2022-2022学年山东省实验中学高三（上）第一次诊考数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面内，复数对应的点到直线y=x+1的距离是（ ）A．B．2C．D． 2．不等式﹣x2+|x|+2＜0的解集是（ ）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|x＜﹣2或x＞2}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＜﹣1或x＞1} 3．函数f（x）=lnx+ex（e为自然对数的底数）的零点所在的区间是（ ）A．B．C．（1，e）D．（e，+∞） 4．给出下列命题①若直线l与平面α内的一条直线平行，则l∥α；②若平面α⊥平面β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β；③∃x0∈（3，+∞），x0∉（2，+∞）；④已知a∈R，则“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件．其中正确命题的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1 5．一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（ ）m3．A．B．C．D． -20-6．将函数向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与，，x轴围成的图形面积为（ ）A．B．C．D． 7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）=﹣1，且对任意x∈R，有f（x）=﹣f（2﹣x）成立，则f（2022）的值为（ ）A．1B．﹣1C．0D．2 8．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（ ）A．﹣2B．0C．1D．2 9．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）A．B．C．D． 10．已知直线ax+by﹣1=0（a，b不全为0）与圆x2+y2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（ ）A．66条B．72条C．74条D．78条 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离e的取值范围是 ． 12．将（n∈N+）的展开式中x﹣4的系数记为an，则= ． 13．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足，则实数λ的值为 ． -20-14．已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是 ． 15．设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为 ；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2022•射洪县校级模拟）设函数f（x）=，其中向量．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，求△ABC外接圆半径R． 17．（12分）（2022•湖南模拟）数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．（1）求{an}的通项公式；（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn． 18．（12分）（2022•聊城二模）如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点．（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；（3）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．-20- 19．（12分）（2022•陕西）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． 20．（13分）（2022•长春模拟）如图，椭圆经过点（0，1），离心率．（l）求椭圆C的方程；（2）设直线x=my+1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′（A′与B不重合），则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由． 21．（14分）（2022•茂名一模）已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）为实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数．（1）求a的值；（2）若g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]及λ所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围；（3）讨论关于x的方程的根的个数． 2022-2022学年山东省实验中学高三（上）第一次诊考数学试卷（理科）-20-参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面内，复数对应的点到直线y=x+1的距离是（ ）A．B．2C．D．考点：复数代数形式的混合运算．分析：化简复数，求出它在复平面内的点的坐标，再用点到直线距离公式求之．解答：解：，复数对应复平面内的点（1，1），它到直线的距离是故选D．点评：本题考查复数代数形式的运算，复数在复平面内对应点，点到直线距离公式，是中档题． 2．不等式﹣x2+|x|+2＜0的解集是（ ）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|x＜﹣2或x＞2}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＜﹣1或x＞1}考点：绝对值不等式．专题：计算题．分析：把原不等式中的x2变为|x|2，则不等式变为关于|x|的一元二次不等式，求出解集得到关于x的绝对值不等式，解出绝对值不等式即可得到x的解集．解答：解：原不等式化为|x|2﹣|x|﹣2＞0因式分解得（|x|﹣2）（|x|+1）＞0因为|x|+1＞0，所以|x|﹣2＞0即|x|＞2解得：x＜﹣2或x＞2．故选B．点评：本题考查一元二次不等式的解法，解题的突破点是把原不等式中的x2变为|x|2，是一道中档题． 3．函数f（x）=lnx+ex（e为自然对数的底数）的零点所在的区间是（ ）A．B．C．（1，e）D．（e，+∞）考点：二分法求方程的近似解．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=lnx+ex在（0，+∞）上单调递增，因此函数f（x）最多只有一个零点．再利用函数零点存在判定定理即可判断出．解答：解：函数f（x）=lnx+ex在（0，+∞）上单调递增，因此函数f（x）最多只有一个零点．当x→0+时，f（x）→﹣∞；又=+=﹣1＞0，-20-∴函数f（x）=lnx+ex（e为自然对数的底数）的零点所在的区间是．故选：A．点评：本题考查了函数零点存在判定定理、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4．给出下列命题①若直线l与平面α内的一条直线平行，则l∥α；②若平面α⊥平面β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β；③∃x0∈（3，+∞），x0∉（2，+∞）；④已知a∈R，则“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件．其中正确命题的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1考点：空间中直线与平面之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：对于①，考虑直线与平面平行的判定定理；对于②，考虑平面与平面垂直的性质定理；对于③，考虑两个集合间的包含关系；对于④，考虑充要条件中条件与结论的互推关系．解答：解：对于①，直线与平面平行的判定定理中的条件是直线在平面外，而本命题没有，故错误；对于②，符合平面与平面垂直的性质定理，故正确；对于③，考虑两个集合间的包含关系（2，+∞）⊊（3，+∞），而x0∈（3，+∞），比如x=4，则4∈（2，+∞），故错误；对于④，由a2＜2a可以得到：0＜a＜2，一定推出a＜2，反之不一定成立，故“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件，此命题正确．综上知②④中的命题正确，故选C．点评：本题考查直线与平面的平行关系的判定，面面垂直的性质定理，集合间的关系以及充要条件概念等，抓住概念的内涵与外延，是解决本类综合题的关键． 5．一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（ ）m3．A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知该几何体是由三个棱长为1的正方体和一个形状为正方体一半的三棱柱构成，即体积为3.5个小正方体体积．-20-解答：解：由三视图可知该几何体是由三个棱长为1的正方体和一个形状为正方体一半的三棱柱构成，即体积为3.5个小正方体体积．即V=点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键 6．将函数向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与，，x轴围成的图形面积为（ ）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；定积分．专题：常规题型；综合题．分析：将函数向右平移个单位，推出函数解析式，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，利用积分求函数y=g（x）与，，x轴围成的图形面积．解答：解：将函数向右平移个单位，得到函数=sin（2x+π）=﹣sin2x，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）=﹣sinx的图象，则函数y=﹣sinx与，，x轴围成的图形面积：﹣+（﹣sinx）dx=﹣cosx+cosx=+1=故选B点评：本题是中档题，考查三角函数图象的平移伸缩变换，利用积分求面积，正确的变换是基础，合理利用积分求面积是近年高考必考内容． 7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）=﹣1，且对任意x∈R，有f（x）=﹣f（2﹣x）成立，则f（2022）的值为（ ）A．1B．﹣1C．0D．2考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．-20-分析：确定f（x）是以4为周期的函数，结合f（1）=0，即可求得f（2022）的值．解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，有f（x）=﹣f（2﹣x）成立，∴f（x+4）=﹣f（2﹣x）=f（x），∴f（x）是以4为周期的函数，∴f（2022）=f（503×4+3）=f（3）=f（1）．∵f（1）=﹣f（1），∴f（1）=0，∴f（2022）=0故选：C．点评：本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法，求得f（1）=0是关键，考查函数的周期性，属于中档题． 8．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（ ）A．﹣2B．0C．1D．2考点：简单线性规划．专题：计算题；压轴题．分析：画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x﹣2y的最大值为2，确定约束条件中a的值即可．解答：解：画出约束条件表示的可行域由⇒A（2，0）是最优解，直线x+2y﹣a=0，过点A（2，0），所以a=2，故选D点评：本题考查简单的线性规划，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题． 9．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）-20-A．B．C．D．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．解答：解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：，故选C．点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想． 10．已知直线ax+by﹣1=0（a，b不全为0）与圆x2+y2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（ ）A．66条B．72条C．74条D．78条考点：直线与圆的位置关系；计数原理的应用．专题：数形结合．分析：先考虑在第一象限找出圆上横、纵坐标均为整数的点有3个，依圆的对称性知，圆上共有3×4=12个点横纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有12个点任取2点确定一条直线，利用计数原理求出直线的总数，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线ax+by﹣1=0不经过原点，如图所示上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线利用总数减去12，再减去6即可得到满足题意直线的条数．解答：解：当x≥0，y≥0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有（1，7）、（5，5）、（7，1），根据题意画出图形，如图所示：根据圆的对称性得到圆上共有3×4=12个点横纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C122=66条，过每一点的切线共有12条，上述直线中经过原点的有6条，如图所示，则满足题意的直线共有66+12﹣6=72条．故选B-20-点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及计数原理的运用．根据对称性找出满足题意的圆上的整数点的个数是解本题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离e的取值范围是 （1，） ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．解答：解：要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1即b＜a∵b=∴＜a，整理得c＜a∴e=＜∵双曲线中e＞1故e的范围是（1，）故答案为（1，）点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率大于1． 12．将（n∈N+）的展开式中x﹣4的系数记为an，则= ．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．-20-分析：由题意根据二项展开式的通项公式求得an==，再用裂项法求和求得=2[1﹣+﹣+…+﹣]的值．解答：解：将（n∈N+）的展开式中x﹣4的系数记为an，则an==，∴=2[1﹣+﹣+…+﹣]=，故答案为：．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 13．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足，则实数λ的值为 ﹣2 ．考点：平行向量与共线向量．专题：计算题；压轴题．分析：将已知向量的等式变形，利用向量加法的平行四边形法则得到的关系，求出λ解答：解：∵，∴∴∴∵∴λ=﹣2故答案为：﹣2点评：本题考查向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则． 14．已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是 n≤9或n＜10 ．-20-考点：程序框图．专题：计算题．分析：通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n的值在执行运算之后还需加1，故判断框内数字应减1，按照题意填入判断框即可．解答：解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构判断框内为满足循环的条件第1次循环，s=1+1=2n=1+1=2第2次循环，s=2+2=4n=2+1=3••当执行第10项时，n=11n的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为进入之前的值故答案为：n≤9或n＜10点评：本题考查程序框图，通过对程序框图的分析对判断框进行判断，属于基础题． 15．设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为 ﹣1 ；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ≤a＜1或a≥2 ．考点：函数的零点；分段函数的应用．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，-20-当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题． 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2022•射洪县校级模拟）设函数f（x）=，其中向量．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，求△ABC外接圆半径R．考点：正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；余弦定理．专题：计算题；综合题．分析：（1）直接把向量代入函数f（x）=，利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为求，利用正弦函数的单调减区间求函数的单调递减区间；利用周期公式求出函数f（x）的最小正周期．（2）已知f（A）=2，求出A的值，通过b=1，△ABC的面积为求出c，再用余弦定理推出△ABC为直角三角形，然后求△ABC外接圆半径R．解答：解：（1）由题意得．-20-所以，函数f（x）的最小正周期为T=π，由得函数f（x）的单调递减区间是（6分）（2）∵，∴，解得，又∵△ABC的面积为．得．再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，解得∴c2=a2+b2，即△ABC为直角三角形．∴（l2分）点评：本题是基础题，考查二倍角公式，两角和的正弦函数，三角函数的最值，周期，以及三角形的知识，是综合题，考查计算能力，常考题型． 17．（12分）（2022•湖南模拟）数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．（1）求{an}的通项公式；（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn．考点：等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题；综合题．分析：（1）由题意可得：an=2Sn﹣1+1（n≥2），所以an+1﹣an=2an，即an+1=3an（n≥2），又因为a2=3a1，故{an}是等比数列，进而得到答案．（2）根据题意可得b2=5，故可设b1=5﹣d，b3=5+d，所以结合题意可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2，进而求出公差得到等差数列的前n项和为Tn．解答：解：（1）因为an+1=2Sn+1，…①所以an=2Sn﹣1+1（n≥2），…②所以①②两式相减得an+1﹣an=2an，即an+1=3an（n≥2）又因为a2=2S1+1=3，所以a2=3a1，故{an}是首项为1，公比为3的等比数列∴an=3n﹣1．（2）设{bn}的公差为d，由T3=15得，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，故可设b1=5﹣d，b3=5+d，又因为a1=1，a2=3，a3=9，并且a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，所以可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2，解得d1=2，d2=﹣10∵等差数列{bn}的各项为正，∴d＞0，∴d=2，∴．-20-点评：本题主要考查求数列通项公式的方法，以及等比数列与等差数列的有关性质与求和． 18．（12分）（2022•聊城二模）如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点．（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；（3）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．考点：平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．专题：证明题；综合题；转化思想．分析：（1）取AB1的中点E，AB的中点F．连接DE、EF、CF．证明DE的平行线CF垂直平面ABB1A1，内的相交直线AB，BB1，即可证明平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）建立空间直角坐标系，求出中的相关向量，直接求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；（3）求平面AB1D的一个法向量，以及平面ABC的一个法向量，利用向量的数量积求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．解答：解：（1）证明：取AB1的中点E，AB的中点F．连接DE、EF、CF．故．又．∴四边形CDEF为平行四边形，∴DE∥CF．又三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱．△ABC为正三角形．CF⊂平面ABC，∴CF⊥BB1，CF⊥AB，而AB∩BB1=B，∴CF⊥平面ABB1A1，又DE∥CF，∴DE⊥平面ABB1A1．又DE⊂平面AB1D．所以平面AB1D⊥平面ABB1A1．（4分）（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则-20-设异面直线AB1与BC所成的角为θ，则，故异面直线AB1与BC所成角的余弦值为，（3）由（2）得，设n=（1，x，y）为平面AB1D的一个法向量．由得，，即（6分）显然平面ABC的一个法向量为m（0，0，1）．则，故．即所求二面角的大小为．（14分）点评：本题考查平面与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，二面角及其度量，考查空间想象能力，计算能力，是中档题． 19．（12分）（2022•陕西）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．-20-分析：（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率可先求其对立事件该选手不被淘汰，即三轮都答对的概率；（Ⅱ）ξ的可能值为1，2，3，ξ=i表示前i﹣1轮均答对问题，而第i次答错，利用独立事件求概率即可．解答：解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai（i=1，2，3），则，，．∴该选手被淘汰的概率===．（Ⅱ）ξ的可能值为1，2，3.，=，P（ξ=3）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=．∴ξ的分布列为ξ123P∴=．点评：本题考查互斥、对立、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识分析问题、解决问题的能力． 20．（13分）（2022•长春模拟）如图，椭圆经过点（0，1），离心率．（l）求椭圆C的方程；（2）设直线x=my+1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′（A′与B不重合），则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．-20-考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题．分析：（1）把点（0，1）代入椭圆方程求得a和b的关系，利用离心率求得a和c的关系，进而联立方程求得a和b，则椭圆的方程可得（2）把直线方程与椭圆方程联立消去y，设出A，B的坐标，则A′的坐标可推断出，利用韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而可表示出A′B的直线方程，把y=0代入求得x的表达式，把x1=my1+1，x2=my2+1代入求得x=4，进而可推断出直线A′B与x轴交于定点（4，0）．解答：解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1．所以，椭圆C的方程是；（2）由得（my+1）2+4y2=4，即（m2+4）y2+2my﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则A′（x1，﹣y1）．且．经过点A′（x1，﹣y1），B（x2，y2）的直线方程为．令y=0，则又∵x1=my1+1，x2=my2+1．∴当y=0时，这说明，直线A′B与x轴交于定点（4，0）．点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．考查了学生基础知识的综合运用． 21．（14分）（2022•茂名一模）已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）为实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数．（1）求a的值；（2）若g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]及λ所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围；-20-（3）讨论关于x的方程的根的个数．考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．专题：计算题．分析：（1）因为定义域是实数集R，直接利用奇函数定义域内有0，则f（﹣0）=﹣f（0）即f（0）=0，即可求a的值；（2）先利用函数g（x）的导函数g'（x）=λ+cosx≤0在[﹣1，1]上恒成立，求出λ的取值范围以及得到g（x）的最大值g（﹣1）=﹣1﹣sin1；然后把g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立转化为﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1（λ≤﹣1），整理得（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（λ≤﹣1）恒成立，再利用一次函数的思想方法求解即可．（3）先把方程转化为=x2﹣2ex+m，令F（x）=（x＞0），G（x）=x2﹣2ex+m（x＞0），再利用导函数分别求出两个函数的单调区间，进而得到两个函数的最值，比较其最值即可得出结论．解答：解：（1）因为函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，所以f（﹣0）=﹣f（0）即f（0）=0，则ln（e0+a）=0解得a=0，a=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；（2）由（1）得f（x）=x所以g（x）=λx+sinx，g'（x）=λ+cosx，因为g（x）在[﹣1，1]上单调递减，∴g'（x）=λ+cosx≤0在[﹣1，1]上恒成立，∴λ≤﹣1，g（x）max=g（﹣1）=﹣λ﹣sin1，只需﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1（λ≤﹣1），∴（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（λ≤﹣1）恒成立，令h（λ）=（t+1）+t2+sin1+1（λ≤﹣1）则，解得t≤﹣1（3）由（1）得f（x）=x∴方程转化为=x2﹣2ex+m，令F（x）=（x＞0），G（x）=x2﹣2ex+m（x＞0），（8分）∵F'（x）=，令F'（x）=0，即=0，得x=e当x∈（0，e）时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，e）上为增函数；当x∈（e，+∞）时，F'（x）＜0，F（x）在（e，+∞）上为减函数；（9分）当x=e时，F（x）max=F（e）=（10分）而G（x）=（x﹣e）2+m﹣e2（x＞0）∴G（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数；（11分）当x=e时，G（x）min=m﹣e2（12分）∴当m﹣e2＞，即m＞e2+时，方程无解；-20-当m﹣e2=，即m=e2+时，方程有一个根；当m﹣e2＜，即m＜e2+时，方程有两个根；（14分）点评：本题主要考查函数奇偶性的性质，函数恒成立问题以及导数在最大值、最小值问题中的应用，是对知识的综合考查，属于难题．在涉及到奇函数定义域内有0时，一般利用结论f（0）=0来作题． 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