沫若中学高二第一次月考数学（文理）试卷一．选择题（每小题5分，共计60分）1．已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( )A．2B．3 C．4 D．92．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )A．内切B．外离C．外切D．相交3.已知点P的轨迹为（）A．双曲线B．一条直线 C．双曲线的一支 D．两条射线4．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( )A．y2＝－4x B．x2＝4yC．y2＝4x或x2＝－4yD．y2＝－4x或x2＝4y5．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4D．(x－2)2＋(y＋3)2＝96．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝17、已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为A.B.C.D.8.已知椭圆，F1，F2为其焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为（）A．B．C． D．119．(2022·全国卷Ⅰ文)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )A．3B．12C．9D．610．若x∈R，有意义且满足x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为( )A．B．1C．D．311.过双曲线的右焦点F作垂直于轴的直线，交双曲线的渐近线于A,B两点，若（为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为()A．B．C．D．212.（文科）若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )A．2B．3C．6D．812．(理科)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F.短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A.B.C.D.二．填空题（每小题5分，共计20分）13．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为.14.圆内有一点，为经过点的直线与该圆截得的弦，则当弦被点平分时，直线的方程为____________________; 15．以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．16.已知抛物线的焦点为是抛物线上横坐标不相等的两点，若的垂直平分线与轴的交点是，则的最大值为_____________;11三．解答题（70分）17.（10分）（1）已知椭圆经过点，且长轴长是短轴长的3倍，求椭圆的标准方程；(2)已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为双曲线C的一条渐近线,求双曲线C的标准方程．18.（12分）已知圆C经过点A（1，3）和点B（5，1），且圆心C在直线上（1）求圆C的方程；（2）设直线l经过点D（0，3），且直线l与圆C相切，求直线l的方程。19.（12分）已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，双曲线C上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)经过点M(2，1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．20.（12分）已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点，若直线与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由. 1121.（12分）已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.（I）求的轨迹方程；（II）当时，求的方程及的面积22.（文科）（12分）已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|＝2，点(1，)在该椭圆上．(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为.求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．22.（理科）（12分）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线，直线与椭圆C交于P，Q两点，直线与直线交于T点．（i）求证：线段PQ的中点在直线OT上；（ii）求的取值范围．112022届高二上期第一次月考数学答案一．选择题：1.B2.D3.C4.D5.C6.A7.C8.B9.D10.A11.B12.C(A)二．填空题：13．－＝1 14．x－2y＋5＝015．或－116．6三．解答题17.（1）（2）18．解(1)19．解：(1)依题意，得双曲线C的实半轴长为a＝1，焦半距为c＝2，所以其虚半轴长b＝＝.又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减，得3(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.因为M(2，1)为AB的中点，所以11所以12(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，即kAB＝＝6.故AB所在直线l的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0.20.【解析】（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．依题意 解得 ∴椭圆方程为.[（2）假若存在这样的k值，由得．∴ ①设，、，，则 ②而．要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即 ∴ ③将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立.综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E.21.（I）圆C的方程可化为,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则，，,由题设知,故，即11由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以的斜率为,直线的方程为：又，到的距离为，，所以的面积为：.22.文科：解：(1)由题意知c＝1，2a＝＋＝4，a＝2，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)①当直线l⊥x轴时，可取A(－1，－)，B(－1，)，△AF2B的面积为3，不符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程得：(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，显然Δ＞0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝.可得|AB|＝，又圆F2的半径r＝，∴△AF2B的面积为|AB|r＝＝，化简得：17k4＋k2－18＝0，得k＝±1，∴r＝，圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.22.理科：【解析】（Ⅰ）由题意，………………1分11 解得,………………3分 所求椭圆的标准方程为；………………4分 （Ⅱ）解法一：（i）设， ，消去x，化简得． 设的中点，则 ，，……………6分 ，， 即，……………7分 ， 设，得T点坐标（）， ，所以，线段的中点在直线上．……9分（ii）当时，的中点为，． ．……………10分 当时，11 ， ．……………11分 令．则．令 则函数在上为增函数，……………13分 所以． 所以的取值范围是．……………14分解法二： （i）当直线斜率不存在时，的中点为，，符合题意．…分 当直线斜率存在时，若斜率为0，则垂直于x轴，与x=4不能相交，故斜率不为0 设，（） ，消去y，化简得． 11 设的中点，则 ，，……………6分 ，， 即，……………7分 ， 设，得T点坐标（），，所以， 线段的中点在直线上．……………9分 （ii）当直线斜率不存在时，的中点为，． ．……………10分 当直线斜率存在时， ，． ．……………11分11 令．则．令 则函数在上为增函数，……………13分 所以． 所以的取值范围是．……………14分11
