山东省日照市2022-2022学年高一上学期期末模块考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|-1＜x＜4}，B={x|0＜x≤3}，则A∩B=（ ）A.{x|1≤x<2}B.{x|0≤x<2}C.{x|0<x≤2}D.{x|0<x≤3}2.已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α的值为（ ）A.12B.−12C.2D.−23.两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是（ ）A.相离B.相交C.内切D.外切4.侧棱长和底面边长均为1的正四棱锥的侧面积为（ ）A.3B.2C.3D.3345.设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β下面命题正确的是（ ）A.若l//β，则α//βB.若α⊥β，则l⊥mC.若l⊥β，则α⊥βD.若α//β，则l//m6.已知函数f（x）=ex-x2+8x，则在下列区间中f（x）必有零点的是（ ）A.(−2,−1)B.(−1,0)C.(0,1)D.(1,2)7.已知函数f（x）=−2x,x>0x2+1,x≤0，若f（x）=5，则x的值是（ ）A.−2B.2或−52C.2或−2D.2或−2或−528.中国古代第一部数学名著《九章算术》中，将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形，其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖，若三棱锥Q-ABC为鳖臑，QA⊥平面ABC，AB⊥BC，QA=BC=3，AC=5，则三棱锥Q-ABC外接球的表面积为（ ）A.16πB.20πC.30πD.34π9.若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=loga|1x|的图象大致为（ ）A.B.C.D.10.设直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1、CC1上，且PA=QC1，则三棱锥B1-BPQ的体积为（ ）13/14\nA.16VB.14VC.13VD.12V二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）1.已知ab≠0，O为坐标原点，点P（a，b）是圆x2+y2=r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax+by=r2，则下列结论正确的是______A．m∥l B．m⊥l C．m与圆相离 D．m与圆相交2.如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A1-BCD，则下列命题中，正确的为______A．直线BD⊥平面A1OC B．三棱锥A1-BCD的外接球的表面积是8πC．A1B⊥CD D．若E为CD的中点，则A1B⊥平面A1OE3.已知函数f（x）=ax3-1x+b（a＞0，b∈Z），选取a，b的一组值计算f（lga）和f（lg1a）所得出的结果可以是______A.3和4 B．-2和5C.6和2 D．-2和24.函数f（x）=lg（2x-1）的定义域为______．5.已知直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0互相平行，则m=______．6.若15a=5b=3c=25，则1a+1b−1c=______．7.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC为球O的直径，且SC=6，则此三棱锥的体积为______．三、解答题（本大题共6小题，共82.0分）8.已知直线l1：x+y+3=0，直线l2在y轴上的截距为-1，且l1⊥l2．（1）求直线l1与l2的交点坐标；（2）已知直线l3经过l1与l2的交点，且坐标原点O到直线l3的距离等于2，求直线l3的方程．13/14\n1.已知定义域为R的函数f（x）=b−2x2x+a是奇函数．（1）求a，b的值；（2）用定义证明f（x）在（-∞，∞）上为减函数；（3）解不等式f（t-2）+f（t+1）＜0．2.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=3，BC=4，点D是线段AB上的动点．（1）当点D是AB的中点时，求证：AC1∥平面B1CD；（2）线段AB上是否存在点D，使得平面ABB1A1⊥平面CDB1？若存在，试求出AD的长度；若不存在，请说明理由．3.己知圆C：x2+y2-4x+3=0．（1）过点P（1，2）且斜率为m的直线l与圆C相切，求m值；（2）过点Q（0，-2）的直线a与圆C交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，其中O为坐标原点，k1k2=-17，求直线a的方程．4.旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为18000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x人，飞机票价格y元，旅行社的利润为Q元．（1）写出每张飞机票价格y元与旅行团人数x之间的函数关系式；（2）当旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．13/14\n1.己知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a，b≥0）在x∈[1，2]时有最大值1和最小值0，设f（x）=g(x)x．（1）求实数a，b的值；（2）若不等式f（log2x）-2klog2x≤0在x∈[4，8]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程f（|2x-1|）+2m|2x−1|-3m-1=0有三个不同的实数解，求实数m的取值范围．13/14\n答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={x|-1＜x＜4}，B={x|0＜x≤3}；∴A∩B={x|0＜x≤3}．故选：D．进行交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集的运算．2.【答案】A【解析】解：幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则4α=2，解得α=．故选：A．根据幂函数的定义与性质，代入求解即可．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：把x2+y2-8x+6y+9=0化为（x-4）2+（y+3）2=16，又x2+y2=9，所以两圆心的坐标分别为：（4，-3）和（0，0），两半径分别为R=4和r=3，则两圆心之间的距离d==5，因为4-3＜5＜4+3即R-r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交．故选：B．分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与R-r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系．此题考查学生掌握两圆的位置关系的判别方法，利用运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．4.【答案】A【解析】解：正四棱锥的侧面积S=4×=．故选：A．利用正三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了正三角形的面积计算公式、正四棱锥的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：对于A，若l∥β，则α∥β或α，β相交，不正确；对于B，若α⊥β，则l、m位置关系不定，不正确；对于C，根据平面与平面垂直的判定，可知正确；对于D，α∥β，则l、m位置关系不定，不正确．13/14\n故选：C．对4个命题分别进行判断，即可得出结论．本题考查了空间线面、面面平行和垂直关系，面面平行的判定定理，线面垂直的定义及其应用，空间想象能力6.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=ex-x2+8x，令g（x）=ex，h（x）=x2-8x，画出图象判断交点1个数．∵g（0）=1，h（0）=0，g（-1）=e-1，h（-1）=9，∴g（0）＞h（0），g（-1）＜h（-1），∴交点在（-1，0）内，即函数f（x）=ex-x2+8x，则在下列区间中f（x）必有零点的是（-1，0）故选：B．构造函数g（x）=ex，h（x）=x2-8x，画出图象判断，交点个数，运用特殊函数值判断区间．本题考查了构造函数，运用图象的交点问题求解有关的函数的零点，画出图象判断，利用特殊函数值判断即可．13/14\n7.【答案】A【解析】解：由题意，当x≤0时，f（x）=x2+1=5，得x=±2，又x≤0，所以x=-2；当x＞0时，f（x）=-2x=5，得x=-，舍去．故选：A．分x≤0和x＞0两段解方程即可．x≤0时，x2+1=5；x＞0时，-2x=5．本题考查分段函数求值问题，属基本题，难度不大．8.【答案】D【解析】解：如图，补全为长方体，则2R=，∴R=，故外接球得表面积为4πR2=34π，故选：D．由题意画出图形，补全为长方体，求出长方体的对角线长，可得三棱锥Q-ABC外接球的半径，则答案可求．本题考查多面体外接球的表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．9.【答案】B【解析】解：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=loga|x|的图象：黑颜色的图象．而函数y=loga||=-loga|x|，其图象如红颜色的图象．故选：B．由于当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a＜1．先画出函数y=loga|x|的图象，此函数是偶函数，当x＞0时，即为y=logax，而函数y=loga||=-loga|x|，即可得出图象．本题考查指数函数与对数函数的图象及性质，属于难题．10.【答案】C【解析】13/14\n解：设A到BC的距离为h，∵直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1、CC1上，且PA=QC1，∴V=，三棱锥B1-BPQ的体积为：V===．故选：C．推导出V=，三棱锥B1-BPQ的体积为：V==，由此能求出结果．本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11.【答案】A，D【解析】解：直线OP的斜率为，直线l的斜率为-，直线l的方程为：ax+by=a2+b2，又P（a，b）在圆外，∴a2+b2＞r2，故m∥l，圆心（0，0）到直线ax+by=r2的距离d=＜=|r|，故m与圆相交，故答案为：AD根据OP的斜率得l的斜率和方程，再根据m和l的方程可判断两直线平行；根据圆心到直线m的距离与半径可判断直线m与圆C相交．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．12.【答案】A，B【解析】解：由正方形的性质可得BD⊥OA1，BD⊥OC，OA1，OC为相交直线，可得BD⊥平面A1OC，故A正确；由A1O=OC=OB=OD=，则O为三棱锥A1-BCD的外接球的球心，半径为，其表面积为4π•2=8π，故B正确；若A1B⊥CD，又A1B⊥A1D，可得A1B⊥平面A1CD，可得A1B⊥A1C，由于A1B=A1C，不成立，故C错误；若E为CD的中点，可得OE∥BC，若A1B⊥平面A1OE，可得A1B⊥OE，即A1B⊥BC，可得A1C=2，13/14\n则A1，O，C三点共线，不成立，故D错误．故答案为：A，B．由线面垂直的判定定理可判断A；由正方形的性质可得O为球心，求得半径，计算表面积，可判断B；由中位线定理和线面垂直的性质，即可判断C；由线面垂直的性质，计算可判断D．本题主要考查空间线面垂直的判断和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．13.【答案】C，D【解析】解：∵f（x）=ax3-+b，∴f（x）-b=ax3-是奇函数，即f（-x）-b=-（f（x）-b），即f（-x）+f（x）=2b是偶数，∵f（lg）=f（-lga），则f（lga）+f（lg）是偶数，排除A，B，故C，D可能满足条件，故答案为：C，D将函数转化为f（x）-b，判断函数的奇偶性，得到f（-x）+f（x）=2b是偶数，进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件转化为奇函数，利用奇函数的定义是解决本题的关键．14.【答案】(12，+∞)【解析】解：∵函数f（x）=lg（2x-1），∴2x-1＞0，解得x＞；∴f（x）的定义域为（，+∞）．故答案为：（，+∞）．根据对数函数的真数大于0，列出不等式，求出解集即可．本题考查了求函数定义域的问题，求定义域是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围，是基础题目．15.【答案】4【解析】解：∵直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0互相平行，∴=≠，∴m=4，故答案为：4．由两直线平行得，=≠，解出m值．13/14\n本题考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比．16.【答案】1【解析】解：15a=5b=3c=25，∴a=log1525，b=log525，c=log325，∴=log2515+log255-log253=log2515×5÷3=log2525=1，故答案为：1根据对数的运算性质计算即可．本题考查了对数的运算性质，属于基础题17.【答案】62【解析】解：如下图所示，由于SC是球O的直径，则SA⊥AC，SB⊥BC，由勾股定理得，同理可得．取AB的中点M，则SM⊥AB，CM⊥AB，∴，同理可得，由余弦定理得，∴，则△SMC的面积为．∵SM⊥AB，CM⊥AB，且SM∩CM=M，∴AB⊥平面SMC．因此，三棱锥S-ABC的体积为．故答案为：．取AB的中点M，连接SM、CM，先利用勾股定理计算出SA、SB、SM、CM，利用余弦定理计算出cos∠SMC，从而计算出sin∠SMC，然后利用三角形的面积公式计算出△SMC的面积，并利用直线与平面垂直的判定定理证明AB⊥平面SMC，最后利用公式可计算出该三棱锥的体积．本题考查球内接多面体体积的计算，考查线面垂直的判定与锥体体积的计算，考查计算能力与推理能力，属于中等题．13/14\n18.【答案】解：（1）直线l1：x+y+3=0，则l1的斜率为-1，又直线l2在y轴上的截距为-1，且l1⊥l2，∴l2的斜率为1，直线l2的方程为y=x-1，即x-y-1=0；由x−y−1=0x+y+3=0，解得y=−2x=−1，∴直线l1与l2的交点坐标为P（-1，-2）；（2）由题意，直线l3的斜率存在，设方程为y+2=k（x+1），即kx-y+k-2=0，且原点O到直线l3的距离等于2，∴d=|k−2|k2+1=2，化简得3k2+4k=0，解得k=0或k=-43，当k=0时，y+2=0，当k=-43时，y+2=-43（x+1），化为一般式是4x+3y+10=0，∴直线l3的方程为y+2=0或4x+3y+10=0．【解析】（1）由垂直关系求出直线l2的斜率，利用点斜式写出l2的方程，再求l1与l2的交点坐标；（2）由题意知直线l3的斜率存在，设出点斜式方程，利用原点O到直线l3的距离列方程求出k的值，再写出l3的方程．本题考查了直线的方程与应用问题，也考查了垂直关系与交点问题和点到直线的距离应用问题，是中档题．19.【答案】解：（1）函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，即f（0）=b−2022+a=b−11+a=0，得b=1，f（x）=1−2xa+2x，则f（1）=1−22+a=-12+a，f（-1）=1−12a+12=12a+1，则f（-1）=-f（1），即12a+1=12+a，即2a+1=2+a，得a=1．（2）∵a=1，b=1，∴f（x）=1−2x1+2x=2−(1+2x)1+2x=21+2x-1，设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=21+2x1-21+2x2=2(2x2−2x1)(1+2x1)(1+2x2)，∵x1＜x2，∴2x1＜2x2，则f（x1）＞f（x2），即f（x）在（-∞，∞）上为减函数．13/14\n（3）由f（t-2）+f（t+1）＜0．得f（t-2）＜-f（t+1），∵f（x）是奇函数，且在（-∞，+∞）上是减函数，∴不等式等价为f（t-2）＜f（-t-1），即t-2＞-t-1．得t＞12．即实数t的取值范围是（12，+∞）．【解析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解即可（2）根据函数单调性的定义进行证明（3）根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可本题主要考查函数奇偶性和单调性的证明和应用，结合性质进行转化是解决本题的关键．20.【答案】解：（1）证明：如图，连接BC1，交B1C于点E，连接DE，则点E是BC1的中点，又点D是AB的中点，由中位线定理得DE∥AC1，因为DE⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD．（2）当CD⊥AB时，平面ABB1A1⊥平面CDB1．证明：因为AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD．又CD⊥AB，AA1∩AB=A，所以CD⊥平面ABB1A1，因为CD⊂平面CDB1，所以平面ABB1A1⊥平面CDB1，故点D满足CD⊥AB．因为AB=5，AC=3，BC=4，所以AC2+BC2=AB2，故△ABC是以角C为直角的三角形，又CD⊥AB，所以AD=95．【解析】（1）取B1C的中点E，由中位线定理可得DE∥AC1，故而AC1∥平面B1CD；（2）当CD⊥AB时，可证平面ABB1A1⊥平面CDB1，从而得出AD的长度．本题考查了线面平行、面面垂直的判定，掌握空间位置关系的判定定理是证明的关键所在，属于中档题．21.【答案】解：（1）圆C：（x-2）2+y2=1，设直线l：y-2=m（x-1）即mx-y+2-m=0，依题意圆心到直线的距离d=|2m+2−m|m2+1=r=1，解得m=-34，（2）依题意可设直线a：y=kx-2并代入x2+y2-4x+3=0并整理得（1+k2）x2-（4k+4）x+7=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k+41+k2，x1x2=71+k2，13/14\n∴k1•k2=y1x1•y2x2=(kx1−2)(kx2−2)x1x2=k2x1x2−2k(x1+x2)+4x1x2=k2-2k×4k+41+k271+k2+471+k2=k2-2k×4k+47+4(1+k2)7=3k2−8k+47，∴3k2−8k+47=-17，∴3k2-8k+5=0，解得k=53或k=1，故直线a的方程为：y=53x-2或y=x-2．【解析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径列式可解得；（2）设直线a的方程后代入圆的方程，利用韦达定理以及斜率公式列式可求得直线a的斜率，从而得圆的方程．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．22.【答案】解：（1）依题意得，当1≤x≤35时，y=800．当35＜x≤60时，y=800-10（x-35）=-10x+1150；∴y=−10x+1150,(35<x≤60且x∈N)800,(1≤x≤35,x∈N)（2）设利润为Q，则Q=yx-18000=−10x2+1150x−18000,(35<x≤60且x∈N)800x−18000,(1≤x≤35且x∈N)．当1≤x≤35且x∈N时，Qmax=800×35-16000=12000，当35＜x≤60且x∈N时，Q=-10x2+1150x-16000，其对称轴为x=1152因为x∈N，所以当x=57或x=58时，Qmax=15060＞10000．故当旅游团人数为57或58时，旅行社可获得最大利润为15060元【解析】（1）依题意得，当1≤x≤35时，y=800；当35＜x≤60时，y=800-10（x-35）=-10x+1150，从而得出结论．（2）设利润为Q，则由Q=yx-18000可得Q的解析式．当1≤x≤35且x∈N时，求得Qmax的值，当35＜x≤60且x∈N时，再根据Q的解析式求得Qmax的值，再把这两个Qmax的值作比较，可得结论．本题主要考查求函数最值的应用，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．23.【答案】解：（1）函数g（x）=ax2-2ax+b+1=a（x-1）2+1+b-a，因为a＞0，所以g（x）在区间[1，2]上是增函数，故g(1)=1+b−a=0g(2)=1+b=1，解得b=0a=1．（2）由已知可得g（x）=x2-2x+1，则f（x）=g(x)x=x+1x-2，所以，不等式f（log2x）-2klog2x≤0，转化为log2x+1log2x-2-2klog2x≤0在x∈[4，8]上恒成立，13/14\n设t=log2x，则t∈[2，3]，即t+1t-2-2kt≤0，在t∈[2，3]，上恒成立，即2k≤1+1t2-2t=（1t-1）2，∵t∈[2，3]，∴1t∈[13，12]，∴当1t=12时，（1t-1）2，取得最小值，最小值为（12-1）2=14，则2k≤14，即k≤18．所以k的取值范围是（-∞，18]．（3）方程f（|2x-1|）+2m|2x−1|-3m-1=0可化为：|2x-1|2-（3+3m）|2x-1|+（1+2m）=0，|2x-1|≠0，令|2x-1|=t，则方程化为t2-（3+3m）t+（1+2m）=0，（t≠0），∵方程f（|2x-1|）+2m|2x−1|-3m-1=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x-1|的图象知，t2-（3+3m）t+（1+2m）=0，（t≠0），有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．记h（t）=t2-（3+3m）t+（1+2m），则h(1)=−1−m<0h(0)=1+2m>0，即m＞−12m＞−1，此时m＞-12，或h(0)=1+2m＞0h(1)=−1−m=00＜−−(3+3m)2＜1得m＞−12m=−1−1＜m＜−13，此时m无解，综上m＞-12．【解析】（1）求出函数g（x）的对称轴，结合函数最大值和最小值建立方程即可求出a，b的值．（2）利用换元法以及参数分离法进行转化，结合函数最值进行求解即可．（3）将方程进行等价转化，利用换元法转化为一元二次方程，结合一元二次方程根的分别进行求解即可．本题考查函数与方程的综合应用，以及二次函数根的分布，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．13/14
