北京市西城区（北区）2022－2022学年下学期高一期末考试数学试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟一、本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.在数列中，，且，则等于（）（A）8（B）6（C）9（D）72.将一根长为3m的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1m的概率是（）（A）（B）（C）（D）3.在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）不能确定4.若，则下列不等式中成立的是（）（A）（B）（C）（D）5.若实数x，y满足则的最小值是（）（A）（B）0（C）1（D）－16.执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）（A）210\n（B）（C）3（D）7.已知100件产品中有5件次品，从中任意取出3件产品，设A表示事件“3件产品全不是次品”，B表示事件“3件产品全是次品”，C表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是（）（A）B与C互斥（B）A与C互斥（C）任意两个事件均互斥（D）任意两个事件均不互斥8.口袋中装有三个编号分别为1，2，3的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次。则“两次取球中有3号球”的概率为（）（A）（B）（C）（D）9.设O为坐标原点，点A（4，3），B是x正半轴上一点，则△OAB中的最大值为（）（A）（B）（C）（D）10.对于项数为m的数列和，记bk为中的最小值。给出下列判断：①若数列的前5项是5，5，3，3，1，则；②若数列是递减数列，则数列也一定是递减数列；③数列可能是先减后增数列；④若，C为常数，则。其中，正确判断的序号是（）（A）①③（B）②④（C）②③（D）②二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。11.不等式的解集为________________。12.在△ABC中，，则a=___________。13.某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表。已知在全年级学生中随机抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2。则x=_____；现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为____________。10\n一班二班三班女生人数20xy男生人数2020z14.甲、乙两人各参加了5次测试，将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图。已知甲、乙二人得分的平均数相等，则m=________；乙得分的方差等于____。15.设是等差数列，Sn为其前n项的和。若，则_______；当Sn取得最小值时，n=__________。16.当x∈[1，9]时，不等式恒成立，则k的取值范围是_________。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分13分）在等比数列中，。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设是等差数列，且b2=a2，b4=a4。求数列的公差，并计算的值。18.（本小题满分13分）某市某年一个月中30天对空气质量指数的监测数据如下：61767056819155917581886710110357917786818382826479868575714945（Ⅰ）完成下面的频率分布表；（Ⅱ）完成下面的频率分布直方图，并写出频率分布直方图中a的值；（Ⅲ）在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，求这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101，111）内的概率。分组频数频率[41，51）210\n[51，61）3[61，71）4[71，81）6[81，91）[91，101）[101，111）219.（本小题满分13分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知c=3，。（Ⅰ）若sinB=2sinA，求a，b的值；（Ⅱ）求a2+b2的最大值。20.（本小题满分14分）已知函数。（Ⅰ）当a=1时，求在区间[－1，2]上的值域；（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求a的取值范围；（Ⅲ）解关于x的不等式。21.（本小题满分14分）设数列的前n项和为Sn，且。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列。（i）求数列的前n项和Tn；（ii）求bn的最大值。10\n22.（本小题满分13分）对于数列A：a1，a2，a3（ai∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中，且。这种“T变换”记作B=T（A），继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：cl，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束。（Ⅰ）写出数列A：2，6，4经过5次“T变换”后得到的数列；（Ⅱ）若a1，a2，a3不全相等，判断数列A：a1，a2，a3经过不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；（Ⅲ）设数列A：400，2，403经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值。10\n【试题答案】一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。1.D2.B3.C4.C5.A6.D7.B8.A9.B10.B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，11.12.13.24914.6，8.415.－11，616.注：一题两空的试题，第一空2分，第二空3分：三、解答题：本大题共3小题，共36分，17.解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由已知，…………2分两式相除，得q=2。…………4分所以a1=2，…………6分所以数列的通项公式。…………7分（Ⅱ）设等差数列的公差为d，则………………9分解得………………11分………………12分…………13分18.解：（Ⅰ）如下图所示。……………………4分（Ⅱ）如下图所示。………………6分由己知，空气质量指数在区间[71，81）的频率为，所以a=0.02。……8分分组频数频率………[81，91）10[91，101）3………10\n（Ⅲ）设A表示事件“在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101，111）内”，由己知，质量指数在区间[91，101）内的有3天，记这三天分别为a，b，c，质量指数在区间[101，111）内的有2天，记这两天分别为d，e，则选取的所有可能结果为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）。基本事件数为10。………………10分事件“至少有一天空气质量指数在区间[101，111）内”的可能结果为：（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）。基本事件数为7，………………12分所以………………13分19.解：（Ⅰ）因为sinB=2sinA，由正弦定理可得b=2a，………………3分由余弦定理c2=a2+b2－2abcosC，………………5分得9=a2+4a2－2a2，………………7分解得a2=3，………………8分所以………………9分（Ⅱ）由余弦定理c2=a2+b2－2abcosC，得ab=a2+b2－9，………………10分又a2+b2≥2ab，………………11分所以a2+b2≤18，当且仅当a=b时，等号成立。………………12分所以a2+b2的最大值为18。………………13分20.解：（Ⅰ）当a=l时，，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增10\n所以，在区间上的最小值为…………2分又。所以在区间上的最大值为…………………3分在区间上的值域为…………………4分（Ⅱ）当a=0时，，在区间上是减函数，符合题意……5分当时，若函数在区间上是减函数，则，且，……………………7分所以－1≤a<0，……………………9分所以a的取值范围是[－1，0]（Ⅲ）由已知，解不等式。当a=0时，x>－1。……………………10分当a>0时，，解得………………11分当a<0时，，若，即时，；………………12分若，即时，或………………13分若，即时，或………………14分综上，当a>0时，不等式的解集为;当a=0时，不等式的解集为；当－1<a<0时，不等式的解集为;当a=－1时，不等式的解集为当a<－1时，不等式的解集为21.解：（Ⅰ）由已知，当n=1时，。………………1分当时，………………2分10\n………………3分综上，………………4分（Ⅱ）（i）所以………………5分……6分两式相减，得…8分所以………………10分（ii）因为……11分令，得………………12分所以，且，即最大，………………13分又。所以，的最大值为………………14分22.解：（Ⅰ）依题意，5次变换后得到的数列依次为4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2…………3分所以，数列A：2，6，4经过5次“T变换”后得到的数列为2，0，2，……4分（Ⅱ）数列A经过不断的“T变换”不可能结束设数列D：d1，d2，d3，E：e1，e2，e3，F：O，0，0，且T（D）=E，T（E）=F依题意，所以即非零常数列才能通过“T变换”结束。…………①…………6分设（e为非零自然数）。10\n为变换得到数列E的前两项，数列D只有四种可能而任何一种可能中，数列E的笫三项是O或2e。即不存在数列D，使得其经过“T变换”成为非零常数列。……②……8分由①②得，数列A经过不断的“T变换”不可能结束。（Ⅲ）数列A经过一次“T变换”后得到数列B：398，401，3，其结构为a，a+3，3。数列B经过6次“T变换”得到的数列分别为：3，a，a－3；a－3，3，a－6：a－6，a－9，3;3，a－12，a－9;a－15，3，a－12;a－18，a－15，3。所以，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“a，a+3，3”的数列，变化的是，除了3之外的两项均减小18。……10分因为398=18×22+2，所以，数列B经过6×22=132次“T变换”后得到的数列为2，5，3。接下来经过“T变换”后得到的数列分别为：3，2，1；1，1，2；0，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1;1，0，1，……。至此，数列和的最小值为2，以后数列循环出现，数列各项和不会更小。……12分所以经过1+132+3=136次“T变换”得到的数列各项和达到最小，即k的最小值为136。………………13分10
