怀柔区2022～2022学年度第二学期期末考试高二数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分..共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用2B铅笔将答题卡试卷类型（B）涂黑。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若，则等于A.B.C.D.2．复数A．B．C．D．3．函数的极值点为A．B．C．D．4．若＝(1,2,－3)，＝(2,a－1,a2－)，则“a＝1”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．曲线在点（1,4）处的切线方程为A．B．C．D．6．从名男同学中选出人，名女同学中选出人，并将选出的人排成一排，则不同的排法共有A.2400种B.24400种C.1400种D.14400种7．若函数在区间（2，3）上是减函数，则12\n的取值范围是A．B．C．D．8．如图，用长为90，宽为48的长方形铁皮做一个无盖的长方体容器，先在四角分别截去都是相同的一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，当长方体容器的容积为最大时，其高为A．10B．30C．36D．10或36第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共20分.9．．10．函数y=的导数是．11．从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是．12．若随机变量的分布列为：则，12\n．13．若二项式的展开式中所有二项式系数的和等于256，则展开式中含的项为．14．在北京举办的第七届中国花博会期间，某展区用同样的花盆摆成了若干如下图所示的图案，其中第①个图案只一个花盆；第②个，第③个，…的图案分别按图所示的方式固定摆放．从第①个图案的第一个花盆开始，以后每一个图案的花盆都自然摆放在它们的周围，若以表示第n个图案的花盆总数，则；（答案用n表示）．三解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）如图，在空间直角坐标系xoy中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E1在A1B1上，F1在C1D1上，且B1E1=D1F1=．（Ⅰ）求向量，的坐标；（Ⅱ）求BE1与DF1所成的角的余弦值．16．（本题满分13分）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分.（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人都没有投中的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望．12\n17．(本小题满分13分)已知函数，当时，的极大值为7；当时，有极小值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的极小值．18．(本小题满分13分)小明家住H小区，他在C区的光华中学上学，从家骑车到学校上学有L1，L2两条路线（如图），L路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．（Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．19．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥的底面是矩形，，分别是线段的中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值；12\n（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得？若存在，请找出点的位置并加以说明；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分14分）已知函数，．（Ⅰ）若函数在处取得极小值0，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对任意，总有；（Ⅲ）求函数的单调递增区间．参考答案及评分标准2022.7题号1234567812\n答案CCBABDDA一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.10510.11.12.；13.14.19；三、解答题：本大题共6小题，共80分.15．（本小题满分13分）如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，且B1E1=D1F1=．（Ⅰ）求向量，的坐标；（Ⅱ）求BE1与DF1所成的角的余弦值．解：（Ⅰ）B（1，1，0），E1（1，，1），D（0，0，0），F1（0，-----------------------5分（Ⅱ）-------------------------13分12\n16．（本题满分13分）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分.（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人都没有投中的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望．解：（Ⅰ）依题意，甲、乙两人在罚球线各投球一次，两人都没有投中的概率为．--------------------5分（Ⅱ）的可能取值为． ； ； 所以 ．-----------------------------------------------------------13分17．(本小题满分13分)已知函数，当时，的极大值为7；当时，有极小值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的极小值．解：（Ⅰ）由已知得-------------------------------------------------5分（Ⅱ）由（Ⅰ），，当时，；当时，12\n故时，取得极小值，极小值为。---------------------------------------------13分18．(本小题满分13分)小明家住H小区，他在光华中学上学，从骑车到学校上学有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．HCA1A2B1B2L1L2A3（Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．解：（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则．所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为．------------------------------------5分（Ⅱ）依题意，的可能取值为0，1，2．，，．故随机变量的分布列为：012P．-----------------------------------------10分（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，，所以．因为，所以选择L2路线上班最好．---------------------------------------------13分19．（本小题满分14分）12\n如图，已知四棱锥的底面是矩形，，分别是线段的中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得？若存在，请找出点的位置并加以说明；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）证明：连接，则,又，∴，．又，，-----------------------5分（Ⅱ）因为四边形是矩形，，则.如图建立空间直角坐标系.因为，所以是与平面所成的角，即，所以，以．所以,设平面的法向量为，由得，令，解得：所以．又因为，所以是平面的法向量，易得，所以．12\n由图知，所求二面角的余弦值为．---------------------------------10分（Ⅲ）解法1：在棱上存在点，使得.设点,,则，因为，则.设平面的法向量为，由得，令，解得：所以．令得，即所以从而满足的点为所求．---------------------------------------------14分解法2：过点，则．再过点则，∴.从而满足的点为所求．-----------------------------14分20．（本小题满分14分）已知函数，.（Ⅰ）若函数在处取得极小值0，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对任意，总有；（Ⅲ）求函数的单调递增区间.12\n解：（Ⅰ）函数的定义域为，由题意得，.经检验符合题意.---------------------------------------------5分（Ⅱ），当时，，所以在上单调递增，所以，当时，，在上单调递减，所以.-因为，所以对任意，总有-------------------------------------10分（Ⅲ）.（1）当时，由得，；（2）当时，由得，；（3）当时，（ⅰ）若，由得，或；（ⅱ）若，则恒成立，（在和上，），得；（ⅲ）若，由得，或.--------------------------------------------13分综上所述，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数12\n的单调递增区间为和；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为和.---------------------------------------------------------------------------14分12
