解析】【解答】解：设购买A、B、C三种奖品分别为x、y、z个，根据题意列方程得，即，由题意得x、y、z均为正整数，可知n①当时，，∴，∴x分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，y为正整数；②当时，，∴，∴x可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，y为正整数；综上所述：共有种购买方案．故答案为：C【分析】设购买A、B、C三种奖品分别为x、y、z个，根据购买A、B、C三种奖品花费200元列出方程并整理得，求出其正整数解即可.9．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM=ON+MN最大，∵，则△ABO为等腰直角三角形，∴AB=，N为AB的中点，∴ON=，又∵M为AC的中点，∴MN为△ABC的中位线，BC=1，则MN=，n∴OM=ON+MN=，∴OM的最大值为故答案选：B．【分析】如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM=ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．10．【答案】B【解析】【解答】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，c＜0，，∴b＞0，∴abc＞0，故①符合题意；如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，∴对称轴在直线x=2右侧，即，∴，又a＜0，∴4a+b＞0，故②符合题意；∵与是抛物线上两点，，可得：抛物线在上，y随x的增大而增大，在上，y随x的增大而减小，∴不一定成立，故③不符合题意；若抛物线对称轴为直线x=3，则，即，则===≤0，∴，故④符合题意；∵AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，n当x=1时，代入，y=a+b+c≥0，当x=4时，16a+4b+c=0，∴a=，则，整理得：4b+5c≥0，则4b+3c≥-2c，又c＜0，-2c＞0，∴4b+3c＞0，故⑤符合题意，故正确的有4个.故答案为：B.【分析】根据图像得出a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，可得，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x=4时，得出16a+4b+c=0，变形为a=，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判断⑤.11．【答案】3×106【解析】【解答】3000000=3×106，故答案是：3×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.12．【答案】AB=ED，答案不唯一【解析】【解答】∵和中，∴，∵，∴，∴添加，在和中，n∴，故答案为：答案不唯一．【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是AB＝ED或BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF等，只要符合全等三角形的判定定理即可．13．【答案】10【解析】【解答】由得：扇形的弧长=（厘米），圆锥的底面半径=（厘米）．故答案是：10．【分析】根据扇形的面积公式与圆的周长公式，即可求解．14．【答案】-7＜a≤-4【解析】【解答】解得关于的不等式只有2个正整数解不等式的正整数解为1，2解得-7＜a≤-4故答案为：-7＜a≤-4．【分析】先解不等式得，由于不等式只有2个正整数解，可得，解之即可.15．【答案】【解析】【解答】解：设A（t，），∵点A与点B关于直线y＝x对称，∴B（，t），∵AB＝4，∴，即t﹣＝（舍去）或t﹣＝﹣，解方程t﹣＝﹣，得t＝﹣﹣2（由于点A在第一象限，所以舍去）或t＝﹣＋2，经检验，t＝﹣＋2，符合题意，n∴A（﹣＋2，＋2），B（＋2，﹣＋2），∵C为AB的中点，∴C（2，2），∴OC＝＝．故答案为：．【分析】设A（t，），由点A与点B关于直线y＝x对称，可得B（，t），根据两点间的距离公式可得，解之即可确定点A、B的坐标，利用中点坐标公式求出点C坐标；利勾股定理求出OC即可.16．【答案】或【解析】【解答】分两种情况：（1）当点落在AD上时，如图1，∵四边形ABCD是矩形，，∵将沿AE折叠，点B的对应点落在AD边上，，，，∴在Rt△ABE中，AB=1，BE=1，∴AE=（2）当点落在CD上，如图2，n∵四边形ABCD是矩形，，，∵将沿AE折叠，点B的对应点落在CD边上，，，，，，在和中，，，即，解得，（负值舍去）∴在Rt△ABE中，AB=1，BE=，∴AE=故答案为：或.【分析】分两种情况：点n落在AD上和CD上，首先求出a的值，再根据勾股定理求出抓痕的长即可．17．【答案】【解析】【解答】，点在直线上（1，1）轴的纵坐标=的纵坐标=1点在直线上即的横坐标为同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，…的横坐标为的横坐标为的横坐标为的横坐标为故答案为：．【分析】将x=1代入y=x得y=1，可得P1（1，1），由于的纵坐标=的纵坐标=1，结合点在直线上，可得的横坐标为，同理可求出的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，…可得规律的横坐标为，继而得解.18．【答案】（1）解：原式n（2）解：原式【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂、特殊角三角函数值、零指数幂、绝对值先化简，再计算加减即可；（2）根据完全平方公式进行分解即可.19．【答案】解：∵，∴.则或，解得，.【解析】【分析】观察方程特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解.20．【答案】（1）解：第二组人数为：50-4-12-20-4=10（人）补全统计图如下：（2）76；78（3）720【解析】【解答】（2）第三组竞赛成绩中76分出现次数最多，出现了3次，故众数为76分；50个数据中，最中间的两个数据分别是第25个和26个数据，对应的分数为：77分和79分，它们的平均数为：（分），故中位数为78（分）；故答案为：76；78；（3）1500×=720（人），故答案为：720．n【分析】（1）计算出第二组60～70的人数，即可补全频数分布直方图；（2）根据中位数、众数的意义，分别求出第三组的众数，样本中位数；（3）样本估计总体，样本中80分以上的占，因此估计总体1500人的是80分以上的人数。21．【答案】（1）证明：连接OD，∵DF和半圆相切，∴OD⊥DF，∴∠BDF+∠ADO=90°，∵∠ADO=∠OAD，∴∠OAD+∠BDF=90°，又∠C=90°，∴∠OAD+∠B=90°，∴∠BDF=∠B，∴BF=DF；（2）解：过F作FG⊥BD于G，则GF垂直平分BD，∵，∴BF=DF=2，∵，，∠C=90°，∴AB=，∴cos∠B==，∴，解得：BG==DG，∴AD=AB-BD=，过点O作OH⊥AD于H，∴AH=DH=AD=，∵cos∠BAC=，n∴AO=，即半圆O的半径长为.【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠BDF+∠ADO=90°，再结合∠ADO=∠OAD，推出∠BDF=∠B即可；（2）过F作FG⊥BD于G，先利用三角函数求出BG=DG，再过点O作OH⊥AD于H，在△AOH中，求出AO即可.22．【答案】（1）10；600（2）解：设线段所在直线的解析式为．把点，代入，得：，解得：．∴线段所在直线的函数解析式为；（3）解：甲车出发3小时或7小时时，两车距市的路程之和是300千米．【解析】【解答】(1)甲的速度（千米/时）乙的速度（千米/时）乙车从C到A所用时间为（千米）图中括号内应填入的数为A、C两市相距480千米B、C两市相距千米A、两市相距的路程为千米故答案为：10，600；解：(3)①当时，解得②当时，解得③当时，解得（舍去）n综上，甲车出发3小时或7小时时，两车距市的路程之和是300千米．【分析】（1）由图象知A、C两市的路程为480千米，甲用了8小时从A到C市，可得甲的速度=（千米/时），从而得出乙的速度（千米/时），由图象知乙从C到A市的时间为480÷80=6小时，可得图中括号内应填入的数为小时，从而得出甲用了10-8=2小时，从C到B市，继而得出B、C两市相据60×2=120千米，利用AC+BC=AB即可求出AB两市的路程；（2）由（1）知M（4，0），N（10，480），利用待定系数法求出直线MN的解析式即可；（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据“两车距市的路程之和是300千米”分别列方程，解之并检验即可.23．【答案】（1）（2）线段与之间的数量关系为证明：连接、∵四边形和四边形是正方形，∴，，，、分别平分，，∴，∴即，且，都是等腰直角三角形，∴，∴∴，即（3）解：线段QN扫过的面积=【解析】【解答】(1)连接AF、ACn四边形ABCD和四边形AEFG是正方形故答案为：；解：(3)如图，取AB中点O，连接ON、OQ、AF点N是BE的中点，点Q是BF的中点，点O是AB的中点，点Q在以点O为圆心，以为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，以为半径的圆上运动线段QN扫过的面积【分析】(1)连接AF、AC，由正方形的性质可求出再证明n可得；（2）；证明：连接，易求，都是等腰直角三角形，从而得出证明，可得，即得解；（3）如图，取AB中点O，连接ON、OQ、AF，先求出，根据三角形中位线定理可得，，从而得出点Q在以点O为圆心，以为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，以为半径的圆上运动，继而得解.24．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为，∴设抛物线的解析式为，将点代入抛物线中，得，∴，∴抛物线的解析式为．即．（2）解：连接，由解得得出，，因为C（0，-3）D（1，-4）可得BC=，BD=，CD=所以n∴为直角三角形∴∴．（3）8或-4（4）解：存在，，，．【解析】【解答】(3)解：由题意可得==9∵∴直线经过点D（1，-4）设直线与AB交于点H（t，0）∴=∴∴t=∴∴t=0n∴H（0，0）或（，0）将（0，0）或（，0）代入解得m=-4或m=8．(4)存在，，，．设点P坐标为（m，0）Q点坐标为（n，）当BC为边时得=3解得∴点Q坐标为，当BC为对角线时得=-3解得（舍）∴点Q坐标为综上点Q坐标为，，．【分析】（1）利用待定系数法（顶点式）求出抛物线解析式即可；（2）连接CD，先求出A、B坐标，根据两点间的距离分别求出BC、BD、CD，跟姐姐勾股定理的逆定理求出△BCD为直角三角形且∠BCD=90°，根据即可求解；（3）先求出=9，由于直线过定点D（1，-4），设直线与AB交于点H（t，0），可得=6-2t，或6-2t=，分别求出t值，即得H的坐标，再将H坐标代入中求出m值即可；（4）分两种情况：①当BC为边时，②当BC为对角线时，根据平行四边形的性质及抛物线上点的坐标分布求解即可.
