上海交通大学附属中学2022-2022学年度第二学期高三数学月考试卷(理)（说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。）一、填空题（本大题满分56分，每题4分，填错或不填在正确的位置一律得零分）1．已知复数满足，则=2．已知集合,则=_________.3．在等差数列中，已知，，则通项公式=_____________.4．若P是圆上的动点，则P到直线的最小距离是_____________.5．某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：成绩人数401150602213708090则总体标准差的点估计值是.（精确到）6．函数的最大值是______________.7．二项式展开式中的常数项为.8．已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的一个极坐标为．9．若，则。10．已知是最小正周期为2的函数，当时，,若在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________11．某校学生在上学路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2分钟．则该校某个学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的均值等于分钟．12．设直线与平面相交但不垂直，则下列所有正确的命题序号是．①在平面内有且只有一条直线与直线垂直；8②过直线有且只有一个平面与平面垂直；③与直线平行的直线不可能与平面垂直；④与直线垂直的直线不可能与平面平行；⑤与直线平行的平面不可能与平面垂直．13．已知定义域为R的偶函数，对于任意，满足。且当时。令，，其中，函数。则方程的解得个数为______________（结果用n表示）14．函数的图像与函数（）的图像所有交点的横坐标之和等于2022，则满足条件的整数k的值是______________二、选择题（本大题满分20分）第16题图15．如果命题“曲线上的点的坐标都是方程的解”是正确的，则下列命题中正确的是………………（）（A）曲线是方程的曲线；（B）方程的每一组解对应的点都在曲线上；（C）不满足方程的点不在曲线上；（D）方程是曲线的方程.16、若框图所给的程序运行的结果为，那么判断框中应填入的关于的判断条件错误的是……………………………………………………（）（A）（B）（C）（D）17．将若干水倒入底面半径为的圆柱器皿中（底面水平放置），量得水面的高度为．若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒置的圆锥形器皿中，则水面的高度是（）A．B．C．D．18．设是公比为的等比数列，首项，对于，，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则的取值范围为…………（）A．B．C．D．8三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题6分，满分12分）如图所示，在三棱锥中，平面，且垂足在棱上，，，，。（1）证明为直角三角形；（2）求点到平面的距离。20、（本题共2小题，其中第1小题7分，第2小题7分，满分14分）在中，角的对边分别为,且。（1）求的值；（2）若，求面积的最大值。21、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题8分，满分14分）已知函数.（1）当时，求函数的值域；（2）如果对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围.822、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分16分）已知椭圆的左，右两个顶点分别为、，曲线是以、两点为顶点，焦距为的双曲线。设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点。（1）求曲线的方程；（2）设、两点的横坐标分别为、，求证为一定值；（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围。23、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列的各项都是正数，且满足：,,(1)求证,；(2)判断数列的单调性；(2)求数列的通项公式。参考答案：一、填空题1．；2.；3.2n-1；4.5；5．17.64；6．；7.84；8．；9．；10．；11．；12.②③；13.；14．1002或1003。14、函数图象的对称中心是（1,0），这也是函数（）的对称中心，其对称两个交点的横坐标之和为2，于是共有2022个交点。注意到在内有4个交点，其余周期内均2个交点，又，而周期为2，于是或1003。二、15．C；16．D；17．B；18．C。三、19、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题6分，满分12分）解：（1）以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系--------------------------------------1’8则，，----2’于是，因为，-------------5’为直角三角形------------------6’（2）由（1）可得，于是，---------------------7’，设平面的法向量为则即取，则，平面的一个法向量为-------------------------------------------10’点A到平面PBC的距离为------------------------------12’解二：（1）联BD直接计算，求出，于是，可验证：，于是是直角三角形；（2）利用体积可得。20、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题6分，满分12分）解：（I）因为，所以.-------------------------1’又=+=.----------------------6’（II）由已知得，------------------------7’又因为，所以.------------------------8’又因为，所以，当且仅当时，取得最大值.-------------------11’此时.8所以的面积的最大值为.-------------------------12’21、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题8分，满分14分）解：（1）…………………2分因为，所以，…………………4分故函数的值域为…………………6分（2）由得令，因为，所以所以对一切的恒成立…………………8分①当时，若时，；…………………9分当时，恒成立，即函数在单调递减，于是时取最小值，此时，于是；…………………10分当时，此时时，恒成立，即因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，；…………………12分当时，此时时，恒成立，即函数在单调递增，于是时取最小值，此时，于是。……………………………………………14分22、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分16分）解：（1）依题意可得，-------------------------------------------------------1’双曲线的焦距为，，------------3’双曲线的方程为-----------------------------------------------------4’（2）证明：设点、（，），直线的斜率为（），则直线的方程为------------------------------------------------5’8联立方程组整理，得---6’解得或---------------------------------------7’同理方程组可得：---------------------------------9’为一定值---------------------------------------------------------------10’（3）设点、（，），则，．，，即-----------11’点在双曲线上，则，所以，即--12’又点是双曲线在第一象限内的一点，所以，-----------------13’由（2）知，，即，设，则，，在上单调递减，在上单调递增----14’当，即时，当，即时，的取值范围为-----------------------------------------------------------16’23、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分）解：（1）当n=1时，a1=1,∴a1<2,命题正确.假设n=k时有<2.则n=k+1时，=(4-)<2∴n=k+1时命题正确.因此对一切的有<2.（2）数列单调递增，下证对一切的有<。8当n=1时，a1=1,a2=a1(4-a1)=,∴a1<a2,命题正确.假设n=k时有<.则n=k+1时，-=(4-)-(4-)=2()-()()=()(4-)而<0,4->0,∴-<0∴n=k+1时命题正确.因此对一切的有<.（3）2=4-2,(2-)2=(2-)2(2-)=1+(2-)(2-)+=2[(2-)+]=-1∴(2-)-1=2[(2-)-1]∴{(2-)-1}为G.P公比q=2,首项(2-a1)-1=(2-1)-1=-1因此有(2-)-1＝-1•＝-2，(2-)＝1-2，2-＝，∴＝2-.8</a2,命题正确.假设n=k时有<.则n=k+1时，-=(4-)-(4-)=2()-()()=()(4-)而<0,4->
