北京市西城区2022学年度第一学期期末试卷(高三数学文科)含答案_word版

北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）2012.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．复数i(1i)（）（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i2．若向量a(3,1)，b(0,2)，则与ab2共线的向量可以是（）（A）(3,1)（B）(1,3)（C）(3,1)（D）(1,3)3.下列函数中，既是偶函数又在(0,)单调递增的函数是（）1|x|（A）y（B）yex2（C）yx3（D）yxcos224．“直线l的方程为xy0”是“直线l平分圆xy1的周长”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件5．一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是（）．．．主视图左视图（A）（B）（C）（D）1\n6．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）（A）3（B）6（C）10（D）157．已知ab0，给出下列四个不等式：22ab1332①ab；②22；③abab；④ab2ab．其中一定成立的不等式为（）（A）①、②、③（B）①、②、④（C）①、③、④（D）②、③、④8．有限集合P中元素的个数记作card()P.已知card(M)10，AM，BM，AB，且card()A2，card()3B.若集合X满足XM，且AX，BX，则集合X的个数是（）（A）672（B）640（C）384（D）352第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．函数fx()logx的定义域是______.22\n22xy10．双曲线1的一个焦点到其渐近线的距离是______．169311．若曲线yxax在原点处的切线方程是20xy，则实数a______．12．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b5，B，4tanC2，则c______．13．已知{}a是公比为2的等比数列，若aa6，则a；n311111______．222aaa12nx2,14．设0，不等式组xy0,所表示的平面区域是W．给出下列三个结论：xy20①当1时，W的面积为3；②0，使W是直角三角形区域；y③设点Pxy(,),对于PW有x4．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）2π已知函数fx()3sinxsincosxx，x[,π].22π（Ⅰ）求f()的值；3（Ⅱ）求fx()的最大值和最小值.3\n16.（本小题满分13分）某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：等级12345频率0.05m0.150.35n（Ⅰ）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m,n；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率.17．（本小题满分14分）如图，正三棱柱ABCABC的侧棱长和底面边长均为2，D是BC的中点．111（Ⅰ）求证：AD平面BBCC；11（Ⅱ）求证：AB∥平面ADC；11（Ⅲ）求三棱锥CADB的体积．1118.（本小题满分13分）12已知函数fx()axlnx，其中aR.2（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若f(x)在(0,1]上的最大值是1，求a的值.19.（本小题满分14分）22xy1已知椭圆C:1(ab0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为.22ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过点F的直线交椭圆C于MN,两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点4\nPy(0,)，求y的取值范围.0020.（本小题满分13分）已知数列Aaa:,,,a.如果数列Bbb:,,,b满足ba，baab，nn12nn121nkk11kk其中kn2,3,,，则称B为A的“衍生数列”.nn（Ⅰ）写出数列A:2,1,4,5的“衍生数列”B；44（Ⅱ）若n为偶数，且A的“衍生数列”是B，证明：ba；nnn1（Ⅲ）若n为奇数，且A的“衍生数列”是B，B的“衍生数列”是C，….依次将数列A，B，C，…的首项nnnnnnn取出，构成数列:,,,abc.111证明：是等差数列.北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2012.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C；2.D；3.B；4.A；5.D；6.C；7.A；8.A.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.{|xx1}；10.3；11.2；1n12.22；13.2，(14)；14.①、③.3注：13题第一问2分，第二问3分；14题多选、少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）2π22π2π2π3333（Ⅰ）解：f()3sinsincos.………………4分33334425\n31π3（Ⅱ）解：fx()（1cos2x）sin2xsin(2x).………………8分2232ππ2π5π因为x[,π]，所以2x[,].………………9分2333π2ππ当2x，即x时，f(x)的最大值为3；………………11分332π3π11π3当2x，即x时，f(x)的最小值为1.………………13分3212216.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由频率分布表得0.05mn0.150.35，1即mn0.45.………………2分由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，2得n0.1.………………4分20所以m0.450.10.35.………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，等级为3的零件有3个，记作xxx,,；等级为5的零件有2个，123记作yy,.12从xxxyy,,,,中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：12312(,),(,),(,),(,xx12xx13xy11xy12),(,),(,),(,xx23xy21xy22),(,),(,xy31xy32),(,yy12)共计10种.………………9分记事件A为“从零件xxxyy,,,,中任取2件，其等级相等”.12312则A包含的基本事件为(,),(,),(,),(,xxxxxxyy)共4个.………………11分121323124故所求概率为PA()0.4.………………13分1017.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为ABCABC是正三棱柱，111所以CC平面ABC.1又AD平面ABC，所以CCAD.………………3分1因为△ABC是正三角形，D是BC的中点，6\n所以BCAD，………………4分所以AD平面BBCC.………………5分11（Ⅱ）证明：连结AC，交AC于点O，连结OD.11由ABCABC是正三棱柱，111得四边形ACCA为矩形，O为AC的中点.111又D为BC中点，所以OD为△ABC中位线，1所以AB∥OD，………………8分1因为OD平面ADC，AB平面ADC，111所以AB∥平面ADC.………………10分11（Ⅲ）解：因为VV，………………12分C1ADB1AB1DC1123所以VSAD.………………14分C1ADB133ΔBDC1118.（本小题满分13分）2ax1（Ⅰ）解：fx(),x(0,).………………3分x当a0时，fx()0，从而函数f(x)在(0,)上单调递增.………………4分11当a0时，令fx()0，解得x，舍去x.………………5分aa此时，fx()与fx()的情况如下：111x(0,)(,)aaafx()01fx()↗f()↘a11所以，fx()的单调增区间是(0,)；单调减区间是(,).…………7分aaa（Ⅱ）①当a0时，由（Ⅰ）得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f(1).2a令1，得a2，这与a0矛盾，舍去a2.………………9分21a②当10a时，1，由（Ⅰ）得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f(1).a2a令1，得a2，这与10a矛盾，舍去a2.………………10分211③当a1时，01，由（Ⅰ）得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f().aa7\n1令f()1，解得ae，适合a1.………………12分a综上，当f(x)在(0,1]上的最大值是1时，ae.………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距是c.依题意，得c1.………………1分1因为椭圆C的离心率为，2222所以ac22，bac3.………………3分22xy故椭圆C的方程为1.………………4分43（Ⅱ）解：当MNx轴时，显然y0.………………5分0当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为ykx(1)(k0).ykx(1),2222由消去y整理得(34k)x8kx4(k3)0.223xy412,………………7分设Mxy(,),(,Nxy)，线段MN的中点为Qxy(,).11223328k则xx.………………8分12234k2xx4k3k12所以x，ykx(1).32332234k34k23k14k线段MN的垂直平分线方程为y(x).2234kk34kk1在上述方程中令x0，得y.………………10分02334k4kk33当k0时，4k43；当k0时，4k43.kk33所以y0，或0y.………………12分00121233综上，y的取值范围是[,].………………13分0121220.（本小题满分13分）8\n（Ⅰ）解：B:5,2,7,2.………………3分4（Ⅱ）证明：因为ba，1nbbaa，1212bbaa，2323……bbaa，n11nnnn由于n为偶数，将上述n个等式中的第2,4,6,,n这个式子都乘以1，相加得2b(bb)(bb)(bb)a(aa)(aa)(aa)即ba，11223n1nn1223n1nn1ba.………………8分n1（Ⅲ）证明：对于数列A及其“衍生数列”B，nn因为ba，1nbbaa，1212bbaa，2323……bbaa，n11nnnn1由于n为奇数，将上述n个等式中的第2,4,6,,n1这个式子都乘以1，2相加得b(bb)(bb)(bb)a(aa)(aa)(aa)即11223n1nn1223n1nbaaa2aa.nn11nn设数列B的“衍生数列”为C，nn因为ba，cb2aa，1n11nn所以2bac，即abc,,成等差数列.………………12分111111同理可证，bcdcde,,;,,,也成等差数列.111111从而是等差数列.………………13分9\n北京市通州区2012届高三上学期期末摸底考试数学（文科）试卷2012年1月本试卷分第I卷和第II卷两部分，第I卷第1至2页，第II卷2至4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确答案选项的标号填涂在答题卡上．1．已知集合Axx|10，B|0x≤x2，那么AB等于A．xx1B．xx2C．|0xx≤1D．xx|121i2．复数等于1iA．1B．iC．1D．i3．已知向量a1,2，bm,4，且ab//，那么2ab等于A．4,0B．0,4C．4,8D．4,84．已知数列{a}是等差数列，且aa1，a11，那么数列{a}的前5项的和Sn125n5等于A．22B．25C．30D．355．已知ab,R，那么“logablog”是“ab”的1122A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．如右图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为（其中21.414，31.732，精确到0.1）A．70.7mB．78.7mC．86.6mD．90.6m227．过圆xy125上一点M3,1的切线方程是A．2xy70B．2xy50C．xy210D．xy25028．当x3,4时，不等式logxx230恒成立，则实数a的取值范围是a11A．0,B．,1C．1,2D．2,2210\n第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡相应的位置上.1311511179．观察下列式子：1，1，1，…，根据以上式子可以猜想：2222222223323441111_________________.22223201210．如图，已知图中的三个直角三角形是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积等于________________.开始n=1，x=1n=n+1n≤x=2x+1是否输出x结束（第10题图）（第11题图）11．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值是______________.xy≥3,12．已知不等式组xy≥1,那么zx2y的最小值是________________.x3≤0,1213．已知双曲线的一个焦点与抛物线xy的焦点相同，且双曲线的离心率是2，8那么双曲线的渐近线方程是___________________.14．下面四个命题：xx,≥0,①已知函数fx且faf44，那么a4；xx,0,②一组数据18，21，19，a，22的平均数是20，那么这组数据的方差是2；③要得到函数yxsin2的图象，只要将yxsin2的图象向左平移单位；33④已知奇函数fx()在(0,)为增函数，且f(1)0，则不等式fx()0的解集xx1.其中正确的是__________________.11\n三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题写出文字说明,演算步骤或证明过程.215．（本小题共13分）已知函数fxsin2x2cosx1.（Ⅰ）求函数fx的最小正周期和最大值；3（Ⅱ）求函数fx在区间,上的最大值和最小值.4416．（本小题共13分）如图，四边形ABCD是矩形，BC平面ABE，F是CE上一点，BF平面ACE，点M，N分别是CE，DE的中点.（Ⅰ）求证：MN//平面ABE；（Ⅱ）求证：AEBE.17．（本小题共13分）已知甲袋中有1只白球，2只红球；乙袋中有2只白球，2只红球，现从两袋中各取一球.（Ⅰ）两球颜色相同的概率；（Ⅱ）至少有一个白球的概率.18．（本小题共13分）已知函数fxaxln.x（Ⅰ）若曲线yfx在点1,f1处的切线与直线xy10平行，求a的值；（Ⅱ）求fx的单调区间.19．（本小题共14分）已知数列a中，aa，a2，S是数列a的前n项和，且23Snaa，nN.n12nnnn1（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求数列a的通项公式；n2n1,（Ⅲ）若bn8Tn是数列bn的前n项和，求Tn.n≥2,aann1222xy320．（本小题共14分）已知椭圆C：221(ab0)的焦点分别是F1，F2，点M1,在椭圆上，且ab2MFMF4.12（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；22xy（Ⅱ）若直线l：ykxtk0,t0与椭圆C：1交于A，B两点，点P满足APBP0，22ab3点Q的坐标是0,，设直线PQ的斜率是k，且kk2，求实数t的取值范围.11212\n(考生务必将答案答在答题卡上,在实体卷上作答无效)13\n摸底考试文科参考答案2012、1一、选择题1．C2．B3C4．B5．A6．A7．B8．B二、填空题40239．10．1011．1512．3201213．yx314．②三、解答题215．解：（Ⅰ）因为fxsin2x2cosx1，所以fxsin2xcos2x2sin2x.………………………..3分42所以.…………………………..5分2又因为1sin2x1，4所以22fx.所以函数fx的最小正周期是；最大值是2.……………………..7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知fx2sin2x.43因为x，4437所以2x.4443所以当2x，即x时，函数fx有最大值是1；44435当2x，即x时，函数fx有最小值是2.4283所以函数fx在区间,上的最大值是1，最小值是2.………………..13分4416．（Ⅰ）证明：∵点M，N分别是CE，DE的中点，∴MN是CDE的中位线.∴MNCD//.∵四边形ABCD是矩形，∴CDAB//.14\n∴MN//AB.∵AB平面ABE，MN平面ABE，∴MN//平面ABE.………………………..6分（Ⅱ）证明：∵BF平面ACE，AE平面ACE，∴BFAE.∵BC平面ABE，AE平面ACE，∴BCAE.∵BFBCB，BF平面BCE，BC平面BCE，∴AE平面BCE.∴AEBE.………………..13分17．解：设甲袋中1只白球记为a，2只红球记为bb,；乙袋中2只白球记为aa,，2只红球记为bb,.1122334所以“从两袋中各取一球”包含基本事件aa,，aa,，ab,，ab,，ba,，ba,，bb,，12131314121313bb14,，ba22,，ba23,，bb23,，bb24,共有12种.………………..4分（Ⅰ）设A表示“从两袋中各取一球，两球颜色相同”，所以事件B包含基本事件aa,，aa,，bb,，bb,，bb,，bb,共有6种.12131314232461所以PA.………………………..8分122（Ⅱ）设B表示“从两袋中各取一球，至少有一个白球”，所以事件A包含基本事件aa,，aa,，ab,，ab,，ba,，ba,，ba,，ba,共有12131314121322238种.82所以PB.……………………..13分12318．解：（Ⅰ）因为fxaxlnx，1所以fxa.x因为曲线yfx在点1,f1处的切线与直线xy10平行，所以切线的斜率k1.所以f11，即a11.所以a2.…………………..4分15\n11ax（Ⅱ）因为函数fx的定义域是0,，且fxa，xx……………………..6分①当a0时，fx0，所以fx在0,上是减函数.……………………..8分1②当a0时，令fx0，x.a11所以当a0,时，fx0，fx在0,上是减函数；aa………………..10分11当a,时，fx0，fx在,上是增函数.aa…………………..12分所以当a0时，fx的递减区间是0,；11当a0时，fx的递减区间是0,，fx的递增区间是,.aa……………..13分19．解：（Ⅰ）因为23Snaa，Saa，nn111所以a0.…………..3分nanna1n1（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S，所以S.nn122na1n1nan所以aSS.n11nn22所以n1.anann1ann1所以当n2时，.an1nanan1a2n1n3所以，，，，an1an2a1nn12an1所以n.a2所以an21，n2.n因为aa0满足上式，116\n所以an21，nN.……………..8分n8211（Ⅲ）当n2时，b2.……………..10分n2n2n1nn1nn1又b2，1所以Tbbbnn121111222………………..12分23nn1112221n31nn131n所以T.…………..14分nn1223xy20．解：（Ⅰ）因为点M1,在椭圆C：2210ab上，且MF12MF4，2ab13所以1，2a4.22ab422所以a4，b1.2x2所以椭圆C的标准方程是y1.…………………………..3分4ykxt,222（Ⅱ）联立方程组x2消去y，得14kx8ktx4t10.2y1,42222所以64kt1614kt10，…………………………..4分22即14kt.①…………………………..5分8kt设Axy,,Bxy,，所以xx.…………………………..6分112212214k因为APBP0所以点P是AB的中点，设Pxy,，PP4kt1所以x，ykxt.…………………………..8分p2pP214k14k3因为点Q的坐标是0,，直线PQ的斜率是k，1217\n3ytk2P22314所以k.……………………..10分1x8ktP因为kk2，122tk314所以k2.8kt2所以14kt6.②…………………………..12分2所以由①，②式，可得6.tt所以0t6.所以实数t的取值范围是0t6.…………………………..14分海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数i(12i)E（A）2i（B）2i（C）2i（D）2iDC（2）如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么EF=F11111111AB（A）AB+AD（B）AB-AD（C）AB+AD（D）AB-AD2222222222（3）已知数列{}a满足：a1,a0,aa1(nN*)，那么使a5成立的n的最大值为（）n11nnnn（A）4（B）5（C）24（D）25（4）某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的i值为开始（A）5（B）6i=1,s=0（C）7（D）8i-1s=s+2ii=i+1[21世纪教育网]是s≤100否输出i（5）已知直线l：kxy10与直线l：kxy10，那么“kk”是“l∥1122121结束l”的2（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件18\n（6）函数fx()Asin(2x)(,AR)的部分图象如图所示，那么f(0)13（A）（B）1[来源:Z*xx*k.Com]（C）（D）322（7）已知函数fx()xx2x，则下列结论正确的是（A）fx()是偶函数，递增区间是0,（B）fx()是偶函数，递减区间是(,1)（C）fx()是奇函数，递减区间是1,1（D）fx()是奇函数，递增区间是,022（8）点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离.已知点A(1,0)，圆C：x20xy，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是（A）双曲线的一支（B）椭圆（C）抛物线（D）射线二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分，把答案填在题中横线上.22xy（9）双曲线1的离心率为.4521（10）已知抛物线yax过点A(,1)，那么点A到此抛物线的焦点的距离为.4xy40,（11）若实数xy,满足2xy50,则zx2y的最大值为.y10,（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_____________，气温波动较大的城市是____________.甲城市乙城市90877312472204722（13）已知圆C：(xy1)8，过点A(1,0)的直线l将圆C分成弧长之比为1:2的两段圆弧，则直线l的方程为.（14）已知正三棱柱ABCABC'''的正（主）视图和侧（左）视图如图所示.设ABC,ABC'''的中心分别是OO,'，现将此三棱柱绕直线OO'3旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度（x可以取到任意一个实数），对应4正（主）视图侧（左）视图的俯视图的面积为Sx()，则函数Sx()的最大值为；最小正周19\n期为.说明：“三棱柱绕直线OO'旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.3（15）（本小题满分13分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AB2，sinB.3（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若b2，求边ac,的长.(16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.P（17）（本小题满分13分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，ACBDO.D（Ⅰ）若ACPD，求证：AC平面PBD；OAC（Ⅱ）若平面PAC平面ABCD，求证：PBPD；BPM（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD，若存在，求的PC值；若不存在，说明理由.(18)（本小题满分13分）20\nx2已知函数fx()e(xaxa)，其中a是常数.（Ⅰ）当a1时，求fx()在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）求fx()在区间[0,)上的最小值.（19）（本小题满分13分）22xy1已知椭圆C:1(ab0)的右焦点为F(1,0)，离心率为.221ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程及左顶点P的坐标；36（Ⅱ）设过点F的直线交椭圆C于AB,两点，若PAB的面积为，求直线AB的方程.1131（20）（本小题满分14分）若集合A具有以下性质：①0A，1A；②若x,yA，则xyA，且x0时，A.x则称集合A是“好集”.（Ⅰ）分别判断集合B{1,0,1}，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合A是“好集”，求证：若x,yA，则xyA；（Ⅲ）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由.y命题p：若x,yA，则必有xyA；命题q：若x,yA，且x0，则必有A；x21\n参考答案及评分标准2012．01一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案BDCACBCD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.35（9）（10）（11）7（12）乙，乙（13）yx1或yx1（14）248；3注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）23解：（Ⅰ）因为AB2，所以cosAcos2B12sinB.因为sinB，所以311cosA12.3326（Ⅱ）由题意可知，B(0,).所以cosBB1sin.所以2322sinAsin2B2sincosBB.3ba2a46因为，b2，所以.所以a.sinBAsin3223331由cosA可知，A(0,).过点C作CDAB于D.所以32466110cacosBbcosA.23333(16)（本小题满分13分）解：基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲”.（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A，事件A包含的基本事件211PA有“甲乙丙，乙甲丙”，则63.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为3.（Ⅱ）设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B，事件B包含的基本事件1/67\n42有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”，则PB.21世纪教育网所以甲、乙两支队伍出场顺632序相邻的概率为.3(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形所以ACBD.因为ACPD，PDBDD，所以AC平面PBD.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知ACBD.因为平面PAC平面ABCD，平面PAC平面ABCDAC，BD平面ABCD，所以BD平面PAC.因为PO平面PAC，所以BDPO.因为底面ABCD是菱形，P所以BODO.所以PBPD.（Ⅲ）解：不存在.下面用反证法说明.网假设存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD.在菱形ABCD中，BC∥AD，[来源:21世纪教育网]MDOAC因为AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC∥平面PAD.B因为BM平面PBC，BC平面PBC，BCBMB，所以平面PBC∥平面PAD.而平面PBC与平面PAD相交，矛盾.x2x2(18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由fx()e(xaxa)可得fx'()e[x(a2)]x.当a1时,f(1)e,f'(1)4e.所以曲线yfx()在点(1,(1))f处的切线方程为yxe4e1，即yx4e3e.x2（Ⅱ）令fx'()e[x(a2)]0x，解得xa(2)或x0.当(a2)0，即a2时，在区间[0,)上，fx'()0，所以fx()是[0,)上的增函数.所以fx()的最小值为f(0)＝a;当(a2)0，即a2时,fxfx'(),随x的变化情况如下表x21世纪教育网0(0,(a2))[来源:21世纪教育网](a2)((a2),)00fx'()↘↗fx()f(0)fa((2))a4由上表可知函数fx()的最小值为fa((2)).21世纪教育网a2e2/67\nc1222（19）解：（Ⅰ）由题意可知：c1，，所以a2.所以bac3.所以椭圆Ca222xy的标准方程为1，左顶点P的坐标是(2,0).4322xy1,（Ⅱ）根据题意可设直线AB的方程为xmy1，Axy(,),(,11Bxy22).由43可得：xmy122(3m4)y6my90.226m9所以36mm36(34)0，yy，yy.12212234m34m所以PAB的面积112SPFyy3(yy)4yy121212122236mm236181().22223m43m43m4236m122t2因为PAB的面积为，所以.令tm1，则(t1).22133m4133t1131解得t（舍），t2.所以m3.126所以直线AB的方程为xy+310或xy310.（20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）集合B不是“好集”.理由是：假设集合B是“好集”.因为1B，1B，所以112B.这与2B矛盾.有理数集Q是“好集”.因为0Q，1Q,1对任意的xy,Q，有xyQ，且x0时，Q.所以有理数集Q是“好集”.x（Ⅱ）因为集合A是“好集”，21世纪教育网所以0A.若xy,A，则0yA，即yA.所以x(y)A，即xyA.（Ⅲ）命题p,q均为真命题.理由如下：对任意一个“好集”A，任取xy,A，若x,y中有0或1时，显然xyA.3/67\n11111下设x,y均不为0，1.由定义可知：x1,,A.所以A，即A.所x1xxx1xx(1)以xx(1)A.22由（Ⅱ）可得：xx(1)xA，即xA.同理可得yA.若xy0或xy1，则显然2()xyA.22221若xy0且xy1，则()xyA.所以2xy(xy)xyA.所以A.[来源:212xy世纪教育网]111由（Ⅱ）可得：A.所以xyA.综上可知，xyA，即命题p为真命题.若xy2xy2xy1y1xy,A，且x0，则A.所以yA，即命题q为真命题.xxx丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习2012.01高三数学（文科）第一部分（选择题共40分）4/67\n一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={x∣x<4}，B={x∣x2<4}，则(A)AB(B)BA(C)ARB(D)BRA1+i2．在复平面内，复数i对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限1x23．已知命题p：xR，x，命题q：xR，x0，则pqpq(A)命题是假命题(B)命题是真命题pq()pq()(C)命题是假命题(D)命题是真命题nPP(1k)(k1)4．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是n0，其中Pn为预测人口数，P0为初期人口数，k为预测年内增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期有-1<k<0，那么这期间人口数(A)呈上升趋势(B)呈下降趋势开始(C)摆动变化(D)不变5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是k=1，S=012(C)1(D)2(A)3(B)3S=S+2k1k=k+2正视图侧视图否2k≥50是2输出S俯视图6．执行如右图所示的程序框图，输出的S值为结束(A)650(B)1250(C)1352(D)50001fx()log(x)a2(1,2)7．若函数x在区间内有零点，则实数a的取值范围是555(log,1)(1,)(0,log)(1,log)2(B)22(A)2(C)2(D)25/67\n8．如图，P是正方体ABCD—A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是D1C1yyAB11PCDOxOxAB(A)(B)yyOxOx(C)(D)第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．过点(-1,3)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为．logxx,(0),fx()21xfa()2,(x0).210．已知函数若，则a=．[8,10)11．某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示，则数据在区间上的频数是．a2b2()aba12．若向量a，b满足，，，则向量a与b的夹角等于___．13．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S1，2S2，3S3成等差数列，则公比q等于．14．函数fx()的导函数为fx'()，若对于定义域内任意x1，x2()xx12，有fx()fx()xx1212f'()恒成立，则称fx()为恒均变函数．给出下列函数：①fx()=2x3；xx21221x②fx()x2x3；③fx()=；④fxe()=；⑤fx()=lnx．其中为恒均变函数的序号是．（写x出所有满足条件的函数序号）6/67\n三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）2x已知函数fx()2cos3sinx．2（Ⅰ）求函数fx()的最小正周期和值域；1cos2（Ⅱ）若为第二象限角，且f()，求的值．331tan16.（本小题共14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC，M，N分别是CC1，AB的中点．（Ⅰ）求证：CN⊥AB1；C1B1（Ⅱ）求证：CN//平面AB1M．A1MCBNA17.（本小题共13分）为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查.已知甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班.（Ⅰ）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；（Ⅱ）若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率.7/67\n18.（本小题共13分）xy340在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线相切．（Ⅰ）求圆O的方程；ykx3（Ⅱ）直线l：与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形OAMB为菱形，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．19.（本小题共14分）bf(x)2axlnx已知函数x．1xf(x)（Ⅰ）若函数在x1，2处取得极值，求a，b的值；f(1)2f(x)(0,)（Ⅱ）若，函数在上是单调函数，求a的取值范围．20.（本小题共13分）fx(){}anafann=(1)nN*且n2）．函数的定义域为R，数列满足（{}aaafa()fa()ka(a)nN*（Ⅰ）若数列n是等差数列，12，且nn11nn(k为非零常数，且n2)，求k的值；8/67\n*（Ⅱ）若fx()kxk(1)，a12，bnnlnan(N)，数列{}bn的前n项和为Sn，对于给定的S(mn1)S正整数m，如果mn的值与n无关，求k的值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习2012．01高三数学（文科）答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。题号12345678答案BADBCBDA二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。xy2709．10．1或211．30112．413．314．①②注：第10，14题只写出一个答案给2分。三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.（本小题共13分）2xfx()2cos3sinx已知函数2．fx()（Ⅰ）求函数的最小正周期和值域；1cos2f()（Ⅱ）若为第二象限角，且33，求1tan的值．fx()1cosx3sinx解：（Ⅰ）因为……………………1分12cos(x)3，……………………3分fx()[1,3]所以函数的周期为2，值域为．……………………5分9/67\n1f()（Ⅱ）因为33，1112cos=cos所以3，即3．……………………6分22cos2cossin1tancossin因为cos……………………8分cos(cossin)2coscossin，……………………10分22sin因为为第二象限角，所以3．……………………11分cos2122122所以1tan999．……………………13分16.（本小题共14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC，M，N分别是CC1，AB的中点．（Ⅰ）求证：CN⊥AB1；C1B1（Ⅱ）求证：CN//平面AB1M．证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥底面ABC，A1所以BB1⊥平面ABC，所以BB1⊥CN．…………………1分M因为AC=BC，N是AB的中点，所以CN⊥AB．……………………3分因为AB∩BB1=B，……………………4分CB所以CN⊥平面ABB1A1．……………………5分N所以CN⊥AB1．……………………6分A（Ⅱ）（方法一）连结A1B交AB1于P．……………………7分C1B1因为三棱柱ABC-A1B1C1，所以P是A1B的中点．A1因为M，N分别是CC1，AB的中点，M所以NP//CM，且NP=CM，……………………9分P所以四边形MCNP是平行四边形，……………………10分所以CN//MP．……………………11分CB因为CN平面AB1M，MP平面AB1M，………………12分N所以CN//平面AB1M．……………………14分AC1B1（方法二）取BB1中点P，连结NP，CP．……………………7分因为N，P分别是AB，BB1的中点，A1所以NP//AB1．MP10/67CBNA\n因为NP平面AB1M，AB1平面AB1M，所以NP//平面AB1M．……………………10分同理CP//平面AB1M．……………………11分因为CP∩NP=P，所以平面CNP//平面AB1M．……………………13分因为CN平面CNP，所以CN//平面AB1M．……………………14分17.（本小题共13分）为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查．已知甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班．（Ⅰ）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；（Ⅱ）若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率.解：（Ⅰ）由已知可知在甲、乙、丙三所中学共有教学班的比是12:6:18=2:1:3，……………………1分216=26=1所以甲学校抽取教学班数为6个，乙学校抽取教学班数为6个，丙学校抽取教学班数36=3为6个，……………………4分所以分别抽取的教学班个数为2，1，3.……………………5分AAB（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从甲、乙、丙三所中学分别抽取2，1，3个教学班，不妨分别记为1，2，1，CCC(,AA)(,AB)(,AC)1，2，3，则从6个教学班中随机抽取2个教学班的基本事件为：12，11，11，(,AC)(,AC)(AB,)(AC,)(AC,)(AC,)(,BC)(,BC)(,BC)(,CC)12，13，21，21，22，23，11，12，13，12，(,CC)(CC,)13，23共15个.……………………7分设“从6个教学班中随机抽取2个教学班，至少有1个来自甲学校”为事件D，…………8分(,AA)(,AB)(,AC)(,AC)(,AC)(AB,)(AC,)则事件D包含的基本事件为：12，11，11，12，13，21，21，(AC,)(AC,)22，23共9个.……………………10分93PD()所以155.……………………12分3所以从抽取的6个教学班中随机抽取2个，且这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率为5.……………………13分18.（本小题共13分）11/67\nxy340在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线相切．（Ⅰ）求圆O的方程；ykx3（Ⅱ）直线l：与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形OAMB为菱形，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．xy340解：（Ⅰ）设圆O的半径为r，因为直线与圆O相切，|0304|r2所以13．……………………3分22xy4所以圆O的方程为．……………………5分ykx3（Ⅱ）（方法一）因为直线l：与圆O相交于A，B两点，|3|55dOl2kk2所以1k，解得2或2．……………………7分假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，……………………8分则OM与AB互相垂直且平分，……………………9分1d|OM|1所以原点O到直线l：ykx3的距离为2．……………………10分|3|d1Ol22所以1k，解得k8，……………………11分即k22，经验证满足条件．……………………12分所以存在点M，使得四边形OAMB为菱形．……………………13分Cxy(,)（方法二）记OM与AB交于点00．1yx因为直线l斜率为k，显然k0，所以OM直线方程为k．……………………7分3kxykx30k21yx1y366k02M(22,)k，解得k1，所以点M坐标为kk11，………………9分12/67\n6k262()()4222因为点M在圆上，所以k1k1，解得k8，……………………11分即k22，经验证满足条件．……………………12分所以存在点M，使得四边形OAMB为菱形．……………………13分19.（本小题共14分）bf(x)2axlnx已知函数x．1xf(x)（Ⅰ）若函数在x1，2处取得极值，求a，b的值；f(1)2f(x)(0,)（Ⅱ）若，函数在上是单调函数，求a的取值范围．b1fx()2a2解：（Ⅰ）xx，……………………2分f(1)01f()0由2，……………………4分1a3b13可得．……………………6分f(x)(0,)（Ⅱ）函数的定义域是，……………………7分f(1)2因为，所以b2a1．……………………8分22axx(2a1)(x1)[2ax(2a1)]fx()22所以xx，……………………9分f(x)(0,)fx()≥0fx()≤0(0,)要使在上是单调函数，只要或在上恒成立．……………………10分x1fx()0x2f(x)(0,)当a0时，恒成立，所以在上是单调函数；………………11分13/67\n2a11x11fx()0x12当a0时，令，得1，2a2a，f(x)(0,)此时在上不是单调函数；……………………12分10a≤当a0时，要使f(x)在(0,)上是单调函数，只要12a≥0，即2．…………13分1a[0,]综上所述，a的取值范围是2．……………………14分20.（本小题共13分）fx(){}anafann=(1)nN*且n2）．函数的定义域为R，数列满足（{}aaafa()fa()ka(a)nN*且（Ⅰ）若数列n成等差，12，且nn11nn(k为非零常数，n2)，求k的值；*（Ⅱ）若fx()kxk(1)，a12，bnnlnan(N)，数列{}bn的前n项和为Sn，对于给定的S(mn1)S正整数m，如果mn的值与n无关，求k的值．解：（Ⅰ）当n2时，afa()fa()fa()ka(a)因为nn1，nn11nn，aafa()fa()ka(a)所以n1nnn1nn1．{}aaaaa因为数列n是等差数列，所以n11nnn．因为an11anka()nan，所以k1．……………………6分（Ⅱ）因为fx()kxk(1)，a12，且ann1fa()，aka所以nn1．{}a所以数列n是首项为2，公比为k的等比数列，n1ak2所以n．blnaln2(n1)lnk所以nn．14/67\nbblnk因为nn1，{}b所以n是首项为ln2，公差为lnk的等差数列．()bbn(n1)1nnk[ln2ln]S所以n22．[(mn1)1](m1){ln2nln}kS(mn1)2(m1)[(m1)lnnk2ln2ln]kS(mn1)mmn[lnk2ln2ln]kmnmn[ln2ln]k因为2，S(mn1)S又因为mn的值是一个与n无关的量，2ln2lnkk2ln2lnmnlnk(m1)lnnk所以，解得k4．……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学文科15/67\n第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合Axx0，B0,1,2，则（A）AB（B）BA（C）ABB（D）AB1（2）复数1在复平面上对应的点的坐标是i（A）(1,1)（B）(1,1)（C）(1,1)（D）(1,1)（3）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为33aa（A）（B）a2633aaaa（C）（D）正（主）视图侧（左）视图1218（4）下列命题中正确的是（A）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行（B）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直俯视图（C）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面（D）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面xx（5）设x0，且1ba，则（A）01ba（B）01ab（C）1ba（D）1ab222（6）在平面直角坐标系内，若曲线C：xy2ax4ay5a40上所有的点均在第二象限内，则实数a的取值范围为（A）,2（B）,1（C）1,（D）2,（7）函数fx()sin(x)（其中）的图象如图所示，为了得到gx()sinx的图象，2则只要将fx()的图象（A）向右平移个单位长度（B）向右平移个612单位长度（C）向左平移个单位长度（D）向左平移个单位长度612（8）在平面直角坐标系xOy中，已知向量OA与OB关于y轴对称，向量a(1,0)，则满足不等2式OAaAB0的点A(x,y)的集合用阴影表示为16/67--2\n第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知向量a=(3,-2),b(3mm1,4)，若ab，则m的值为．(10)已知sin2cos，则tan2的值为．3x,x0,5（11）已知函数f(x)则f()的值为．f(x1),x0,6（12）在等差数列a中，若aa4，aa2，则数列a的公差等于；其前n项n5768n和S的最大值为．n(13)对于函数fx(）lgx21，有如下三个命题：①f(x2)是偶函数；②f(x)在区间(,2)上是减函数，在区间2,上是增函数；③f(x2)f(x)在区间2,上是增函数．其中正确命题的序号是．（将你认为正确的命题序号都填上）(14)在平面内，已知直线l∥l，点A是l,l之间的定点，点A到l，l的距离分别为3和2，121212点B是l上的一个动点，若ACAB，且AC与l交于点C，则△ABC面积的最小值为____．21三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sinBBcos1．5（Ⅰ）若A，b1，求c；12（Ⅱ）若a2c，求A．17/67\n（16）（本小题共13分）在等差数列a中，a3，其前n项和为S，等比数列b的各项均n1nnS2为正数，b1，公比为q，且bS12，q．122b21（Ⅰ）求a与b；（Ⅱ）设数列c满足c，求c的前n项和T．nnnnnnSn（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，E是PC中点，F为线段AC上一点.P（Ⅰ）求证：BDEF；（Ⅱ）试确定点F在线段AC上的位置，使EF//平面PBD，并说明理由.EADFBC1322（18）（本小题共13分）已知函数f(x）xmx3mx1(m0).3（Ⅰ）若m1，求曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程；（Ⅱ）若函数f(x)在区间(2mm1,1)上单调递增，求实数m的取值范围．22xy（19）（本小题共13分）已知椭圆10ab的左、右焦点分别为F，F，点M0,22212ab是椭圆的一个顶点，△FMF是等腰直角三角形．12（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k，k，且121kk8，证明：直线AB过定点（,2）．12218/67\n（20）(本小题共14分)已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f(x)M，①方程f(x)x0有实数根；②函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1．xsinx（Ⅰ）判断函数f(x)是否是集合M中的元素，并说明理由；24（Ⅱ）集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意m,nD，都存在xm,n，使得等式f(n)f(m)(nm)f(x)成立．试用这一性质证明：方程00f(x)x0有且只有一个实数根.东城区2011-2012学年度第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B（2）D（3）A（4）D（5）C（6）D（7）A（8）B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）41（9）1（10）（11）（12）357（13）①②（14）326注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）19/67\n1（15）（共13分）解：（Ⅰ）由已知3sinBcosB1，整理得sin(B)．因为0B，6255所以B.故B，解得B.由A，且ABC，得C.666663124cbc16由，即，解得c.sinCsinB3sinsin4322222221（Ⅱ）因为bac2accosB，又a2c，B,所以b4cc4c，解得32222b3c.由此得abc，故△ABC为直角三角形，A．2b2S212,q6d12，（16）（共13分）解：（Ⅰ）设an的公差为d，因为qS2,所以q6d．b2qn1解得q3或q4（舍），d3．故a33(n1)3n，b3．nnn(33n)12211（Ⅱ）因为S，所以c()．nn2Sn(33n)3nn1n211111212n故T(1)()()(1)．n3223nn13n13(n1)（17）（共14分）证明（Ⅰ）因为PA平面ABCD，所以PABD．又四边形ABCD是正方形，所以ACBD，PAACA，所以BD平面PAC,又EF平面PAC,所以BDEF.P3（Ⅱ）：设AC与BD交于O，当F为OC中点，即AFAC时，EF∥平面PBD．4理由如下：连接PO，因为EF//平面PBD，EF平面PAC，平面PAC平面PBDEPO，所以EF∥PO．在△POC中,E为PC的中点，所以F为OC中点．AD在△POC中,E，F分别为PC，OC的中点，所以EF∥PO．OFB又EF平面PBD,PO平面PBD,故EF//平面PBD.C13285（18）（共13分）解：（Ⅰ）当m1时，f(x）xx3x1，f(2）461.33325f'(x）x2x3，f'(2）4435．所以所求切线方程为y5(x2)即320/67\n15x3y250．22（Ⅱ）f'(x）x2mx3m.令f'(x）0，得x3m或xm.由于m0，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x3mm(,3m)(3m,m)(m,)+0—0+f'(x)单调增极大值单调减极小值单调增f(x)所以函数f(x)的单调递增区间是(,3)m和(,m).要使f(x)在区间(2mm1,1)上单调递增，1应有m1≤3m或2m1≥m，解得m≤或m≥1．又m0且mm121，4所以1≤m2．即实数m的取值范围m1m2．222xy2（19）（共13分）解：（Ⅰ）由已知可得b2,a2b8，所求椭圆方程为1．84（Ⅱ）若直线AB的斜率存在，设AB方程为ykxm，依题意m2．设A(x,y)，B(x,y)，112222xy21,2224km2m8由84得12kx4kmx2m80．则x1x222,xx12．ykxm,12kk12yy22kxm22kxmxx121212由已知8，所以8，即2km28．xxxxxx121212mk111所以k4，整理得mk2．故直线AB的方程为ykxk2，即yk（x）m22222．1所以直线AB过定点（,2）．若直线AB的斜率不存在，设AB方程为xx，02yy221100设Axy(,)，Bx(,y)，由已知8，得x．此时AB方程为x，00000xx22001显然过点（,2）．21综上，直线AB过定点（,2）．221/67\n（20）（共14分）解：（Ⅰ）因为①当x0时，f(0)0，所以方程f(x)x0有实数根0；1113xsinx②f(x)cosx，所以f(x),，满足条件0f(x)1；由①②，函数f(x)244424是集合M中的元素.（Ⅱ）假设方程f(x)x0存在两个实数根,(），则f(α)α0,f(β)β0.不妨设，根据题意存在c(,)，满足f(β)f(α)(βα)f(c).因为f()，f()，且，所以f(c)1.与已知0f(x)1矛盾.又f(x)x0有实数根，所以方程f(x)x0有且只有一个实数根.北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类）2012.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合M{|xx3},N{|logxx1}，则MN等于（）21A．B．{x|x3}2C．{x|0x3}D．{|2xx3}2.已知平面向量a(3,1)，b(,3)x，且a⊥b，则实数x的值为（）22/67\nA．9B．1C．1D．92x(x0)3.函数y的图象大致是（）x21(x0)4.设数列an是公差不为0的等差数列，a11且aaa1,,36成等比数列，则an的前n项和Sn等于（）222nn7nn7nn32A．B．C．D．nn8844245.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1B．1C．2D．0x26.函数fx()2a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是（）xA．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)7.已知函数fx()sinx3cosx，设af()，bf()，cf()，则abc,,的大小关763系是（）A.abcB.cabC.bacD.bca28.已知集合A{(,)|xyxny,nabn,Z},B{(,)|xyxm,ym312,mZ}.若存在实数ab,使得AB成立,称点(,)ab为“￡”点，则“￡”点在平面区域22C{(,)|xyxy108}内的个数是()A.0B.1C.2D.无数个第二部分（非选择题共110分）23/67\n二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.x1,9.若变量x，y满足约束条件yx,则z2xy的最大值为.2xy36,10.已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间[60,70)上的汽车大约有辆.频率组距004003002001O4050607080时速（km/h）11.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体3积是.22主视图2侧视图2俯视图2212.设直线xmy10与圆(xy1)(2)4相交于A，B两点，且弦AB的长为23，则实数m的值是.13.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y（万元）与2机器运转时间x（年数，xN）的关系为yx18x25.则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是万元.14.已知两个正数ab,,可按规则cabab扩充为一个新数c,在abc,,三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若ab1,3,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；mn（2）若pq0，经过6次操作后扩充所得的数为(qp1)(1)1（mn,为正整数），则mn,的值分别为______________.24/67\n三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本题满分13分）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足3a2sinbA0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b7，c2，求ABAC的值．16.（本题满分14分）如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD平面ABCD．四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点．（Ⅰ）求证：CD平面SAD；S（Ⅱ）求证：PQ//平面SCD；（Ⅲ）若SASD，M为BC中点，在棱SC上是否存在点N，Q使得平面DMN⊥平面ABCD，并证明你的结论.CDP·M17.（本题满分13分）AB如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每5个家庭派一位儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，得分记为A23(,)ab（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次32活动）．5（Ⅰ）请列出一个家庭得分(,)ab的所有情况；（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的总得分为参与游戏的两人所得分数之和，且总得分为偶数的家庭可以获得一份奖品．请问一个家庭获奖的概率为多少？18.（本题满分13分）2ax设函数fx()alnx2,xaR.2（Ⅰ）当a1时,试求函数fx()在区间[1,e]上的最大值;（Ⅱ）当a0时,试求函数fx()的单调区间.19.（本题满分13分）22xy13已知椭圆C:1(ab0)的离心率为，且过点P(1,)，F为其右焦点.22ab22（Ⅰ）求椭圆C的方程；25/67\n（Ⅱ）设过点A(4,0)的直线l与椭圆相交于M、N两点（点M在AN,两点之间），若△AMF与△MFN的面积相等，试求直线l的方程.20.（本题满分14分）数列{}a，{}b（n1,2,3,）由下列条件确定：①ab0,0；②当k2时，a与bnn11kkababk1k1k1k1满足：当ab0时，aa,b；当ab0时，a，k1k1kk1kk1k1k22bb.kk1（Ⅰ）若a1，b1，求a，a，a，并猜想数列{a}的通项公式（不需要证明）；11234n（Ⅱ）在数列{b}中，若bbb(s3,且sN*)，试用a,b表示b，k{1,2,,s}；n12s11k2m122（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列{c}(nN*)满足c，c0，ccc(其n1nn1nn2mam中m为给定的不小于2的整数)，求证：当nm时，恒有c1.n北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（文史类）答案2012.1一、选择题：题（（（（（（（（号1）2）3）4）5）6）7）8）答DBBADCBA案二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）183答案8033582558,1353注：若有两空，则第一个空3分，第二个空2分.三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由3a2sinbA0，根据正弦定理得：26/67\n3sinA2sinsinBA0.………………………………………………………3分3因为sinA0，所以sinB.………………………………………………5分2又B为锐角，则B.…………………………………………………6分3（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，B．因为b7，c2，32根据余弦定理，得7aa44cos，……………………………………8分32整理，得aa230．由于a0，得a3．……………………………10分222bca7497于是cosA，………………………………11分2bc47147所以ABACABACcosAcbcosA271．……………13分14（16）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD为正方形，则CDAD.…………………1分又平面SAD平面ABCD，且面SAD面ABCDAD，所以CD平面SAD.………………………………………………………3分（Ⅱ）取SC的中点R，连QR,DR．S1由题意知：PD∥BC且PD=BC．…………………4分R(N)2Q在SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，C1D所以QR∥BC且QR=BC．PO·2M所以QR∥PD且QR=PD，AB则四边形PDRQ为平行四边形.…………………………………………………7分所以PQ∥DR.又PQ平面SCD，DR平面SCD，所以PQ∥平面SCD．……………………………………………………………10分（Ⅲ）存在点N为SC中点，使得平面DMN平面ABCD．………………11分连接PCDM、交于点O，连接PM、SP，因为PDCM//，并且PDCM，所以四边形PMCD为平行四边形，所以POCO.又因为N为SC中点，所以NOSP//．………………………………………………………………………12分因为平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCD=AD，并且SPAD，27/67\n所以SP平面ABCD，所以NO平面ABCD，……………………………………………………13分又因为NO平面DMN，所以平面DMN平面ABCD．……………………………………………………14分（17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，一个家庭的得分情况共有9种，分别为(2,2),(2,3),(2,5),(3,2)，(3,3),(3,5),(5,3),(5,2),(5,5)．…………………………………………………………7分（Ⅱ）记事件A：一个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分情况包括(2,2)，(3,3),(3,5),(5,3),(5,5)共5种，……………………………………………11分5所以PA()．95所以一个家庭获奖的概率为．…………………………………………………13分9（18）（本小题满分13分）解:（Ⅰ）函数fx()的定义域为(0,).………………………………………………1分22x1(x1)当a1时,fx()lnx2x，因为fx()x20，…3分2xx所以函数fx()在区间[1,e]上单调递增，则当x=e时,函数fx()取得最大值2ef(e)12e.…………………………………………………………………5分22ax2xa（Ⅱ）fx().………………………………………………………6分x当a0时,因为fx()20，所以函数fx()在区间(0,)上单调递减；…7分2当a0时，⑴当44a0时，即a1时，fx()0，所以函数fx()在区间(0,)上单调递增；…………………………………………………………9分2⑵当44a0时，即01a时，由fx()0解得，2211a11a0x，或x.…………………………………………10分aa2211aa11由fx()0解得x；………………………………11分aa211a所以当01a时，函数fx()在区间(0,)上单调递增；在a28/67\n22211aa1111a(,)上单调递减，(,)单调递增.………13分aaa（19）（本小题满分13分）c1解：（Ⅰ）因为，所以ac2，bc3.…………………………………1分a222xy313设椭圆方程为1，又点P(1,)在椭圆上,所以1，222243cc244cc2解得c1，…………………………………………………………………………3分22xy所以椭圆方程为1.…………………………………………………………4分43（Ⅱ）易知直线l的斜率存在,设l的方程为ykx(4)，……………………………………………………………5分ykx(4),由xy22消去y整理，得1,432222(34)kx32kx64k120，………………………………………………6分2222由题意知(32)k4(34)(64kk12)0，11解得k.……………………………………………………………………7分222232k64k12设Mxy(,)11，Nxy(,22)，则xx122，①，xx122.…②.34k34k因为△AMF与△MFN的面积相等，所以AMMN，所以24xx.③……………………………………10分122416k由①③消去x2得x12.④34k264k12将xx2124代入②得xx11(24)2.⑤34k222416k416k64k12将④代入⑤(24)，22234k34k34k29/67\n25整理化简得36k5，解得k，经检验成立.…………………………12分65所以直线l的方程为yx(4).…………………………………………13分6（20）（本小题满分14分）ab11（Ⅰ）解：因为ab0，所以aa1,b0.……1分112122ab122因为ab10,则a,bb0.………………2分2233222aba1333a.……………………………………………………3分42222nn22111猜想当n2时，aa1.n2n22221,n1,则an1…………………………………………………………4分,n2.n22（Ⅱ）解：当2ks时，假设ab0，根据已知条件则有bb，kk11kk1与bbb矛盾，因此ab0不成立，……………………5分12skk11所以有ab0，从而有aa，所以aa.……………………6分kk11kk1k1abk1k1当ab0时，aa，b,k1k1kk1k2ab1kk11所以baa()ba;…………………………8分kkk1k1k1221当2ks时，总有ba()ba成立.kkk11k2又ba0，111所以{ba}(k1,2,,s)是首项为ba，公比为的等比数列，……9分kk11230/67\nk11bkak(b1a1)，ks1,2,,,2k11又因为aka1，所以bk(b1a1)a1.…………………………10分22m22（Ⅲ）证明：由题意得cccn1nnmam12cc.nnm1212因为ccc，所以ccc0.n1nnn1nnmm所以数列{}c是单调递增数列.………………………………………………11分n因此要证c1(nm)，只须证c1.nm121111由m2，则ccc<ccc，即.…12分n1nnnn1nmmccmnn111111111因此()()()ccccccccmmm1m1m2211m1m12.mmm所以c1.mm1故当nm,恒有c1.………………………………………………………14分n31/67\n北京房山区2011-2012学年度第一学期期末统测试题高三数学(文科)考1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分,考试时间为生120分钟．须2.第Ⅰ卷选择题所有答案必须填涂在机读卡上，第Ⅱ卷非选择题直接在试卷上作答．知3.考试结束后，将机读卡和试卷一并交回．第I卷选择题(共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.）1．已知集合M0,1,2,3,4,1,3,5,则MN()A.1,2,3B.1,3,5C.1,3D.1,522．若xR，则“x1”，则“x1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件32/67\n3.等差数列{a}中，a2，则S等于()n47A.7B.14C.28D.3.54.已知a,bR，且ab，则下列不等式中成立的是（）a22A．1B.abbabC.lgalgbD.33x2,5．平面上满足约束条件xy0,的点(,)xy形成的区域为D，则区域D的面积为（）xy60A．1B．2C．3D．46.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）213343A．3aB.aC.aD.a33主左视a视图图DC俯a视图ABa117.设向量a(0,1),b(,)，则下列结论中不正确的是（）222A．bB.a,b24C.ab与b平行D.ab与b垂直8.△ABC中,A=,BC=3,则△ABC的周长为()3A.43sin(B)3B.43sin(B)336C.6sin(B)3D.6sin(B)33633/67\n第II卷非选择题(共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题纸上指定位置.12i9.若复数的实部为a，虚部为b，则ab=.1i10.某高校中文、数学、英语、体育四个专业分别有400、300、150、150名学生，为了了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取n名学生进行调查，其中中文学生抽取了16名，则体育专业抽取的学生人数为人.2211.已知圆C:(x2)(y1)1，则经过圆C的圆心，且焦点在x轴上的抛物线标准方程是.12.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是.开始是？否输出i结束x1,x013.已知函数f(x)2，若fx()2，则x.logx,x02*14.设函数f(x)axb，其中a,b为常数，f(x)f(x)，f(x)f(f(x))，nN，若1n1nf(x)8x21，则ab，f(x).3n三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15．（本小题共13分）34/67\n2设函数f(x)3sin2x2cosx2．（I）求f(x)的最小正周期和值域；（II）求f(x)的单调递增区间.16.（本小题共13分）编号为AA,,,A的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：1216运动员编号AAAAAAAA12345678得分1535212825361834运动员编号A[来源:学|科|网Z|X|X|K]AAAAAAA910111213141516得分[来源:学#科#网Z#X#X#K]1726253322123138[来源:学科网ZXXK]（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间10,2020,3030,40人数（Ⅱ）从得分在区间20,30内的运动员中随机抽取2人，用运动员的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2人得分之和大于50分的概率．35/67\n17.（本小题共13分）在几何体ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F是BC的中点，AB=AC=BE=2，2CD=1.E（I）求证：DC∥平面ABE；（II）求证：AF⊥平面BCDE；D（III）求几何体ABCDE的体积．FCBA36/67\n18.（本小题共14分）332已知函数f(x)xaxa，aR.2（I）若曲线yf(x)在点（4,f(4)）处切线的斜率为12，求a的值；（II）若x[0,1]，求函数f(x)的最小值.37/67\n19.（本小题共14分）22xy2已知椭圆G:1(ab0)的离心率为e=,椭圆G上的点N到两焦点的距离之和为12,22ab3点A、B分别是椭圆G长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴的上方，PAPF．(I)求椭圆G的方程；(II)求点P的坐标；(III)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．38/67\n20．（本小题共13分）*已知数列a中，a2，且满足aa1，nN．n1n1n（I）求数列a的通项公式；n（II）设b4nn(1)12(an为非零整数，nN*），试确定的值，使得对任意nN*，都n有bb成立．n1n房山区2012年高三统练参考答案(数学文科)39/67\n才1[C]6[B]单2[A]7[C]选3[B]8[D]题4[D]5[A]二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9.____1___.10._6____.2111.yx212._63_____.13.-1或4.nn14.6，2x323.三、解答题：本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．40/6715.（本小题共13分）2解：（I）f(x)=3sin2xx2cos2\n16．（本小题共13分）41/67解：（I）区间10,2020,3030,40人数466......................4分\n17.（本小题共13分）42/67证明：(I)∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC∴DC//EB，又∵DC平面ABE，EB平面ABE，∴DC∥平面ABE………………..4分(II)∵DC⊥平面ABC，AF平面ABC\n18．（本小题共14分）43/67解:（I）f(x)的定义域为R…………1分3322∵f(x)xaxa∴f(x)3x3ax2，…………2分yf(x)a32f(x)3x3axf(x)3x(xa)0x0xa12f(x)0f(x)f(x)f(x)0f(x)f(x)0f(x)f(x)f(x)0f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)\n19．（本小题共14分）44/67解：（I）∵椭圆G上的点M到两焦点的距离之和为12，∴2a12,a6……………1分c2∵e=，∴c4……………2分a3\n20．（本小题共13分）45/67*解：（I）∵aa1，nNn1n*∴aa1，nN……………2分nn1∴数列a是以2为首项，1为公差的等差数列……………4分n\n46/67