石嘴山市三中高二年级第一学期期中数学(文科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、下列语句中是命题的为①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④∀x∈R,5x－3>6.A．①③ B．②③C．②④D．③④2、命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是A．若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等B．若△ABC中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形C．若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形D．若△ABC中任何两个内角相等，则它是等腰三角形3、已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则﹁p为A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)e≤1C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1D．∀x≤0，使得(x＋1)ex≤14、已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于A．－1B．1C．3D．75、“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率f，则第八个单音频率为A.B.C.D.6.已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝A．2 B．3C．4D．97、已知实数成等比数列，则椭圆的离心率为A．B．2C．或2D．或8、命题：若，则；命题：．下列命题为假命题的是-15-\nA．B．C．D．9、已知，且满足，那么的最小值为A．B．C．D．10、若，且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11、设集合则A.对任意实数a，B.对任意实数a，C.当且仅当a<0时,D.当且仅当时,12、已知椭圆E：(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．椭圆的焦距长是________14.若命题“∃t∈R，”是假命题，则实数a的取值范围是________．15.已知为椭圆是椭圆的两个焦点，则：的最大值为_________；16、下列四种说法：①命题“∀x∈R，都有x2－2<3x”的否定是“∃x∈R，使得x2－2≥3x”；-15-\n②命题“在数列中，若数列为等比数列,则”的逆命题为真命题；③若“”为真命题，则“”也为真命题④若a，b∈R，则2a<2b是loga>logb的充要条件；其中正确的说法是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）设命题p：实数x满足，其中.命题q：实数x满足(1)当a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）设是等差数列，且,.(1)求的通项公式；(2)求.19.（12分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池,其容积为4800立方米,深度为3米.池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元。设池底长方形长为x米.(1)求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；(2)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?20.（12分）已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值.(1)试求动点P的轨迹方程C.(2)设直线与曲线C交于M、N两点，当时，求直线l的方程.-15-\n21.（12分）在等比数列{an}中，an>0()，公比q∈(0,1)，且,又与的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设，数列{bn}的前n项和为Sn，当＋＋…＋最大时，求n的值.22．（12分）已知椭圆C的两个顶点分别为，焦点在x轴上，离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．．-15-\n石嘴山市三中高二年级第一学期期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、下列语句中是命题的为( )①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④∀x∈R,5x－3>6.A．①③ B．②③C．②④D．③④答案：D2、命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是( )A．若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等B．若△ABC中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形C．若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形D．若△ABC中任何两个内角相等，则它是等腰三角形答案：C 3、已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则﹁p为( )A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)e≤1C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1D．∀x≤0，使得(x＋1)ex≤1答案：B 4、已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )A．－1B．1C．3D．7解析：选B.∵a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，∴a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝33－35＝－2，∴a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1.5、“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率f，则第八个单音频率为（）-15-\nA.B.C.D.【答案】D6、已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( )A．2 B．3C．4D．9答案：B7、已知实数成等比数列，则椭圆的离心率为（）A．B．2C．或2D．或答案为：．8、命题：若，则；命题：．下列命题为假命题的是A．B．C．D．（）【答案】A9、已知，且满足，那么的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C备选：已知数列是各项均为正数的等差数列，其前9项和，则的最小值为A．B．C．D．【答案】B10、若，且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件-15-\n备选：在焦距为的椭圆中，是椭圆的两个焦点，则“”是“椭圆上至少存在一点，使得”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A11、设集合则（）A.对任意实数a，B.对任意实数a，C.当且仅当a<0时,D.当且仅当时,【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.备选：已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，，则为奇函数且在上单调递增，不等式对任意实数恒成立，则在恒成立，分离参数，又因为（当且仅当时，取等号），则，故选D.-15-\n12、已知椭圆E：(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A.B.C.D.解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b<2，所以e＝＝＝.因为1≤b<2，所以0<e≤.答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．椭圆的焦距长是________14.若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．(－∞，－1] 15.已知为椭圆是椭圆的两个焦点，则：的最大值为_________；解(1)故：的最大值是416、下列四种说法：①命题“∀x∈R，都有x2－2<3x”的否定是“∃x∈R，使得x2－2≥3x”；②命题“在数列中，若数列为等比数列,则”的逆命题为真命题；③若“”为真命题，则“”也为真命题④若a，b∈R，则2a<2b是loga>logb的充要条件；-15-\n其中正确的说法是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）已知a>0，a≠1，设p：函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．解 对于命题p：当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减．当a>1时，函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递增，所以如果p为真命题，那么0<a<1.如果p为假命题，那么a>1.对于命题q：如果函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点，那么Δ＝(2a－3)2－4>0，即4a2－12a＋5>0⇔a<，或a>.又∵a>0，所以如果q为真命题，那么0<a<或a>.如果q为假命题，那么≤a<1，或1<a≤.∵p∨q为真，p∧q为假，∴p与q一真一假．如果p真q假，那么⇔≤a<1.如果p假q真，那么⇔a>.∴a的取值范围是[，1)∪(，＋∞)．17．（10分）设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0.命题q：实数x满足(1)当a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解 (1)由x2－4ax＋3a2<0，得a<x<3a(a>0)．当a＝1时，1<x<3，所以p：1<x<3.由解得2<x≤3，所以q：2<x≤3.若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是{x|2<x<3}．(2)设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a>0}＝{x|a<x<3a，a>0}，B＝＝{x|2<x≤3}．-15-\n根据题意可得BA，则0<a≤2且3a>3，即1<a≤2.故实数a的取值范围是{a|1<a≤2}．18．（12分）设是等差数列，且,.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求.【答案】（I）（II）【解析】（1）设公差为，根据题意可列关于的方程组，求解，代入通项公式可得；（2）由（1）可得，进而可利用等比数列求和公式进行求解.18．（12分）设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列.(1)求数列{an}的通项；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.考点 等差等比数列综合应用题点 等差等比基本量问题综合解 (1)由已知得解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝.由题意得q＞1，∴q＝2，∴a1＝1.故数列{an}的通项为an＝2n－1.(2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2.又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差数列，-15-\n∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝·ln2.故Tn＝ln2.19.（12分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池,其容积为4800立方米,深度为3米.池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元。设池底长方形长为x米.（Ⅰ）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?解：（Ⅰ）设水池的底面积为，池壁面积为,则有（平方米）,可知，池底长方形宽为米，则--------------------------5分（Ⅱ）设总造价为y，则当且仅当,即时取等号,所以时,总造价最低为297600元.答：时,总造价最低为297600元.--------------------------10分20.（12分）已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值.（Ⅰ）试求动点P的轨迹方程C.（Ⅱ）设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线l的方程.【解析】(1)设动点P的坐标是（x，y），由题意得：kPAkPB=∴，化简，整理得-15-\n故P点的轨迹方程是，（x≠±）(2)设直线l与曲线C的交点M(x1，y1)，N（x2，y2），由得，（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0∴x1+x2=，x1x2=|AB|=，整理得，7k4-2k2-5=0，解得k2=1，或k2=-（舍）∴k=±1,经检验符合题意。∴直线l的方程是y=±x+1即：x-y+1=0或x+y-1=021.（12分）在等比数列{an}中，an>0(n∈N)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当＋＋…＋最大时，求n的值.考点 数列综合问题题点 数列与不等式的综合解 (1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a＋2a3a5＋a＝25，又an>0，∴a3＋a5＝5.又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.∴q＝，a1＝16，∴an＝16×n－1＝25－n.(2)bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1，∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，-15-\n∴Sn＝，∴＝，∴当n≤8时，>0；当n＝9时，＝0；当n>9时，<0.∴当n＝8或9时，＋＋＋…＋最大.22．（12分）已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.（Ⅱ）设，则.由题设知，且.直线的斜率，故直线的斜率.所以直线的方程为.-15-\n备选：22．（12分）设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，且点，均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设椭圆的焦距为，由已知得，又由，可得．由,从而，．所以，椭圆的方程为．（2）设点的坐标为，点的坐标为，由题意，，点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，从而，即．易知直线的方程为，由方程组消去，可得．-15-\n由方程组，消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得，或．当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．所以，的值为．-15-
