天津市和平区2022届高三数学下学期第一次质量调查试题文第Ⅰ卷选择题（共40分）注意事项:1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件互斥,那么如果事件相互独立,那么..柱体的体积公式.其中表示锥体的体积公式.其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.锥体的底面积,表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知（R）,其中为虚数单位,则等于（A）（B）（C）（D）≥≥≤（2）设变量满足约束条件则的最小值为（A）（B）（C）（D）（3）已知双曲线（,）的一条渐近线为,右焦点坐标为,则该双曲线的离心率等于（A）（B）（C）（D）（4）已知等比数列的公比为正数,且,,则等于（A）（B）（C）（D）（5）已知命题R,≤,则为（A）R,（B）R,≥（C）R,（D）R,4≥（6）设函数若,则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（7）在△中,已知是的中点,,点在上且满足,则等于（A）（B）（C）（D）（8）如图,切圆于点,割线经过圆心,若,平分,交圆于点,连接交圆于点,则的长等于（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷非选择题（共110分）注意事项:1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。2．本卷共12小题，共110分。二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上.（9）某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品的数量分别为件、件、件,为调查产品质量,用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本,其中乙车间的产品中共抽取件，则的值为.否是结束开始（10）一个几何体的三视图如图所示（单位:cm）,则该几何体的体积为cm³.（11）已知（R）,则函数的最大值等于.（12）阅读右面的程序框图,当该程序运行后输出的值是.（13）已知函数（R）是偶函数,则实数的值为.（14）若不等式对满足≤≤的所有都成立,则的取值范围是.4三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）现有6名学科竞赛优胜者,其中语文学科是,数学学科是,英语学科是,从竞赛优胜者中选出3人组成一个代表队,要求代表队中至少包含两个学科.（Ⅰ）用所给字母列出所有可能的结果；（Ⅱ）设为事件“代表队中没有英语优胜者”,求事件发生的概率.（16）（本小题满分13分）已知在△中,,,.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.（17）（本小题满分13分）如图,在三棱锥中,,,分别为的中点.（Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）求证:平面平面.（Ⅲ）若△是正三角形,且,,求二面角的余弦值.（18）（本小题满分13分）已知数列满足,其前项和,且,N*.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设,并记为数列的前项和,4求证:,N*.（19）（本小题满分14分）已知椭圆（）的离心率,且它的左焦点与右顶点的距离.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点作与轴不重合的直线交椭圆于,两点,连接,分别交直线于,两点,求证:直线与直线的斜率之积为定值.（20）（本小题满分14分）已知函数在上为增函数,在上为减函数.（Ⅰ）分别求出和的表达式；（Ⅱ）当时,证明方程有唯一解；（Ⅲ）当时,若≥在内恒成立,求的取值范围.4和平区2022-2022学年度第二学期高三年级第一次质量调查数学（文理）学科试卷参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共40分）（1）B（2）C（3）C（4）A（5）A（6）D（7）D（8）B二、填空题（每小题5分，共30分）（9）（10）（11）（12）（13）（14）三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（本题13分）理科（Ⅰ）解:……………………（1分）.……………………（3分）∵函数的单调递增区间为,Z.……（5分）∴≤≤,即≤≤,Z.……（7分）∴函数的单调递增区间为,Z.…………（8分）（Ⅱ）解:∵当时,≤≤,……………………（10分）∴≤≤,故≤≤.……………………（12分）∴函数在区间上的取值范围是.………………（13分）（16）（本题13分）文科（Ⅰ）解:∵在△中,,∴.……………………（3分）∵,,,∴由正弦定理,得.……………………（6分）（Ⅱ）解:∵,,,∴由余弦定理,得.……………………（8分）即,整理得.………………（10分）解得,故.……………………（13分）（16）（本题13分）理科（Ⅰ）解:根据表格可知等级为“优秀”的有8人,等级为“合格”的有16人,用分层抽样的方法抽取,每个人被抽中的概率是.………………（2分）故样本中等级为“优秀”的有（人）,等级为“合格”的有（人）.……………………（4分）设“至少有一个等级为‘优秀’的被选中”为事件,则.∴选出的2人中至少有一人等级为“优秀”的概率为.………………（7分）（Ⅱ）解:依题意,等级为“优秀”的共有8人,其中甲组有5人,乙组有3人,则的所有可能取值为.；；；.∴随机变量的分布列是:0123…………（11分）∴.……………………（13分）（17）（本题13分）文科（Ⅰ）证明:∵在△中,分别为的中点,∴.……………………（2分）又平面,平面,∴平面.……………………（4分）（Ⅱ）证明:∵在△中,,,∴.……………………（5分）∵在△中,,,为的中点,∴.……………………（6分）∵平面,平面,且,∴平面.……………………（7分）又平面,∴平面平面.……………………（9分）（Ⅲ）解:二面角即为二面角,由（Ⅱ）可知,,.故即为所求二面角的平面角.……………………（10分）在△中,易知,,,……………………（11分）由余弦定理,得.∴二面角的余弦值为.……………………（13分）（17）（本题13分）理科（Ⅰ）证明:取的中点,连接,.∵,,∴,.又∵平面平面,且是平面与平面的交线,∴平面.如图所示建立空间直角坐标系.……………………（1分）由已知得,,,,,.∴,.……………………（3分）∴.∴.……………………（5分）（Ⅱ）解:,,.………（6分）设平面的法向量为,∵,,∴令,则,.故为平面的一个法向量.……………………（8分）则,.∴直线与平面所成角的正弦值为.……………………（10分）（Ⅲ）解:由（Ⅱ）可知为平面的一个法向量,而为平面的一个法向量,……………………（11分）设二面角的大小为,易知二面角是锐角,∴.∴二面角的余弦值等于.……………………（13分）（18）（本题13分）（Ⅰ）解:由,解得或.……………………（1分）由题设,可知.……………………（2分）由,…………（3分）可得,解得.……………………（5分）即数列是首项为,公差为的等差数列.∴数列的通项公式为.……………………（6分）（Ⅱ）证明:由（Ⅰ）可得.……………………（7分）则.……………………（8分）欲证,N*,即证明,N*,只需证明,N*,即可.………………（9分）∵,,…,,……………………（11分）∴.∴,N*.证毕.……………………（13分）（19）（本题14分）（Ⅰ）解:设椭圆的左焦点的坐标为,……………………（1分）依题意,,.……………………（3分）解得,,.∴椭圆的标准方程为.…（5分）（Ⅱ）解:设,,由直线与轴不重合,故可设直线,…………………（6分）由整理得.…………（7分）,.……………………（8分）由,,三点共线,可得,即,由,,三点共线,同理可得.……………………（9分）.……（10分）而,故……………………（12分）.∴直线与直线的斜率之积为定值.……………………（14分）（20）（本题14分）（Ⅰ）解:由,依题意≥,,即≤在上恒成立,故≤.……………………（2分）由,依题意≤在内恒成立,,即≥.综合上述结论,.……………………（4分）∴,.……………………（5分）（Ⅱ）证明:由（Ⅰ）可知方程,即.设,则=.…………………（7分）令,并由,解得.令,并由,解得.……………………（9分）,的变化情况如下表:
