阶段质量检测（二）数列(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )A．递增数列 B．递减数列C．常数数列D．摆动数列解析：选D 因为等比数列{an}的公比为q＝－，a1＝，故a2<0，a3>0，…，所以数列{an}是摆动数列．2．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是( )A．1B．－1C．－3D．－4解析：选D 由题意，得解得a＝－4，b＝2，c＝8.3．等差数列{an}中，a3＝2，a5＝7，则a7＝( )A．10B．20C．16D．12解析：选D ∵{an}是等差数列，∴d＝＝，∴a7＝2＋4×＝12.4．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于( )A．－B.C．－D.解析：选B ∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，∴a2＝(－1)2×2×＝，-8-a3＝(－1)3×2×＝－，a4＝(－1)4×2×＝－，a5＝(－1)5×2×＝.5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( )A．3∶4B．2∶3C．1∶2D．1∶3解析：选A 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.6．在等比数列{an}中，已知前n项和Sn＝5n＋1＋a，则a的值为( )A．－1B．1C．5D．－5解析：选D 因为Sn＝5n＋1＋a＝5×5n＋a，由等比数列的前n项和Sn＝＝－·qn，可知其常数项与qn的系数互为相反数，所以a＝－5.7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则254是该数列的( )A．第8项B．第10项C．第12项D．第14项解析：选D 当n为正奇数时，an＋1＝2an，则a2＝2a1＝2，当n为正偶数时，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次类推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，归纳可得数列{an}的通项公式an＝则2＋1－2＝254，n＝14，故选D.8．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝15，且＋＋＝，则a2＝( )A．2B.C．3D.解析：选C ∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，∴＋＋＝，∵a1a2a3＝15，∴＝＋＋＝，∴a2＝3.故选C.-8-9．如果数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1、公比为的等比数列，那么an＝( )A.B.C.D.解析：选A 由题知a1＝1，q＝，则an－an－1＝1×n－1.设数列a1，a2－a1，…，an－an－1的前n项和为Sn，∴Sn＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an.又∵Sn＝＝，∴an＝.10．已知等比数列{an}各项均为正数，且a1，a3，a2成等差数列，则等于( )A.B.C.D.或解析：选B 由题意，得a3＝a1＋a2，即a1q2＝a1＋a1q，∴q2＝1＋q，解得q＝.又∵{an}各项均为正数，∴q>0，即q＝.∴＝＝＝.11．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )A.B.C.D.解析：选B 设{an}的公比为q，q>0，且a＝1，-8-∴a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，a1＝＝4.∴S5＝＝8×＝.12．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－2014，－＝2，则S2016的值为( )A．－2016B．2016C．2015D．－2015解析：选B 因为Sn为等差数列{an}的前n项和，所以数列是等差数列．设数列的公差为d′，则由－＝2，得2d′＝2，解得d′＝1，所以＝＋2015d′＝a1＋2015d′＝－2014＋2015＝1，所以S2016＝2016.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N＋.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．解析：设{an}的首项，公差分别是a1，d，则解得a1＝20，d＝－2，∴S10＝10×20＋×(－2)＝110.答案：11014．已知数列{an}的通项公式为an＝2015－3n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．解析：由an＝2015－3n>0，得n<＝671，又∵n∈N＋，∴n的最大值为671.答案：67115．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝-8-＝＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.答案：616．在等比数列{an}中，若1，a2，a3－1成等差数列，则＝________.解析：设等比数列的公比为q，依题意，可得2a1q＝1＋a1q2－1，又a1≠0，整理得q2－2q＝0，所以q＝2或q＝0(舍去)，所以＝＝.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.解：(1)依题意，有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－.(2)由(1)可得a1－a12＝3，故a1＝4.从而Sn＝＝.18．(12分)已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N＋)确定．(1)求证：是等差数列；(2)当x1＝时，求x2016.解：(1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝(n≥2且n∈N＋)，-8-∴＝＝＋，∴－＝(n≥2且n∈N＋)，∴是等差数列．(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝.∴＝＝.∴x2016＝.19．(12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，＝.(1)求等比数列{an}的公比q；(2)求a＋a＋…＋a.解：(1)由＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，q＝－.(2)由(1)，得an＝(－1)×n－1，所以a＝n－1，所以数列{a}是首项为1，公比为的等比数列，故a＋a＋…＋a＝＝.20．(12分)在等差数列{an}中，Sn为其前n项和(n∈N＋)，且a2＝3，S4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差是d，由已知条件得解得a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.(2)由(1)知，an＝2n－1，∴bn＝＝＝，-8-Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝.21．(12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an<an＋1，且s3＝2s2＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝(2n－1)an(n∈n＋)，求数列{bn}的前n项和tn.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由an<an＋1，得q>1，又a1＝1，则a2＝q，a3＝q2，因为S3＝2S2＋1，所以a1＋a2＋a3＝2(a1＋a2)＋1，则1＋q＋q2＝2(1＋q)＋1，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N＋)．(2)由(1)知，bn＝(2n－1)·an＝(2n－1)·2n－1(n∈N＋)，则Tn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，2Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，两式相减，得－Tn＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)×2n，即－Tn＝1＋22＋23＋24＋…＋2n－(2n－1)×2n，化简得Tn＝(2n－3)×2n＋3.22．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210.(1)求数列{an}的通项公式．(2)设bn＝，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.由已知，得即解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N＋)．(2)假设存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列，则b＝b1bk.因为bn＝＝，所以b1＝，bm＝，bk＝，所以2＝×.-8-整理，得k＝.以下给出求m，k的方法：因为k>0，所以－m2＋2m＋1>0，解得1－</an＋1，且s3＝2s2＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝(2n－1)an(n∈n＋)，求数列{bn}的前n项和tn.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由an<an＋1，得q>
