北京临川学校2022—2022学年度第一学期期中考试高三数学（理）试卷（2022年11月29日）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设，则BA．B．C．D．2.如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：，则图中的值等于CA.B.C.D.3.如图所示，在复平面内，点对应的复数为，则复数DA.B.C.D.4.已知向量，，则与夹角的余弦值为BA．B．C．D．5.设Sn为等比数列的前n项和，，则＝DA.11B.5C.一8D.一116.若，且，则的值为CA．B．C．D．7.设函数，，则“”是“函数为奇函数”的C-9-\nA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.已知命题；命题，均是第一象限的角，且，则．下列命题是真命题的是AA.B.C.D.9.下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为，则在判断框中应填入关于的判断条件是BA.B.C.D.10.根据表格中的数据，可以断定函数的零点所在的区间是C123500.6911.101.6131.51.1010.6A.B.C.D.11.如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数-9-\n图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为 D A.B.C.D.12.已知函数在R上满足，曲线在点处的切线为，点在上，且则DA.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13.已知向量，，若，则.14.定义在上的函数满足则的值为____________________115.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，，，，那么a等于_____________416.如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第行的从左至右的第3个数是三、解答题：（70分）-9-\n17．（本是满分10分）已知等差数列满足：，，其中为数列的前n项和.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，且成等比数列，求的值.17解：（Ⅰ）设数列的公差为d，由条件得-------5分（Ⅱ）∵由（Ⅰ）易得，∵得解得-------10分18.（本小题满分12分）函数的部分图象如图所示.（Ⅰ）写出及图中的值；（Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值和最小值.18.（共12分）解：（Ⅰ）的值是.=…2分的值是.……5分（Ⅱ）由题意可得：.…………7分-9-\n所以……8分.……10分因为，所以.所以当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值.……………12分19.（本小题满分12分）某中学在高二年级开设社会实践课程《数学建模》，共有50名同学参加学习，其中男同学30名，女同学20名.为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核.（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；（Ⅱ）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定.设甲、乙两位同学间隔的人数为，的分布列为3210求数学期望；（Ⅲ）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119.这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，，试比较与的大小.（只需写出结论）19.（共12分）解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为，女同学的人数为.-9-\n…………4分（Ⅱ）由题意可得：.……6分因为，所以.………8分所以.………10分（Ⅲ）.……12分20.（本小题共12分）设，已知函数.（I）当时，求函数的单调区间；（II）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围.20.（共12分）解：（I）当时，，则，由，得，或，由，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为（0，2）。（6分）（II）依题意，对，，这等价于，不等式对恒成立。令，则，所以在区间上是减函数，-9-\n所以的最小值为。所以，即实数的取值范围为。------（12分）21.（本小题共12分）设数列的前项和为，且.（I）求数列的通项公式；（II）若数列满足，求数列的通项公式.21.（共13分）解：（I）因为，则，所以当时，，整理得，由，令，得，解得。所以是首项为1，公比为2的等比数列，可得（6分）（II）因为，由，得，由累加得，当时也满足，所以。（12分）22.(本小题满分12分)设函数，其中．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数的极值点.-9-\n22.解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，．当时，，即在上恒成立，当时，，当时，函数在定义域上单调递增．---------4分（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．②时，有两个相同的解，时，，时，，时，函数在上无极值点．③当时，有两个不同解，，，时，，，时，，随的变化情况如下表：极小值由此表可知：时，有唯一极小值点，当时，，，此时，，随的变化情况如下表：x2-9-\n极大值极小值由此表可知：时，有一个极大值点和一个极小值点；综上所述：时，有唯一极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点．……12分-9-
