绵阳市高中2022届高三第一次（11月）诊断性考试数学理试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）．第I卷.1至2页，第II卷2至4页．共4页．满分150分．考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．第I卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．第I卷共10小题．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．集合S={x｜｜x-4｜<2，xN＊｝，T＝｛4，7，8｝，则SUT＝(A){4} (B){3，5，7，8}(C){3，4,5，7，8} (D){3，4,4,5,7,8}2．命题“”的否定为(A) (B)(C) (D)3．己知幂函数过点（2，），则当x=8时的函数值是（A）2 （B）2 （C）2 （D）644.若R,己知P：成等比数列；Q:b=．则P是Q的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件5.下列四个函数中，最小正周期为，且关于直线x＝一对称的函数是（A） （B）（C） （D）6．在等差数列｛｝中，若a4＋a9＋al4＝36，则＝（A）3 （B）6 （C）12 （D）247．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是，若，则cosC＝（A） （B） （C）一 （D）一98．若实数x，y满足不等式组，且的最大值为3，则实数m=（A）一1（B）（C）l（D）29．设函数y＝f（x），xR满足f（x＋l）＝f（x一l），且当x（－1，1］时，f（x）＝1一x2，函数g（x）＝，则h（x）＝f（x）一g（x）在区间［－6，9］内的零点个数是（A）15 （B）14 （C）13．（D）1210．直角△ABC的三个顶点都在单位圆上，点M（，），则｜｜的最大值是（A）＋l （B）＋2 （C）＋1 （D）＋2第II卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0．5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0．5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷、草稿纸上无效．第II卷共11小题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，11、·函数的定义域为 12，式子的值是 ．13·已知函数其中a＞0，，若对任意的，恒有＞0，则实数a的取值范围 ．14.二次函数+2bx+c的导函数为，已知，且对任意实数x，有，则的最小值为 ．15．设集合M是实数集R的一个子集，如果点R满足：对任意＞0，都存在xM，使得0＜；，称x0为集合M的一个“聚点”．若有集合：9①有理数集； ②③ ④其中以0为“聚点”的集合是 ．（写出所有符合题意的结论序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知向量（1)若，求角的值；（2）若，求cos2的值．17、（本小题满分12分）已知数列{}的首项a1＝1，且an+1＝2an＋（1)试问数列{＋}是否为等比数列？若是，请求出数列{}的通项公式；若不是，请说，明理由；(2)当＝1时，记，求数列{}的前n项和Sn18．（本小题满分12分）某民营企业家去年为西部山区80名贫困大学生捐资奖学金共50万元妥该企业家计划从今年起（今年为第一年）10年内每年捐资总金额都比上一年增加10万元，资助的贫困大学生每年净增a人。·（l）当a＝10时，在计划时间内，每年的受捐贫困大学生人均获得的奖学金是否超过0.8万元？请说明理由．（2）为使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过多少人？19．（本小题满分12分）已知如图，在Rt△ABC中，∠A＝60°，AB＝6，点D、E是斜边AB上两点．（l）当点D是线段AB靠近A的一个三等分点时，求的值；（2）当点D、E在线段AB上运动时，且∠DCE＝30°，设∠ACD＝θ，试用θ表示△DCE的面积S，并求S的取值范围．920：（本小题满分13分）已知f（x）＝＋cx－1的导函数为，且不等式≥0的解集为｛x｜一2≤x≤1｝．（1）若函数f（x）的极小值为一11，求实数a的值；·（2）当x［－3，0］时，关于x的方程f（x）一ma＋1＝0有唯一实数解，求实数m的取值范围．21．（本小题满分14分）己知函数f（x）＝ln（x＋l）一x（x＞一l）·（1）求f（x）的单调区间；（2）若kZ，且f（x一1）＋x＞对任意x＞1恒成立，求k的最大值； （3）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得成立？请说明理由．9数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CDADDBACBC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．12．13．a≥214．215．①③三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：（1）∵m⊥n，∴m·n=(cosα，1-sinα)·(-cosα，sinα)=0，即-cos2α+sinα-sin2α=0．……………………………………………………3分由sin2α+cos2α=1，解得sinα=1，∴，k∈Z.…………………………………………………………6分（2）∵m-n=(2cosα，1-2sinα)，∴|m-n|=，………………………………………………………9分∴5-4sinα=3，即得，∴．……………………………………………………12分17．解：（1）由已知an+1=2an+λ，可得an+1+λ=2(an+λ)．∵a1=1，当a1+λ=0，即λ=-1时，an+λ=0，此时{an +λ}不是等比等列．…………3分当a1+λ≠0，即λ≠-1时，（常数）．此时，数列是以为首项，2为公比的等比数列，∴，于是．………………………6分（2）当λ=1时，an=2n-1，∴.……………………………………………………………………7分∴，两边同乘以，得9两式相减得，∴．…………………………………………………………12分18．解：（1）设第n年的受捐贫困生的人数为an，捐资总额为bn．则an=80+(n-1)a，bn=50+(n-1)×10=40+10n.……………………………2分∴当a=10时，an=10n+70，∴，解得：n>8．……………………………………………………………………5分即从第9年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元．…………6分（2）由题意：，即，………………………………………………8分整理得(5+n)[80+(n-1)a]-(4+n)(80+na)>0，即400+5na-5a+80n+n2a-na-320-4na-80n-n2a>0，化简得80-5a>0，解得a<16，……………………………………………………………………11分∴要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．……………………………………………12分19．解：（1）在Rt△ABC中，AC=ABcos60º=，.∵，∴=9+2×3×cos120º=6.…………………………………………………………………4分（2）在△ACD中，∠ADC=180º-∠A-∠DCA=120º-θ，由正弦定理可得，即.………………………………………5分在△AEC中，∠ACE=θ+30º，∠AEC=180º-60º-(θ+30º)=90º-θ，9由正弦定理可得：，即，…6分∴，…………………7分令f(θ)=sin(120º-θ)cosθ，0º≤θ≤60º，∵f(θ)=(sin120ºcosθ-cos120ºsinθ)cosθ，………………………………………………10分由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º，∴0≤sin(2θ+60º)≤1，∴≤f(θ)≤，∴≤≤，∴≤≤．……………………………………………12分20．解：（1），由题意得3ax2+bx+c≥0的解集为{x|-2≤x≤1}，∴a<0，且方程3ax2+bx+c=0的两根为-2，1．于是，，得b=3a，c=-6a.………………………………………………………………2分∵3ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>1}，∴f(x)在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数．∴当x=-2时f(x)取极小值，即-8a+2b-2c-1=-11，把b=3a，c=-6a代入得-8a+6a+12a-1=-11，解得a=-1.………………………………………………………………………5分（2）由方程f(x)-ma+1=0，可整理得，即．9∴．…………………………………………………………7分令，∴．列表如下：x(-∞，-2)-2(-2，1)1(1，+∞)+0-0+g(x)↗极大值↘极小值↗∴g(x)在[-3，-2]是增函数，在[-2，0]上是减函数．……………………11分又∵，g(-2)=10，g(0)=0，由题意，知直线y=m与曲线仅有一个交点，于是m=10或0<m<.………………………………………………………13分21．解：（1），∴当x∈(-1，0)时，，即f(x)在(-1，0)上是增函数，当x∈(0，+∞)时，，即f(x)在(0，+∞)上是减函数．∴f(x)的单调递增区间为(-1，0)，单调递减函数区间为(0，+∞)．………3分（2）由f(x-1)+x>k变形得，整理得xlnx+x-kx+3k>0，令g(x)=xlnx+x-kx+3k，则∵x>1，∴lnx>0若k≤2时，恒成立，即g(x)在(1，+∞)上递增，∴由g(1)>0即1+2k>0解得，∴又∵k∈Z，∴k的最大值为2．若k>2时，由lnx+2-k>0解得x>，由lnx+2-k<0，解得1<x<.即g(x)在(1，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增．∴g(x)在(1，+∞)上有最小值g()=3k-，于是转化为3k->0(k>2)恒成立，求k的最大值．令h(x)=3x-，于是．∵当x>2+ln3时，，h(x)单调递减，当x<2+ln3时，h(x9)单调递增．∴h(x)在x=2+ln3处取得最大值．∵1<ln3<2，∴3<2+ln3<4，∵，h(2+ln3)=3+3ln3>0，h(4)=12-e2>0，h(5)=15-e3<0，∴k≤4．∴k的最大取值为4．∴综上所述，k的最大值为4.…………………………………………………9分（3）假设存在这样的x0满足题意，则由等价于（*）．要找一个x0>0，使(*)式成立，只需找到当x>0时，函数h(x)=的最小值h(x)min满足h(x)min<0即可．∵，令=0，得ex=，则x=-lna，取x0=-lna，在0<x<x0时，<0，在x>x0时，>0，∴h(x)min=h(x0)=h(-lna)=，下面只需证明：在0</x<x0时，<0，在x></ln3<2，∴3<2+ln3<4，∵，h(2+ln3)=3+3ln3></x<.即g(x)在(1，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增．∴g(x)在(1，+∞)上有最小值g()=3k-，于是转化为3k-></m<.………………………………………………………13分21．解：（1），∴当x∈(-1，0)时，，即f(x)在(-1，0)上是增函数，当x∈(0，+∞)时，，即f(x)在(0，+∞)上是减函数．∴f(x)的单调递增区间为(-1，0)，单调递减函数区间为(0，+∞)．………3分（2）由f(x-1)+x>
