吉林省东北师范大学附属中学净月校区2022届高三数学上学期第二次模拟考试试题理一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合A＝，B＝，则AB＝（）A． B．C． D．2.已知数列满足，，则数列的前6项和为（）A．63 B．127 C． D．3.若，是第三象限的角，则( )A．B.C．D.4.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题不正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则5.已知正项数列中，，，，则等于（）A．B．4C．8D．166.已知两定点，，点P在椭圆上，且满足＝2，则为（）A．－12 B.12 C．一9 D．97.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（）A．B．C.D.13\n8.点为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点使为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B．C．D．9.已知抛物线的焦点F到双曲线C：渐近线的距离为，点是抛物线上的一动点，P到双曲线C的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（ ）A．B．C．D．10.已知是内的一点，且若和的面积分别为，则的最小值是（ ）A．20B．18C．16D．911.已知圆：，平面区域Ω：.若圆心，且圆与轴相切，则的最大值为（）A.B.C.D.12.已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（）（1）或；（2）且；（3）或；（4）且.A．3B．2C．1D．0二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分）13\n13.在边长为1的正三角形ABC中，设，则__________．14.若等比数列的各项均为正数，且，则________．15.利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥,其中底面四边形是边长为的正方形，，且平面,则球体毛坯体积的最小值应为．16.若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，有下列命题：①在内单调递增；②和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；③和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；·④和之间存在唯一的“隔离直线”.其中真命题的个数为（请填所有正确命题的序号）三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤）17.（本小题12分）在锐角中,分别为角所对的边，且.（Ⅰ）确定角的大小；（Ⅱ）若，且的面积为，求的值．18.（本小题12分）已知数列的前项和为,若(),且.（Ⅰ）求证：数列为等差数列；13\n（Ⅱ）设,数列的前项和为,证明:().19.（本小题12分）如图,已知四边形和均为直角梯形，∥，∥，且，平面⊥平面,（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.20．(本小题12分)已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，.经过点的直线与椭圆交于，两点.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线的倾斜角为时，求线段的长；（Ⅲ）记与的面积分别为和，求的最大值.21．（本小题12分）设函数．（Ⅰ）若函数在上为减函数，求实数的最小值；（Ⅱ）若存在，使成立，求实数的取值范围．ABCDEO请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，为的直径，为的中点，为的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：．23．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为13\n．（Ⅰ）求直线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点，求．24．(本小题10分)选修4－5：不等式选讲设函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若对一切实数均成立，求实数的取值范围．13\nACCDBDDDCBBA﹣；50；；①②④17.（本小题10分）在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A，B，C，所对的边，且(1)确定角C的大小；（2）若，且△ABC的面积为，求十b的值．17.（本题10分）解（1）由及正弦定理得，是锐角三角形，…………5分（2）解法1：由面积公式得由余弦定理得由②变形得解法2：前同解法1，联立①、②得消去b并整理得解得所以故…………10分13\n18.已知数列的前项和为,若(),且.(1)求证：数列为等差数列；（2)设,数列的前项和为,证明:().18.解(Ⅰ)由题设,则，.当时，,两式相减得,…………………2分方法一：由，得，且.则数列是常数列，即，也即……………………6分所以数列是首项为,公差为的等差数列………………………7分方法二：由，得，两式相减得,且…………………6分所以数列等差数列.…………………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,,…………………9分当时,成立；………………………………………………………10分当时,…………………12分所以13\n综上所述,命题得证.………………（理）19.如图,已知四边形和均为直角梯形，∥，∥，且，平面⊥平面,（Ⅰ）证明：AG平面BDE;（Ⅱ）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.19.如图,已知四边形和均为直角梯形，∥，∥，且，平面⊥平面,（Ⅰ）证明：AG平面BDE;（Ⅱ）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.【解析】由平面，平面,平面BCEG,.………2分根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得………….3分（Ⅰ）设平面BDE的法向量为，则即，，平面BDE的一个法向量为………………………………………………..5分，，，∴AG∥平面BDE.……………………………………………….7分（Ⅱ）设平面的法向量为，平面和平面所成锐二面角为……….8分因为,,由得，……….10分平面的一个法向量为，13\n.故平面和平面所成锐二面角的余弦值为……….12分20．(本小题满分12分)已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，.经过点的直线与椭圆交于，两点.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线的倾斜角为时，求线段的长；（Ⅲ）记与的面积分别为和，求的最大值.20．(本小题满分12分)解：（I）因为为椭圆的焦点,所以又所以所以椭圆方程为…………………………3分（Ⅱ）因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1,所以直线方程为,和椭圆方程联立得到,消掉,得到…………………………5分所以所以…………………………6分（Ⅲ）当直线无斜率时,直线方程为,此时,面积相等，…………7分当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,设13\n和椭圆方程联立得到,消掉得显然，方程有根，且………………8分此时………………………………10分因为,上式，（时等号成立）所以的最大值为………………………………12分另解：（Ⅲ）设直线的方程为：，则由得，．设，，则，．………………8分所以，，，……………………10分当时，．由，得．当时，从而，当时，取得最大值．…………………………12分13\n21．（本小题满分12分）设函数．（1）若函数在上为减函数，求实数的最小值；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．21.解：（1）由已知得x＞0，x≠1．在上恒成立．…1分所以当时，又，………2分故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．……………5分（2）命题“若存在，使成立”等价于“当时，有”．由（1），当时，，．问题等价于：“当时，有”．①当时，由（1），在上为减函数，则=，故．…………………7分②当<时，由于在上的值域为（ⅰ），即，在恒成立，故在上为增函数，于是，，矛盾．…………………9分（ⅱ），即，由的单调性和值域知，13\n存在唯一，使，且满足：当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，，……………………11分所以，，与矛盾．综上得……………………………………………………………12分ABCDEO请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC·BC＝2AD·CD．【证明】：（Ⅰ）连接OE，因为D为的中点，E为BC的中点，所以OED三点共线．……………………………2分因为E为BC的中点且O为AC的中点，所以OE∥AB，故DE∥AB.……………………………5分（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD＝∠DAC，又∠BAD＝∠DCBÞ∠DAC＝∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CEÞ△DAC∽△ECD．……………8分Þ＝ÞAD·CD＝AC·CEÞ2AD·CD＝AC·2CEÞ2AD·CD＝AC·BC．……………………………10分23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．13\n（Ⅰ）求直线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点，求．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）消去参数得直线的直角坐标方程：---------2分由代入得.（也可以是：或）---------------------5分（Ⅱ）得-----------------------------7分设，，则.---------10分（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分）24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数．（I）解不等式f(x)>0；（II）若f(x)+>m对一切实数均成立，求实数m的取值范围．24.解：（I）当x 时，f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0，得x>-5，所以x成立.当时，f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0，得x>1，所以1<x<4成立.当时，f(x)=-x-5>0，得x<-5，所以x<-5成立.综上，原不等式的解集为{x|x>1或x<-5}.…………5分(II)f(x)+=|2x+1|+2|x-4|.当，所以m<9.…………10分13
