2022-2022学年山东省济宁市曲阜市高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．若集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B()A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．（1，+∞）2．如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是()A．B．C．ab＞b2D．a2＞ab3．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A=60°，c=4，a=4，则此三角形有()A．两解B．一解C．无解D．无穷多解4．已知等差数列{an}和等比数列{bn}，它们的首项是一个相等的正数，且第3项也是相等的正数，则a2与b2的大小关系为()A．a2≤b2B．a2≥b2C．a2＜b2D．a2＞b25．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则=()A．2B．C．D．36．已知在数列{an}中，an=，其前n项和为，则在平面直角坐标系中直线nx+y+（n+1）=0在y轴上的截距是()A．﹣10B．﹣9C．10D．97．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若△ABC的面积S=，则角C的大小是()A．90°B．60°C．45°D．30°8．已知等差数列的前n项和为Sn，且S15＞0，S16＜0，则此数列中绝对值最小的项为()A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项9．对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，+∞）C．[﹣2，2]D．[0，+∞）14\n10．已知x，y满足，则z=的取值范围为()A．（﹣1，]B．（﹣∞，﹣1）∪[，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）二、填空题：每小题5分，共25分．11．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2=a2+ac+c2，则角B=__________．12．在数列{an}中，若a1=3，an+1=an+2（n≥1且n∈N*），则数列{an}的前n项和S12=__________．13．已知数列{an}的前n项和为Sn=3n﹣2，则an=__________．14．设x＞0，y＞0且x+y=1，则的最小值为__________．15．定义在R上的运算：x*y=x（1﹣y），若不等式（x﹣y）*（x+y）＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是__________．三、解答题：共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，cosA=，bc=182．（1）求△ABC的面积；（2）若c﹣b=1，求a的值．17．已知在等差数列{an}中，a1=﹣31，Sn为数列{an}的前n项和，S10=S22．（1）求{an}的通项公式，并判断2022是否是数列{an}的项；（2）这个数列前多少项的和最小，最小值是多少？18．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，（1）求a，b；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．19．在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若•=4，b=4，求边a，c的值．14\n20．（13分）某化工企业2022年底投入169万元，购入一套污水处理设备，该设备每年的运转费用是0.7万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；（2）问该企业几年后重新更换新的污水处理设备最合算（即年平均污水处理费用最低）？平均最低费用是多少？21．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2=2an，且数列{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前2n项和T2n；（3）求数列{an•bn}的前n项和Rn．14\n2022-2022学年山东省济宁市曲阜市高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．若集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B()A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．（1，+∞）【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【专题】计算题；函数的性质及应用；集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A=（0，2），由B中y=lg（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴B=（1，+∞），则A∩B=（1，2），故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是()A．B．C．ab＞b2D．a2＞ab【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由a＞b＞0，可得ab＞0且a2＞b2＞0，利用不等式的性质2“不等式的两边同乘（除）一个正数，不等号方向不变”，逐一分析四个答案的正误，可得答案【解答】解：∵a＞b＞0，∴ab＞0∴，即，故A答案正确；∴a2＞b2＞0，即＞，即，故B答案正确；∴ab＞b2，故C答案正确；∴a2＞ab，故D答案正确；故不等式中不正确的是B故选B【点评】本题考查的知识点是不等式与不等关系，熟练掌握不等式的性质是解答的关键．3．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A=60°，c=4，a=4，则此三角形有()A．两解B．一解C．无解D．无穷多解【考点】解三角形．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】由三角形的知识可判三角形为正三角形，可得一解．14\n【解答】解：由等边对等角可得C=A=60°，由三角形的内角和可得B=60°，∴此三角形为正三角形，唯一解．故选：B【点评】本题考查三角形解得个数的判断，涉及等边对等角和三角形的内角和，属基础题．4．已知等差数列{an}和等比数列{bn}，它们的首项是一个相等的正数，且第3项也是相等的正数，则a2与b2的大小关系为()A．a2≤b2B．a2≥b2C．a2＜b2D．a2＞b2【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】设出两数列的首项为a，第三项为b（a＞0，b＞0），利用等差数列及等比数列的性质分别表示出a2与b2，由a与b都大于0，可得a2大于0，当b2小于0时，显然a2大于b2；当b2大于0时，利用基本不等式可得a2大于等于b2，综上，得到a2大于等于b2．【解答】解：根据题意设出两数列的首项为a，第三项为b（a＞0，b＞0），可得：2a2=a+b，b22=ab，又a＞0，b＞0，∴a2=＞0，当b2＜0时，b2=﹣＜0，显然a2＞b2；当b2＞0时，b2=，∵≥，∴a2≥b2，综上，a2与b2的大小关系为a2≥b2．故选B【点评】此题考查了等差数列的性质，等比数列的性质，以及基本不等式的运用，利用了分类讨论的思想，是高考中常考的题型．5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则=()A．2B．C．D．3【考点】等比数列的前n项和．【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案．【解答】解：设公比为q，则===1+q3=3，所以q3=2，所以===．14\n故选B．【点评】本题考查等比数列前n项和公式．6．已知在数列{an}中，an=，其前n项和为，则在平面直角坐标系中直线nx+y+（n+1）=0在y轴上的截距是()A．﹣10B．﹣9C．10D．9【考点】数列与解析几何的综合．【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列；直线与圆．【分析】由an==﹣，运用裂项相消求和，可得前n项和为Sn=1﹣，由题意解方程可得n=9，再令直线方程中x=0，解得y，即为所求．【解答】解：an==﹣，前n项和为Sn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，由题意可得1﹣=，解得n=9，直线nx+y+（n+1）=0，即为9x+y+10=0，令x=0，可得y=﹣10．故选：A．【点评】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查直线的截距的求法，以及运算能力，属于基础题．7．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若△ABC的面积S=，则角C的大小是()A．90°B．60°C．45°D．30°【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题；函数思想；解三角形．【分析】直接利用三角形的面积以及余弦定理求解即可．【解答】解：a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，△ABC的面积S=，可得=，可得sinC==cosC，14\n∴C=45°．故选：C．【点评】本题考查余弦定理以及三角形的面积的求法，考查计算能力．8．已知等差数列的前n项和为Sn，且S15＞0，S16＜0，则此数列中绝对值最小的项为()A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项【考点】等差数列的性质．【专题】函数思想；整体思想；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的求和公式和性质可得a8＞0，a8+a9＜0，结合等差数列的通项公式为n的一次函数可得结论．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得S15===15a8＞0，∴a8＞0同理可得S16==8（a8+a9）＜0，∴a8+a9＜0，结合a8＞0可得a9＜0且|a8|＜|a9|，故选：D【点评】本题考查等差数列的性质，涉及求和公式，属基础题．9．对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，+∞）C．[﹣2，2]D．[0，+∞）【考点】基本不等式；函数恒成立问题；二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】当x=0时，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，当x≠0时，则有a≥﹣（|x|+）恒成立，故a大于或等于﹣（|x|+）的最大值．再利用基本不等式求得（|x|+）得最大值，即可得到实数a的取值范围．【解答】解：当x=0时，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，当x≠0时，则有a≥=﹣（|x|+），故a大于或等于﹣（|x|+）的最大值．由基本不等式可得（|x|+）≥2，∴﹣（|x|+）≥﹣2，即﹣（|x|+）的最大值为﹣2，故实数a的取值范围是[﹣2，+∞），故选B．【点评】本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．14\n10．已知x，y满足，则z=的取值范围为()A．（﹣1，]B．（﹣∞，﹣1）∪[，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；定义法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义是区域内的点到定点D（0，﹣5）的斜率，由图象z≥kAD，或k＜kBC=﹣1，由得，即A（3，8），此时kAD==，故z≥，或k＜﹣1，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线的斜率公式结合数形结合是解决本题的关键．二、填空题：每小题5分，共25分．11．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2=a2+ac+c2，则角B=120°．【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．14\n【分析】根据题意由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可求得cosB的值，再利用B为△ABC中的角，即可求得B．【解答】解：∵在△ABC中，b2=a2+ac+c2，又b2=a2+c2﹣2accosB∴﹣2accosB=ac，∴cosB=﹣，又∠A为△ABC中的角，∴A=120°．故答案为：120°．【点评】本题考查余弦定理，考查学生记忆与应用公示的能力，属于基础题．12．在数列{an}中，若a1=3，an+1=an+2（n≥1且n∈N*），则数列{an}的前n项和S12=168．【考点】等差数列的前n项和．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a1=3，an+1=an+2（n≥1且n∈N*），∴数列{an}是等差数列，首项为3，公差为2．其前n项和S12=12×3+×2=168．故答案为：168．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．已知数列{an}的前n项和为Sn=3n﹣2，则an=．【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】依题意，分n=1与n≥2讨论，即可求得答案．【解答】解：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣2﹣3n﹣1+2=2•3n﹣1，当n=1时，a1=31﹣2=1≠2=2•30，即n=1时，a1=1不符合n≥2时的关系式an=2•3n﹣1，∴an=．故答案为：【点评】本题考查求数列的通项公式，考查分类讨论思想在解决问题中的应用，属于中档题．14．设x＞0，y＞0且x+y=1，则的最小值为9．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．14\n【分析】先把转化成=（）•（x+y）展开后利用均值不等式进行求解，注意等号成立的条件．【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y=1，∴=（）•（x+y）=1+4++≥5+2=9，当且仅当=，即x=3，y=6时取等号，∴的最小值是9．故答案为：9．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则．属于基础题．15．定义在R上的运算：x*y=x（1﹣y），若不等式（x﹣y）*（x+y）＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是．【考点】不等式的综合．【专题】综合题．【分析】由题意可得，（x﹣y）*（x+y）=（x﹣y）（1﹣x﹣y）＜1对于任意的x都成立，即y2﹣y＜x2﹣x+1对于任意的x都成立，构造函数g（x）=x2﹣x+1，只要y2﹣y＜g（x）min即可．【解答】解：由题意可得，（x﹣y）*（x+y）=（x﹣y）（1﹣x﹣y）＜1对于任意的x都成立即y2﹣y＜x2﹣x+1对于任意的x都成立设g（x）=x2﹣x+1=（x﹣）2+所以，g（x）min=所以y2﹣y＜所以﹣＜y＜所以实数y的取值范围是故答案为：【点评】本题以新定义为载体考查了函数的恒成立问题的求解，解题的关键是把恒成立问题转化为求函数的最值问题，体现了转化思想的应用．三、解答题：共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，cosA=，bc=182．（1）求△ABC的面积；（2）若c﹣b=1，求a的值．【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．14\n【分析】（1）由已知及同角三角函数关系式可求sinA的值，由三角形面积公式即可求值得解．（2）由bc=182，c﹣b=1，可得c，b的值，利用余弦定理即可求得a的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由cosA=，解得sinA==…3分∵bc=182，∴△ABC的面积S=bcsinA=35…6分（2）由bc=182，c﹣b=1，可得c=14，b=13，∴a2=b2+c2﹣abccosA=13=29…10分∴a=…12分【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查了三角形面积公式，余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．17．已知在等差数列{an}中，a1=﹣31，Sn为数列{an}的前n项和，S10=S22．（1）求{an}的通项公式，并判断2022是否是数列{an}的项；（2）这个数列前多少项的和最小，最小值是多少？【考点】数列的求和；数列的函数特性．【专题】方程思想；数学模型法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a1=﹣31，S10=S22．利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）令an=﹣31+2（n﹣1）=2n﹣33≤0，解得n即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a1=﹣31，S10=S22．∴﹣31×10+=﹣31×22+，解得d=2．∴an=﹣31+2（n﹣1）=2n﹣33．假设2022=2n﹣33，解得n=1024，因此2022是数列{an}的第1024项．（2）令an=﹣31+2（n﹣1）=2n﹣33≤0，解得n．∴当n=﹣16时，这个数列前16项的和最小．S16=﹣31×16+=﹣256．【点评】本题考查了等差数列通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，（1）求a，b；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；分类讨论．14\n【分析】（1）一元二次不等式解集的端点就是对应一元二次方程的根，再利用一元二次方程根与系数的关系解出a，b．（2）先把一元二次不等式变形到（x﹣2）（x﹣c）＜0，分当c＞2时、当c＜2时、当c=2时，三种情况求出此不等式的解集．【解答】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，且b＞1．由根与系的关系得，解得，所以得．（2）由于a=1且b=2，所以不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，即x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0．①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．综上所述：当c＞2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；当c＜2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；当c=2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为∅．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．19．在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若•=4，b=4，求边a，c的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值．（2）由•=4可得ac=12，再由余弦定理可得a2+c2=40，由此求得边a，c的值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵bcosC=（3a﹣c）cosB，由正弦定理可得sinBcosC=（3sinA﹣sinC）cosB，∴3sinA•cosB﹣sinC•cosB=sinBcosC，化为：3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．∵在△ABC中，sinA≠0，故cosB=．（2）由•=4，b=4，可得，a•c•cosB=4，即ac=12．…①．再由余弦定理可得b2=32=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣，即a2+c2=40，…②．由①②求得a=2，c=6；或者a=6，c=2．综上可得，，或．【点评】本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理、余弦定理的运用，考查两角和公式．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．14\n20．（13分）某化工企业2022年底投入169万元，购入一套污水处理设备，该设备每年的运转费用是0.7万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；（2）问该企业几年后重新更换新的污水处理设备最合算（即年平均污水处理费用最低）？平均最低费用是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据x年的总费用除以年数x可得到年平均污水处理费用，可得到关系式．（2）将关系式化简为y=x++1.7（x＞0），根据均值不等式可求出年平均费用的最低值和对应的年数．【解答】解：（1）由题意可知，年平均污水处理费用为：y==（x＞0）；（2）由均值不等式得：y=x++1.7≥2+1.7=27.7（万元）当且仅当x=，即x=13时取到等号所以该企业13年后需要重新更换新设备，平均最低费用是27.7（万元）．【点评】本土主要考查均值不等式的应用．考查对基础知识的理解和认识．属中档题．21．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2=2an，且数列{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前2n项和T2n；（3）求数列{an•bn}的前n项和Rn．【考点】数列的求和．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由Sn+2=2an，当n≥2时，Sn﹣1+2=2an﹣1，可得an=2an﹣1．当n=1时，a1+2=2a1，解得a1．利用等比数列的通项公式可得an．利用等差数列的通项公式可得bn．（2）由cn=an+bn，当n=2k（k∈N*）时，cn=b2k=2n﹣1；当n=2k﹣1（k∈N*）时，cn=a2k=2n．可得数列{cn}的前2n项和T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）．（3）an•bn=（2n﹣1）•2n．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵Sn+2=2an，∴当n≥2时，Sn﹣1+2=2an﹣1，可得an=2an﹣2an﹣1，化为an=2an﹣1．当n=1时，a1+2=2a1，解得a1=2．∴数列{an}是等比数列，首项与公比为2，∴an=2n．14\n∵数列{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2．∴数列{bn}是等差数列，首项为1，公差为2．∴bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）由cn=an+bn，当n=2k（k∈N*）时，cn=c2k=b2k=2n﹣1；当n=2k﹣1（k∈N*）时，cn=a2k=2n．∴数列{cn}的前2n项和T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）=（21+23+…+22n﹣1）+[（2×2﹣1）+（2×4﹣1）+…+（4n﹣1）]==+2n2+n．（3）an•bn=（2n﹣1）•2n．数列{an•bn}的前n项和Rn=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n．2Rn=22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，∴﹣Rn=2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1=﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=（3﹣2n）×2n+1﹣6，∴Rn=（2n﹣3）×2n+1+6．【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．14
