北京市西城区（南区）2022-2022学年下学期高一期末质量检测数学试卷本试卷满分100分，考试时间120分钟。一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。1.与角－70°终边相同的角是A.70°B.110°C.250°D.290°2.sin43°cos17°＋cos43°sin17°的值为A.B.C.D.3.已知向量a＝，b＝，若向量a和b方向相同，则实数x的值是A.－2B.2C.0D.4.函数的单调递增区间是A. B.C. D.5.若直线过点（1，1），（2，），则此直线的倾斜角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°6.在等差数列中，，则的值为A.5B.6C.8D.107.如图所示，M是△ABC的边AB的中点，若，则＝A.B.C.D.8.与直线关于直线对称的直线的方程是A.B.C.D.7\n9.设为等比数列的前n项和，已知，则公比q等于A.3B.4C.5D.610.已知直线过点A（1，2），且原点到这条直线的距离为1，则这条直线的方程是A.和B.和C.和D.和11.设满足约束条件，则的最大值为A.－8B.3C.5D.712.点是函数图象上的点，已知点Q（2，0），O为坐标原点，则的取值范围为A.B.C.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。把答案填在题中横线上。13.如果，且为第四象限角，那么的值是__________。14.在△ABC中，若150°，则△ABC的面积为__________。15.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则的值是__________。16.＝__________。17.已知点到直线的距离为1，则__________。18.定义运算符号：“”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n记作，记，其中为数列中的第i项。①若，则＝__________；②若，则＝__________。7\n三、解答题：本大题共5小题，共46分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19.（9分）已知向量。（Ⅰ）当时，求向量a与b的夹角的余弦值；（Ⅱ）当时，求｜b｜。20.（9分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为，且。（Ⅰ）当A＝30°时，求a的值；（Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求的值。21.（9分）已知直线。（Ⅰ）求过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程；（Ⅱ）过原点O有一条直线，它夹在与两条直线之间的线段恰被点O平分，求这条直线的方程。22.（10分）已知函数。（Ⅰ）求的最小正周期和值域；（Ⅱ）若为的一个零点，求的值。23.（9分）已知等差数列中，公差，其前n项和为，且满足，。（Ⅰ）求数列的通项公式及其前n项和；（Ⅱ）令，若数列满足。求数列的通项公式；（Ⅲ）求的最小值。7\n7\n【试题答案】一、选择题（每小题3分，共36分）二、填空题（每小题3分，共18分）13.；14.1；15.；16.17.；18.280，三、解答题（共56分）19.（9分）（Ⅰ），，。∴向量a与向量b的夹角的余弦值为。4分（Ⅱ）依题意。。。。。。9分20.（9分）（Ⅰ）因为，所以。由正弦定理，可得。所以。（Ⅱ）因为△ABC的面积，所以。由余弦定理，得，即。所以，所以。7\n21.（Ⅰ）由得∵所求的直线垂直于直线，∴所求直线的斜率为，∴所求直线的方程为。4分（Ⅱ）如果所求直线斜率不存在，则此直线方程为，不合题意。所以设所求的直线方程为。所以它与的交点分别为。由题意，得。解得。所以所求的直线方程为。9分22.（Ⅰ），所以的最小正周期为。的值域为。（Ⅱ）由，得。又由，得。因为，所以，所以。此时，。10分23.（Ⅰ）因为数列是等差数列，所以。因为，所以解方程组得7\n所以所以。因为，所以。所以数列的通项公式，前n项和公式。4分（Ⅱ）因为，所以。因为数列满足，所以，，…，…，所以。因为，所以，所以。所以。6分（Ⅲ）因为，所以。因为，所以。所以，当且仅当，即时等号成立。所以当时，最小值为。9分7
