2011高考数学三轮复习必做的数列综合题 <br />1.数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列. <br />(Ⅰ)求数列的通项公式； <br />(Ⅱ)设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有 2； <br />(Ⅲ) 正数数列中，.求数列中的最大项. <br />（Ⅰ）解：由已知：对于，总有 ①成立 <br />∴ （n ≥ 2）② <br />①--②得 <br />∴ <br /> 均为正数，∴ （n ≥ 2） <br />∴数列是公差为1的等差数列 <br />又n=1时，， 解得=1 <br />∴.() <br />（Ⅱ）证明： 对任意实数和任意正整数n，总有≤. <br />∴ <br /> <br />(Ⅲ)解：由已知 ， <br /> <br /> 易得 <br /> 猜想 n≥2 时，是递减数列. <br />令 <br /> <br /> 当 <br />∴在内为单调递减函数. <br />由. <br />∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列. <br />又 , ∴数列中的最大项为. <br /> <br />2．设f1(x)=，定义fn+1 (x)= f1［fn(x)］，an =（n∈N*）. <br />(1) 求数列｛an｝的通项公式； <br />(2) 若，Qn=（n∈N*），试比较9T2n与 <br />Qn的大小，并说明理由. <br />解：（1） f1(0)=2，a1==，fn+1(0)= f1［fn(0)］=, <br />∴an+1==== -= -an. <br />∴数列｛an｝是首项为,公比为-的等比数列，∴an=()n-1. <br />（2） T2 n = a1+2a 2+3a 3+…+(2n-1)a 2 n-1+2na 2 n， <br />∴T2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+…+(-)(2n-1)a2 n－1+2na2 n <br />= a 2+2a 3+…+(2n－1)a2 n－na2 n. <br />两式相减，得T2 n= a1+a2+a 3+…+a2 n+na2 n. <br />∴T2n =+n×(-)2n-1=-(-)2n+(-)2n-1. <br />T2n =-(-)2n+(-)2n-1=(1-). <br />∴9T2n=1-. <br />又Qn=1-， <br />当n=1时，22 n= 4,(2n+1)2=9,∴9T2 n＜Q n； <br /> <br />当n=2时，22 n=16,(2n+1)2=25,∴9T2 n＜Qn； <br />当n≥3时，， <br />∴9T2 n＞Q n. <br /> <br />3． 设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f(n)(n∈N*). <br /> （1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式； <br /> （2）设bn=2nf(n)，Sn为{bn}的前n项和，求Sn； <br /> （3）记，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值 <br />范围. <br />（1）f(1)=3 <br /> f(2)=6 <br /> 当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时,y=n，可取格点n个 <br /> ∴f(n)=3n <br /> （2）由题意知:bn=3n·2n <br /> Sn=3·21+6·22+9·23+…+3(n－1)·2n－1+3n·2n <br /> ∴2Sn=3·22+6·23+…+3(n－1)·2n+3n·2n+1 <br />∴－Sn=3·21+3·22+3·23+…3·2n－3n·2n+1 <br /> =3（2+22+…+2n）－3n·2n+1 <br /> =3· <br /> =3(2n+1－2)－3nn+1 <br />∴－Sn=(3－3n)2n+1－6 <br />Sn=6+(3n－3)2n+1 <br /> （3） <br /> <br /> <br /> ∴T1<T2=T3>T4>…>Tn <br /> 故Tn的最大值是T2=T3= <br /> ∴m≥。 <br /> <br />4．已知，且，数列的前项和为，它满足条件.数列中，·. <br />（1）求数列的前项和； <br />（2）若对一切都有，求的取值范围. <br />解：（1） ，∴ <br />当时，. <br />当≥2时，=，∴ <br />此时··=·， <br />∴……=……+ <br />设……+， <br />∴……， <br />∴ <br />∴· ……6分 <br />（2）由可得 <br /> <br />①当时，由，可得 <br /> ∴对一切都成立， <br />∴此时的解为. <br />②当时，由 可得 <br />≥∴对一切都成立， <br />∴此时的解为. <br />由①，②可知 <br />对一切，都有的的取值范围是或. ……14分 <br />5、已知函数（）。 <br />（Ⅰ）若且，则称为的实不动点，求的实不动点； <br />（II）在数列中，，（），求数列的通项公式。 <br />解：（Ⅰ）由及得 <br />或（舍去）， <br />所以或，即的实不动点为或； <br />（II）由条件得，从而有 <br />， <br />由此及知：数列是首项为，公比为的等比数列，故有 <br />（）。 <br />6、已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为． <br />⑴求证：点的...
