2022-2022学年度高二上半期考试数学试题(理科)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。2.本堂考试120分钟，满分150分。3．答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。4．考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。第Ⅰ卷（60分）一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）。1.设命题()A.B.C.D.2.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是（）A．B.C.D.3.是直线与直线相互垂直的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.过点,且圆心在直线上的圆的方程为（）A.B.C.D.5.已知曲线上的动点，向量和满足，则曲线的离心率是（）A.B.C.D.6.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（）A.B.C.D.-15-\n7.已知两定点,如果动点满足，则点的轨迹所表示的图形的面积等于（）A．B.C.D.8.已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过点的直线与相交于两点，且的中点为,则的方程为（）A.B.C.D.9.四棱柱中，与的交点为点，设，则下列与相等的向量是(）A．B．C．D．10.一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A.B.C.D.第10题图11.已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（）A.B.C.D.-15-\n12.已知点是椭圆上位于第一象限内的任一点，过点作圆的两条切线（点是切点），直线分别交轴、轴于点，则的面积(是坐标原点)的最小值是（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上的相应位置）.13.已知直线经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 .14.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值 .15.若函数没有零点，则实数的取值范围为 .16.已知由直线：为给定的正常数，为参数，）构成的集合为，给出下列命题：（1）当时，中直线的斜率为；（2）中的所有直线可覆盖整个坐标平面。（3）当时，存在某个定点，该定点到中的所有直线的距离均相等。（4）当时，中两条平行直线间的距离的最小值为。其中正确的命题是___________.三、解答题：(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)。17．（本小题满分10分）已知两直线，，当为何值时，与：（1）相交？（2）平行？（3）垂直？18.（本小题满分12分）若,命题设和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题是的充分不必要条件，求使且为真命题的的取值范围。19.（本小题满12分）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，为的中点．-15-\n（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．20.（本小题满12分）如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为，圆心在上．（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．21.（本小题满12分）已知抛物线，过点（其中）作互相垂直的两直线、，直线与抛物线相切于点（在第一象限内），直线与抛物线相交于两点．（1）求证：直线恒过定点；（2）记直线的斜率分别为，当取得最小值时，求点的坐标．22.（本小题满12分）已知，两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足．（1）求出动点的轨迹对应曲线的标准方程；（2）一条纵截距为的直线与曲线交于两点，若以为直径的圆恰过原点，求出直线的方程；（3）直线与曲线交于两点，，试问：当t变化时，是否存在一直线，使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．-15-\n成都外国语学校2022-2022学年度高二上半期考试数学试题(理科)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。2.本堂考试120分钟，满分150分。3．答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。4．考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。第Ⅰ卷（60分）一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）。1.设命题(C)A.B.C.D.2.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是（B）A．B.C.D.3.是直线与直线相互垂直的（B）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.过点,且圆心在直线上的圆的方程为（C）A.B.C.D.5.已知曲线上的动点，向量和满足，则曲线的离心率是（A）A.B.C.D.6.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（C）A.B.-15-\nC.D.7.已知两定点,如果动点满足，则点的轨迹所表示的图形的面积等于（B）A．B.C.D.8.已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过点的直线与相交于两点，且的中点为,则的方程为（B）A.B.C.D.9.四棱柱中，与的交点为点，设，则下列与相等的向量是(）A．B．C．D．10.一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（D）A.B.D.D.11.已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（B）-15-\nA.B.C.D.12.已知点是椭圆上位于第一象限内的任一点，过点作圆的两条切线（点是切点），直线分别交轴、轴于点，则的面积(是坐标原点)的最小值是（A）A.B.C.D.第Ⅱ卷（90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上的相应位置）.13.已知直线经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 ▲ .或14.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为.415.若函数没有零点，则实数的取值范围为 ▲.16.已知由直线：为给定的正常数，为参数，）构成的集合为，给出下列命题：（1）当时，中直线的斜率为；（2）中所有的直线可覆盖整个坐标平面。（3）当时，存在某个定点，该定点到中所有的直线的距离均相等。（4）当时，中两条平行直线间的距离的最小值为。其中正确的命题是___3,4________三、解答题：(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)。17．（本小题满分10分）已知两直线，，当为何值时，与：（1）相交？（2）平行？（3）垂直？-15-\n解：（1）即，化简得，解得。(3分)（2）由得。当时，重合，不符合题意。故。（3分）（3），得，解得。（4分）18.（本小题满分12分）若,命题设和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题是的充分不必要条件，求使且为真命题的的取值范围。解：是方程的两个实根，，，，。不等式对任意实数恒成立，成立即可。，计算得出，。（5分），，，是的充分不必要条件，，得，。（4分）且为真命题，。（3分）19.（本小题满12分）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，为的中点．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．（1）证明：因为且，所以，-15-\n又，满足，所以．因为，，，所以．（5分）（2）取中点，连，．在中，且，又，所以，在中，且，由(1)知，则，又因为，所以，即，在中，，，所以，所以，设点到平面的距离为，则由得，解得。（7分）19.（本小题满12分）如图，在平面直角坐标系中，点，直线，-15-\n设圆的半径为，圆心在上．（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．解：（1）由题设，圆心是直线和的交点，解得点，于是切线的斜率必存在．设过的圆的切线方程为由题意，得解得：故所求切线方程为（5分） （2）因为圆心在直线上，所以圆的方程为设点，因为，所以化简得即所以点在以为圆心，为半径的圆上．由题意，点在圆上，所以圆与圆有公共点，则即-15-\n整理，得由，得由，得所以点的横坐标的取值范围为．（7分）(理)21.（本小题满12分）已知抛物线，过点（其中）作互相垂直的两直线、，直线与抛物线相切于点（在第一象限内），直线与抛物线相交于两点．（1）求证：直线恒过定点；（2）记直线的斜率分别为，当取得最小值时，求点的坐标．（1）设直线的斜率为，则直线的方程为．由得．由直线与抛物线相切，得，解得，从而点坐标为．由，可设的方程为，整理，得，故直线恒过定点．（4分） （2）设，．由得，则，．而，-15-\n同理可得，所以故当时，有最小值为，此时．（8分）(文)21.（本小题满12分）已知抛物线的焦点为，点．（1）设是抛物线上的动点，求的最小值；（2）过点的直线与抛物线交于两点，若的面积为，求直线的方程．（1）设，所以，则所以当时，．（4分） （2）方法一：设直线，，，焦点，由消去得．由韦达定理可得所以的面积为-15-\n所以，所以直线的方程为．（8分）方法二：若直线的斜率不存在，则，，，所以的面积，不符合，所以直线的斜率必存在．设直线，，，焦点．由消去得．由韦达定理可得所以到的距离．所以的面积所以，所以直线的方程为．22.（本小题满12分）已知，两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足．（1）求出动点的轨迹对应曲线的标准方程；（2）一条纵截距为的直线与曲线交于两点，若以-15-\n为直径的圆恰过原点，求出直线的方程；（3）直线与曲线交于两点，，试问：当t变化时，是否存在一直线，使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．解：（1）因为．即，所以，，所以，，又因为，所以即：，即，所以椭圆的标准方程为． （2）直线斜率必存在，且纵截距为，设直线为，联立直线和椭圆方程得：，由，得设，则，，以为直径的圆恰过原点，所以，，即，也即，-15-\n即，将式代入，得，即，解得，满足（）式，所以． （3）由方程组得，设，，则，，所以因为直线过点，所以的面积令，则不成立．所以不存在直线满足题意．-15-
