安徽省安庆市慧德中学2022届高三上学期第一次月考理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题。全卷满分150分。考试时间120分钟。注意事项：⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。⒉做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、在复平面内，复数的共轭复数的虚部为（）．A．B．C．D．开始否n＝3n+1n为偶数k＝k＋1结束n＝5，k＝0是输出kn=1?否是2、已知集合，，则（）．A．B．C．D．3、若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是（）．A．B．C．D．4、下列命题中的假命题是（）．A．B．C．D．5、下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（）．A． B． C． D．6、已知，则下列不等式一定成立的是（）．13\nA．B．C．D．7、已知是实数，则函数的图像不可能是（）．A.B． C.D.8、已知点，若动点满足，则的最小值为（）．A．(B．C．5D．以上都不正确9、已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）．A．B．C．或D．或10、某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）．A．5B．4C．3D．211、定义在R上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为A．B．C．D．13\n12.已知函数,，若对任意的,存在实数满足，使得，则的最大值为()A.B.C.D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13、在等比数列中，，，则．14、设A＝，则=15、已知矩形的周长为，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为.16、设为实数，若则的最大值是_________.三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.(本题满分12分)在中，角的对边分别是满足（1）求角的大小；（2）若等差数列的公差不为零，且，且成等比数列，求的前项和.18、(本题满分12分)13\n某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．（Ⅰ）求样本容量和频率分布直方图中的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设表示所抽取的3名同学中得分在的学生个数，求的分布列及其数学期望．19．(本小题满分12分)O在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且平面.(1)证明：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆，设是椭圆上任一点，从原点向圆作两条切线，切点分别为13\n.（1）若直线互相垂直，且在第一象限，求圆的方程；（2）若直线的斜率都存在，并记为，求证：21.（本小题12分）设函数.（I）若处的切线为，的值；（II）求的单调区间；（Ⅲ）若，求证：在时，请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.如图，⊙的半径为6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点.（1）求长；（2）当⊥时，求证：.（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，圆的方程为13\n．（Ⅰ）求直线的普通方程和圆的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线和圆的交点为、，求弦的长．（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若时，，求的取值范围．理科数学评分标准一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）题号12345678910111213\n答案DCBBBBCCCCBA二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．14．15．16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、【解】(1)∵，∴.…………1分∴.…………2分又…………3分∴.…………4分(2)设的公差为，由已知得，…………5分且.∴．…………6分又,∴.∴.…………7分∴.…………9分∴…………10分…………12分18、【解】（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，．…………3分（Ⅱ）由题意可知，分数在有5人，分数在有2人，共7人．…………4分抽取的3名同学中得分在的学生个数的可能取值为，…………5分则，…………6分13\n，…………7分．…………8分所以，的分布列为123…………10分所以，．…………12分19、【解】(1)由题意，，…………1分又，，，，，.…………3分又，，…………4分，，…………5分又，.…………6分(2)如图，分别以所在直线为轴，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，…………7分则，,…………8分，设平面的法向量为，13\n则，即，令，则，，所以.…………10分设直线与平面所成角为，则，…………11分所以直线与平面所成角的正弦值为.……………………12分20、【解】（1）由题圆的半径为因为直线互相垂直，且与圆相切，所以，即①…………1分又在椭圆上，所以②…………2分由①②及在第一象限，解得…………3分所以圆的方程为：…………4分（2）证明：因为直线均与圆相切，所以…………5分化简得…………6分同理有所以是方程的两个不相等的实数根，13\n所以…………8分又因为在椭圆上，所以即…………10分所以…………11分即…………12分21、【解】（I）∵∴…………1分又的切线的斜率为∴∴…………2分∴切点为把切点代入切线方程得:…………3分(Ⅱ)由（Ⅰ）知：①当时，在上恒成立在上是单调减函数…………4分②当时，令解得：…………5分当变化时，随变化情况如下表：0由表可知：在上是单调减函数，在上是单调增函数…………6分13\n综上所述：当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为…………7分（Ⅲ）当时，要证，即证…………8分令，只需证…………9分由指数函数及幂函数的性质知：在上是增函数又∴在内存在唯一的零点，也即在上有唯一零点设的零点为,则即…………10分由的单调性知：…………11分当时，，为减函数当时，，为增函数，所以当时，又，等号不成立∴…………12分22、【解】（1），…………1分．[中国教∵，∴．…………3分∴，∵，∴，∴．……………5分（2）证明：∵，．∴∴13\n∴……………………10分23、【解】（Ⅰ）由的参数方程消去参数得普通方程为………2分圆的直角坐标方程,…………3分所以圆心的直角坐标为，…………4分因此圆心的一个极坐标为.…………5分(答案不唯一，只要符合要求就给分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心到直线的距离,………8分所以.………………10分24．【解】（Ⅰ）当时，不等式为…………1分当，不等式转化为，不等式解集为空集；…………2分当，不等式转化为，解之得；…………3分当时，不等式转化为，恒成立；…………4分综上不等式的解集为.…………5分（Ⅱ）若时，恒成立，即，…………7分亦即恒成立，…………8分又因为，所以，…………9分所以的取值范围为.…………10分13\n13
