高三年级考试数学试题（理科）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.2022.1【题文】一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1.集合等于A.B.C.D.【知识点】集合的并集A1【答案】【解析】A解析：因为，所以，解得，由集合B可得，所以，可得故选A.【思路点拨】由可得进而得到，即可得到集合A,B，再由并集定义求得.【题文】2.已知，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】充分必要条件A2【答案】【解析】A解析：因为由，可得，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选A.【思路点拨】找到不等式的解集为，然后根据“小范围能推大范围，大范围推不出小范围”进行判断.【题文】3.正项等比数列的公比为2，若，则的值是A.8B.16C.32D.64【知识点】等比数列的性质D3【答案】【解析】C解析：因为且等比数列各项为正，由等比中项可得17\n，而可得.故选C【思路点拨】由等比中项可得，再由等比数列公式可得.【题文】4.已知命题：命题.则下列判断正确的是A.p是假命题B.q是真命题C.是真命题D.是真命题【知识点】复合命题的真假A3【答案】【解析】C解析：命题由基本不等式可得为真命题，而命题的解为，所以为假命题，由复合命题的真值表可得C正确.故选C.【思路点拨】由基本不等式可得命题p为真命题，解可得命题q为假命题，再结合复合命题的真值表可得.【题文】5.已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是A.B.C.D.【知识点】空间中的直线与平面的位置关系G4G5【答案】【解析】D解析：A.因为，所以不正确；B.不能确定关系，所以不正确；C.若两平面相交且都平行于交线，也可以满足，所以不正确；D.直线垂直于平面，则过该直线的所有的面都与此面垂直，所以正确.故选D.【思路点拨】A.中直线还可以在平面内；B.中的关系不能确定；C.若两平面相交且都平行于交线，也可以满足；D.由线面垂直的性质定理可得正确.【题文】6.若变量满足条件，则的取值范围为A.B.C.D.17\n【知识点】线性规划E5【答案】【解析】A解析：根据线性条件画出可行域如图：令可得由图像可知当过点时，目标函数有最小值为.故选A.【思路点拨】由线性条件画出可行域，目标函数为是一组平行线，可得当过B点时为最小值.【题文】7.下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是A.B.C.D.【知识点】函数的奇偶性单调性B3B4【答案】【解析】B解析：因为函数当时，，当时，17\n，所以函数为偶函数，排除A,C，且在上单调减，排除D.故选B.【思路点拨】由函数的奇偶性可得为偶函数，由函数的性质可得在上单调减，逐一检验即可.【题文】8.设函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位得函数的图象，则A.上单调递减B.上单调递减C.上单调递增D.上单调递增【知识点】三角函数的图象与性质C4【答案】【解析】A解析：由题意可得：因为最小正周期为，所以可得，即，其图象向左平移个单位得函数，由余弦函数图像的性质可得上单调递减.故选A【思路点拨】由辅助角公式可得，由最小正周期为，可得，由图像的平移变换可得，再由余弦函数图像的性质可得结果.【题文】9.设函数的零点为的零点为，若可以是A.B.17\nC.D.【知识点】函数的零点B9【答案】【解析】D解析：因为且函数为增函数，所以零点在区间内，又因为，所以可得函数的零点在区间内，只有D的零点满足.故选D.【思路点拨】根据零点存在性定理可得零点在区间内，由可得函数的零点在区间内，逐一检验即可.【题文】10.定义在R上的函数满足：的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为A.B.C.D.【知识点】导数的应用B12【答案】【解析】B解析：由题意可得：即函数为增函数，而，所以不等式的解集，即的解集为.故选B.【思路点拨】根据构造不等式，既得函数为增函数，由，可解得不等式解集.【题文】二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.【题文】11.已知向量共线，则t=▲.【知识点】向量共线的坐标表示F2【答案】【解析】解析：由已知可得，由两向量共线的充要条件可得，解得.故答案为17\n【思路点拨】两向量共线的充要条件：可求得.【题文】12.设为锐角，若▲.【知识点】三角变换C7【答案】【解析】解析：因为为锐角，所以可得，所以有，而.故答案为.【思路点拨】通过凑角由，然后利用两角差的正弦展开式求得.【题文】13.若，则=▲.【知识点】定积分B13【答案】【解析】解析：因为，可得.故答案为.【思路点拨】因为为一个常数，所以对整个函数求定积分可得，整理即可求得.【题文】14.已知直线及直线截圆C所得的弦长均为8，则圆C的面积是▲.【知识点】直线与圆的位置关系H4【答案】【解析】17\n解析：因为已知的两条直线平行且截圆C所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离为两直线距离的一半，即，又因为直线截圆C所得的弦长为8，所以圆的半径，所以圆C的面积是.故答案为【思路点拨】根据题意确定圆心在两平行直线的中间，即圆心到直线的距离为两直线距离的一半，由两平行直线的距离求得圆心得到直线的距离，进而由勾股定理可得圆的半径.【题文】15.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是▲.【知识点】三视图正方体的体积G2【答案】【解析】32解析：如图，红色虚线表示截面，可见这个截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半，.故答案为32.【思路点拨】由图像的直观图可得，截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半.【题文】三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.）16.（本小题满分12分）在中，角A、B、C所对的边分别为，且（I）求角C的大小；（II）若，的面积，求a、c的值.【知识点】解三角形C817\n【答案】（I）；（II）1.【解析】解析：（I）由可得：即：即：整理可得：即：又；（II）又故有：即：由正弦定理可得：，由余弦定理可得：即：整理可得：【思路点拨】由正弦定理可得，再由17\n化简即可得到；由面积公式可得，有正弦定理可得，由余弦定理可得.【题文】17.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中，为AB的中点，且（I）求证：；（II）求二面角的平面的正弦值.[学&科【知识点】线线垂直二面角G5G11【答案】（I）略：（II）.【解析】解析：如图：三棱柱为直三棱柱，又平面又为中点又，平面又平面又17\n平面又平面（II）由（I）知，平面，交于点，过A作与点F,连接平面，则为所求二面角的平面角在中，同理可得：故二面角的平面的正弦值为.【思路点拨】通过证明，，，证明平面，进而得到；过A作与点F,连接,则为所求二面角的平面角，在中，求得，同理可得：17\n即可求得.【题文】18.（本小题满分12分）若数列的前n项和为，且满足：.（I）若数列是等差数列，求的通项公式.（II）若，求.【知识点】等差数列的性质数列求和D2D4【答案】（I）；（II）.【解析】解析：（I）由题意可得：设数列的公差为d，当n=1时，即整理可得：(1)当时，即(2)由(1)（2）可得：所以所以等差数列的通项公式为；（II）因为(1)所以：当时，有(2)（1）-（2）可得：，所以【思路点拨】分别令联立解得，即可得；由题意当17\n时，有与已知式子做差，可得，得到数列的的每三项和的特点，进而求和.【题文】19.（本小题满分12分）某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y（单位：万元）与投资（单位：万元）满足：（为常数），且曲线与直线在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像经过点（4，4）.（I）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；（II）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元.问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？（参考数据：）【知识点】导数的应用B12【答案】（I），；（II）当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为21.124万元.【解析】解析：（I）函数的定义域为，且因为点在直线上，故有又曲线与直线在处相切，故有：所以甲产品的利润与投资资金间的函数关系式为：由题意可得乙产品的利润与投资资金间的函数关系式为，将点代入可得，所以乙产品的利润与投资资金间的函数关系式为；（II）设甲产品投资x万元，则乙产品投资（40-x）万元，且则该公司所得利润为：17\n故有令解得令解得所以为函数的极大值点，也是函数的最大值点，(万元)所以：当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为21.124万元.【思路点拨】由已知可得解得可得，将已知点代入可得；设甲产品投资x万元，则乙产品投资（40-x）万元，且则该公司所得利润为：利用导函数求得最值.【题文】20.（本小题满分13分）[]已知椭圆的两个焦点为，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足O为坐标原点.（I）求椭圆的方程;（II）求的最值.【知识点】椭圆方程直线与圆锥曲线H5H8【答案】（I）；（II）.【解析】解析：（I）由椭圆的离心率为，可得：又所以椭圆方程为：；17\n（II）设直线AB的方程为，设联立可得：又，所以当k=0(此时满足上式)，即直线AB平行于x轴时，最小值为-2，当斜率不存在时，有所以将点A坐标代入椭圆方程，可得：所以所以最大值为2，综上所述：最小值为-2，最大值为2.17\n【思路点拨】由离心率为，可得：，由椭圆的定义可得，即可求得；只需与椭圆方程联立可得，由可得即，再由直线可得，列的等式解得，因为，，当斜率不存在时，，所以可得其范围.【题文】21.（本小题满分14分）设函数.（I）当时，求的极值；（II）设A、B是曲线上的两个不同点，且曲线在A、B两点处的切线均与轴平行，直线AB的斜率为，是否存在，使得若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.【知识点】导数的应用B12【答案】（I）（II）故不存在这样的m使得.【解析】解析：（I）函数的定义域为（I）当时，17\n令解得：或所以，当x变化时，变化情况如下表：由上表可知：（II）设令由题意可得，所以所以为方程的两个根故，且即若存在实数m使得则所以即：，又17\n令所以在上单调递减，所以即：与矛盾故不存在这样的m使得【思路点拨】对函数求导，令导函数为零，解得零点，由左右单调性判断是否为极值，即可求得极值；令由题意可得为方程的两个根，若存在实数m使得则所以即：，又令，可证得，故不存在这样的m使得.17
