<br>
圆锥曲线中的综合问题 <br>
一、选择题（本大题共12小题，共60分） <br>
1. 已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，其中O为坐标原点，则与面积之和的最小值是 <br>
A. 2 B. 3 C. D. <br>
（正确答案）B <br>
解：设直线AB的方程为：，点，， <br>
直线AB与x轴的交点为， <br>
由，根据韦达定理有， <br>
，， <br>
结合及，得， <br>
点A，B位于x轴的两侧，，故． <br>
不妨令点A在x轴上方，则，又， <br>
， <br>
． <br>
当且仅当，即时，取“”号， <br>
与面积之和的最小值是3，故选B． <br>
可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题． <br>
求解本题时，应考虑以下几个要点： <br>
1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式． <br>
2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高． <br>
3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”． <br>
<br>
2. 已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：交椭圆E于A，B两点，若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是 <br>
A. B. C. D. <br>
（正确答案）A <br>
解：如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形， <br>
，． <br>
取，点M到直线l的距离不小于，，解得． <br>
． <br>
椭圆E的离心率的取值范围是． <br>
故选：A． <br>
如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，可得取，由点M到直线l的距离不小于，可得，解得再利用离心率计算公式即可得出． <br>
本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． <br>
<br>
3. 已知点是椭圆C：的左顶点，过点P作圆O：的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则的值是 <br>
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 <br>
（正确答案）C <br>
解：由题意，． <br>
过点P作圆O：的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F， <br>
，， <br>
，， <br>
， <br>
故选C． <br>
由题意，过点P作圆O：的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，可得，即可求出的值． <br>
本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． <br>
<br>
4. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分交于A点，，垂足为K，则的面积为 <br>
A. 4 B. C. D. 8 <br>
（正确答案）C <br>
解：由抛物线的定义可得，则 <br>
的斜率等于，的倾斜角等于，， <br>
，故为等边三角形． <br>
又焦点，AF的方程为， <br>
设，， <br>
由得， <br>
，故等边三角形的边长， <br>
的面积是， <br>
故选：C． <br>
先判断为等边三角形，求出A的坐标，可求出等边的边长的值，的面积可求． <br>
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断为等边三角形是解题的关键． <br>
<br>
5. 已知抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于M，N两点，若为直角三角形，其中F为直角顶点，则 <br>
A. B. C. D. 6 <br>
（正确答案）A <br>
【分析】 <br>
本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力． <br>
【解答】 <br>
解：由题设知抛物线的准线为，代入双曲线方程解得 ， <br>
由双曲线的对称性知为等腰直角三角形，， <br>
，，即， <br>
故选A． <br>
<br>
6. 若抛物线上恒有关于直线对称的两点A，B，则p的取值范围是 <br>
A. B. <br>
C. D. <br>
（正确答案）C <br>
解：设，， <br>
因为点A和B在抛物线上，所以有 <br>
<br>
得，． <br>
整理得， <br>
因为A，B关于直线对称，所以，即． <br>
所以． <br>
设AB的中点为，则． <br>
又M在直线上，所以． <br>
则． <br>
因为M在抛物线内部，所以． <br>
即，解得． <br>
所以p的取值范围是 <br>
故选C． <br>
设出A，B两点的坐标，因为A，B在抛物线上，把两点的坐标代入抛物线方程，作差后求出AB中点的纵坐标，又AB的中点在直线上，代入后求其横坐标，然后由AB中点在抛物线内部列不等式求得实数p的取值范围． <br>
本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了点差法，是解决与弦中点有关问题的常用方法，解答的关键是由AB中点在抛物线内部得到关于p的不等式，是中档题． <br>
<br>
7. 已知点，A，B是椭圆上的动点，且，则的取值是 <br>
A. B. C. D. <br>
（正确答案）C <br>
...
