垂径定理一．教学背景分析1、学习任务分析“垂径定理”是义务教育课程标准实验教科书《数学》（北师版）九年级下册第三章《圆》第3节的内容，第一课时学习了圆的相关概念，本课是学习圆的轴对称——垂径定理及其推论，在学习过程中让学生经历欣赏、动手实践、思考、归纳等数学探究活动，最终领悟圆的轴对称美。“垂径定理”是圆的轴对称性的重要体现，同时也蕴含了线段、弧、等腰三角形等图形的轴对称性，是初中阶段轴对称中集大成者。“垂径定理”也是我们计算和证明圆的相关问题的重要基石，并且通过探究“垂径定理及其推论”十分有益于培养学生实践创新能力和数学审美能力。2、学生情况分析学生已经学习了线段、等腰三角形等图形的轴对称性。对轴对称性方面的数学直感已初步形成，同时也初步具备探究某些特殊图形的轴对称性的能力。但学生仍然难以将数学直感提升到公理化定理化层面，仍然难以完美使用“折叠法”完成定理的证明。3、重点难点的定位教学垂点：垂径定理及其推论。教学难点：（1）用“折叠法”证明垂径定理，（2）领悟垂径定理中的对称美。二．教学目标设计:1.知识与技能目标：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。2.过程与方法目标：教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。3.情感、态度与价值观：对圆的轴对称美的始于欣赏，进而分析提升，直至最终领悟数学美。从而陶冶学生情操，发展学生心灵美，提高数学审美力。三．课堂结构设计：《数学课程标准》强调，要创造性地使用教材，要求教师以发展的眼光来对待它。因此，我在尊重教材的前提下，结合学情，对教材例题、习题作适当的处理,将本节课的课堂结构设计为以下四个环节：1、欣赏美——营造问题情境7
2、探究美——揭秘核心问题3、徜徉美——问题变式发散4、品味美——重建知识体系课堂教学应以学生为主体，教师为主导。在本节课的教学过程中我充分尊重学生已有的知识和方法，以培养能力为目的，让学生在“赏美”中进入，在“探美“中发展，在”品美“中提高。以发展学生的思维为中心，以问题为载体，使学生在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握垂径定理，并将知识转化为能力。四．教学资源运用心理学研究表明，在学生接受知识方面，视听结合能记住86。3％，效果最佳。因此，根据初中学生的心理特征和认知规律，我对教学媒体的利用进行了如下设计：1、利用多媒体辅助教学在欣赏美的环节中，我利用多媒体让学生观察圆的实物图片，充分让学生获得感性认识；在探究美时，我利用多媒体在动漫中演示图形的折叠过程；在徜徉美中，帮助学生利用感官理解图形及其变式的联系，在激发学生思维的同时，获得美的享受。品味美时，我让学生上网查阅相关资料，利用网络平台加强学生对所学知识的理解,拓宽学生视野，培养学生的创新能力。2、常规媒体仍起主导作用垂径定理及其问题的解答过程都在黑板上板书，充分展现数学知识的精彩发生、发展过程，充分地暴露学生认识中存在的问题和独特优胜之处。因为数学是思维的体操，数学课是丰富多彩的动态生成而非僵硬不变的简单预设。3、充分利用学生身旁现有的教学资源：如组织学生玩找对称点游戏；看谁折得好；寻找身旁的轴对称图形等。这些贴近学生认知领域而又充满情趣的活动，很好地活跃了学习气氛，使学生真正地融入到数学学习中来。板书设计:为使本课更具逻辑性和直观性，力争达到“简约而不简单“的境界，我将板书设计作了如下侧向处理：公理课题应用定理推论7
活动板演区五、教学过程设计（一）欣赏美营造问题情境师生活动设计意图1、轴对称图形自由谈（学生举例子，说特征，教者参与组织。）2、玩“找对称点”游戏（教者定对称轴，学生玩游戏。）3、欣赏轴对称美图片（教者播放幻灯片，学生尽情欣赏。）4、切入圆的轴对称美（教者：最具轴对称美的图形是什么呀？学生回答后，趁势引领学生进入课题研究，教者写好副标题；揭秘圆的轴对称美）学生爱自由谈论，爱玩游戏，最爱美。我组织学生自由交谈初步唤醒学生头脑中关于轴对称知识的印象。继而通过玩游戏，牢固树立起轴对称的核心特征——对称点的连线段被对称轴垂直平分。最后归落到美的角度重新审视轴对称图形，很好的放飞学生心灵，学生愉快而充满激情地进入到学习中来。（二）探师生活动设计意图7
究美揭秘核心问题1、教者提出核心问题（1）圆真是一个轴对称图形吗？（2）若是，它的对称点与对称轴又有怎样的特殊性呢？（学生跃跃欲试）2、折叠实验，解决问题（1）教者给学生分发小圆形彩纸，在民主自由的气氛中人人动手。最后集中反馈，得出公理：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。3、分组研究解决问题（2）教者提供样本图鼓励学生先小组合作研究，再集中交流结果，形成丰富多彩的过渡性结论。4、证明定理教者从上面各小组提出的过渡性结论中，选择或综合成定理，然后运用媒体演示，用折叠法进行证明，最终正名为垂径定理，并补写好本课主标题。唯有问题，才能真正有的放矢地推进数学的研究，而每一个数学研究大都始于猜想成于实验，终于证明。正是通过中心问题的驱动，学生先猜后验再证，完整有序而又生动的重走了当年数学家们走过的路，一步步地撩起了对称美包裹之下的垂径定理的神秘面纱。.OABDC（.O样本图）（三）徜师生活动设计意图7
徉美问题变式发散1、剖析定理结构：教者引领学生分解出题设和结论，总结出“二推三”模型（即由两个条件得出三个结论）。2、问题变式发散：(1)教者组织学生玩重组命题游戏，大力表彰各种创新，并让学生尝试证明。（2）从作图角度提出新问题：“你能平分一段弧吗？”（鼓励学生尺规作图完成，教者点评）（3）回到生活实际——赵州石拱桥问题。（教者放映图片，给出问题，学生完成板演，提倡一题多解）。一题多变，一题多解，一题多样，举一反三，牵一而动全身，这样的教学，学生个个都能动，动得欢快淋畅。从命题到作图，再到生活实际，真是花样百出；从游戏到证明再到计算，如此丰富多彩。而万变不离其宗——“垂径定理”。实形散而神聚也，学生徜徉其中，自感美不胜收，他们神情自若，应对自如，绝无茫然之态。7
（四）品味美重建知识体系师生活动1、“垂径定理”审美：老师引领学生再次站在美的角度审视“垂径定理”及其推论，大力挖掘其中蕴含的线段、等腰三角形、圆、弧的轴对称美。2、重建知识体系：通过对美的赏析领悟，优化学生知识结构，将“垂径定理”及其推论收入如下四级知识结构体系中：美——对称美——轴对称美——圆中“垂径定理”的美。3、反馈训练必做题：教材选做题：①、教材②、请上网查阅“圆的对称性”的相关资料，然后就自己感受最深的某一方面写一篇小论文。以下网站可供参考：设计意图美是令孩子们愉快的，最是孩子喜欢的，也是孩子们终身难以忘怀的。孩子们在体验数学美的过程中，知识牢固了，思维发展了，身心放飞了。总之美不仅是数学的最高形式，也是我们数学教育工作者们的至上追求。7
六．教学创意之处：1、以美为旗帜，营造富有诗意美的课堂。学生带着欣赏的愉悦心态，不知不觉步入了科学探究的殿堂，为探究美中蕴藏的数学奥秘，学生经历了从实验到抽象再到证明的波澜起伏、生动优美的科学探究过程，最终“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处“；“变式问题”擦亮学生思维的火花，使他们欲罢不能，徜徉其中，好似“小舟误入莲花深处”，“沉醉不知归处”；最后通过“品味美”，将知识纳入“轴对称美”的体系中，学生站得更高，看得更远，如临泰山之巅，“一览众山小”，至美矣！2、突出“问题教学”，激活学生思维。“问题是数学的心脏”，本课先以“情境问题”切入课题，诱发学生自己研究，继以“核心问题”搭台交流，再以“变式问题”激励深探，层层推进，学生的思维先是被点燃，而后燃烧着，最终迸射出亮眼的光芒，数学课堂活了！总之，本课成功地将问题、思维、美三者融合在一起，以问题为载体，以思维为目标，美驾驭着鞭策着它们一起奔跑，从而让学生在不断解决问题中学习，知识得到掌握，能力得到训练，情感得到体验，心灵得到陶冶，不同层次的学生都得到了不同程度的全面和谐的发展。7
