定远二中2022-2022学年高二下学期第三次月考数学（理）试题第I卷（选择题、填空题共75分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在答题卡上）1.若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B”={4}的（）.（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件2．若点，，当取最小值时，的值等于（）．A．B．C．D．3．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）．A．B．C．D．4．设、是不同的两条直线，、是不同的两个平面，分析下列命题，其中正确的是（）．A．，，B．∥，，∥C．，，∥D．，，5．已知为抛物线上一个动点，直线：，：，则到直线、的距离之和的最小值为().A．B．C．D．6.设长方体的三条棱长分别为、、，若长方体所有棱长度之和为，一条对角线长度为，体积为，则等于().A.B.C.D.7．θ是第三象限角，方程x2+y2sinθ=cosθ表示的曲线是（）.A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线8.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为（）.8\nA.2B.3C.6D.89．已知四棱锥底面四边形中顺次三个内角的大小之比为，此棱锥的侧棱与底面所成的角相等，则底面四边形的最小角是（）．A．B．C．D．无法确定的10.已知分别是双曲线的两个焦点，和是以(为坐标原点)为圆心，为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将正确答案直接填入Ⅱ卷相应题号的横线上）11．双曲线＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是．12.若不等式|x-m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则实数m的取值范围是.13.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于．14.已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上。小明从曲线C1，C2上各取若干个点（每条曲线上至少取两个点），并记录其坐标（x，y）。由于记录失误，使得其中恰好有一个点既不在椭圆上C1上，也不在抛物线C2上。小明的记录如下：X-2-0223Y20-2-2据此，可推断椭圆C1的方程为.15.下列命题：①命题“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件；②“am2<bm2”是“a<b”的充分必要条件；③“矩形的两条对角线相等”的否命题为假；④在中，“”是三个角成等差数列的充要条件；⑤中,若,则为直角三角形.8\n判断错误的有___________.三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本题满分12分)已知命题p:“”，命题q:“”若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.17.(本题满分12分)如图，矩形中，，，为上的点，且，AC、BD交于点G.（1）求证：；（2）求证；；（3）求三棱锥的体积.18.(本题满分12分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）.求k的取值范围.19.(本题满分12分)已知四棱锥P-ABCD的直观图（如图(1)）及左视图（如图(2)），底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB。(1)求证：AD⊥PB；8\n(2)求异面直线PD与AB所成角的余弦值；(3)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小.2BCD2图⑴图⑵AP20.(本题满分13分)在直角坐标系中，射线OA:x－y=0（x≥0），OB:x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA、OB于A、B两点.（1）当AB中点为P时，求直线AB的方程；（2）当AB中点在直线上时，求直线AB的方程.21.(本题满分14分)已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；(3)在(2)的条件下，证明直线与轴相交于定点．8\n定远二中2022～2022学年度下学期高二第三次月考数学（理）试卷参考答案一．选择题：ACBBAADCBD二．填空题：11.12.≤m≤13.14.+=115.②⑤三．解答题：16.提示：由命题“p且q”是真命题可知命题p与命题q都成立.则有，可解得18．解：（Ⅰ）设双曲线方程为由已知得故双曲线C的方程为……….4分（Ⅱ）将8\n由直线l与双曲线交于不同的两点得即①……………6分设，则而………8分于是②……………10分由①、②得故k的取值范围为…………12分19．解：⑴取AB的中点O，连接PO，因为PA=PB，则PO⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO平面PAB，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD，…………2分而AD⊥AB，PO∩AB=O，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB。…………4分⑵过O作AD的平行线为x轴，以OB、OP所在直线分别为y、z轴，建立如图10的空间直角坐标系，则A（0，-1，0），D（2，-1，0），B（0，1，0），C（2，1，0），=（2，-1，-2），=（0，2，0），cos＜，＞==-，即异面直线PD与AB所成角的余弦值为。…………8分⑶易得平面PAB的一个法向量为n=（1，0，0）。PBCDxyAzO设平面PCD的一个法向量为m=（x，y，z），由⑵知=（2，-1，-2），=（0，-2，0），则8\n，即，解得x=z，令x=1，则m=（1，0，1），……….10分则cos＜n，m＞==，即平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小为。…………..12分（2）①当直线的斜率不存在时，则的方程为，易知两点的坐标分别为所以的中点坐标为，显然不在直线上,即的斜率不存在时不满足条件.……….8分②当直线的斜率存在时，记为，易知且，则直线的方程为分别联立及可求得两点的坐标分别为所以的中点坐标为……….10分又的中点在直线上,所以解得所以直线的方程为，即…………13分21.解：解：⑴由题意知，所以，即，又因为8\n，所以，故椭圆的方程为：．………4分8
