山东省部分重点中学2022届高三第二次调研联考数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。注意事项：1.考生务必用黑色0.5mm签字笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将答题卡上的准考证号2B铅笔涂写。2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不涂在答题卡上，只答在试卷上无效。3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．试题不交，请妥善保存，只交答题卡。第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。1.设集合，集合，则（）A．B．C．D．2.已知，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．3.为不重合的直线，为不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．则B．则C．则D．则4.已知点是函数图像与轴的一个交点，为点右侧同一周期上的最大和最小值点，则（）A．B．C．D．14\n5.已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．1D．26.已知x，y满足约束条件，则的最大值为()A．B．1C．7D．7.设为等差数列的前项和，，，若的的前项和为，则的值为（）A．8B．9C．10D．118.下列命题正确的是（）A．在三角形ABC中，，则边B．若对任意正整数，有，则数列为等比数列C．向量数量积，则夹角为钝角D．为函数的极值点的充要条件是9.为得到函数的图像，只需把函数的图像（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位10.若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数的图象上；②14\nP，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”)。已知函数，有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是（）A．B．（0，1）C．（0，）D．第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分。11.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，则数列的通项公式为12.定积分=13.已知三点A（1,2），B（3，5），C（5,6），则三角形ABC的面积为14.不等式，对任意恒成立，则实数的取值范围是15.设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为三、解答题：本大题共6个小题，满分75分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。16．（本题满分12分）已知命题p：函数的定义域为R，命题q：关于x的方程的两个实根均大于3.若“p或q”为真，“p且q“为假，求实数a的取值范围．17.（本题满分12分）如图甲，直角梯形中，，，点、分别在、上，且，，，，现将梯形沿折起，使平面与平面垂直（如图乙）．14\n（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）当DN的长为何值时，二面角的大小为。18.（本题满分12分）已知向量，，函数.(1)若，，求的值;(2)在中，角对边分别是，且满足，求的取值范围。19.（本题满分12分）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？14\n20.（本题满分13分）已知数列满足：，正项数列满足，若是公比为2的等比数列（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）为的前项和，且恒成立，求正整数的最小值．21.（本题满分14分）已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝x2－2x，若对任意x1∈(0，2]，均存在x2∈(0，2]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．山东省部分重点中学2022届高三第二次调研联考数学（理）试题参考答案1.【答案】C【解析】，，则【考点】集合的运算2.【答案】D【解析】只有在时，A有意义，所以A错；B选项需要同号，B错；C只有时正确；因为所以D正确【考点】不等式的性质3.【答案】D【解析】【考点】线面位置关系4.【答案】B【解析】可取，，，所以【考点】三角函数“五点法”作图，向量数量积14\n5.【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为1cm的四棱锥，如图，【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积6.【答案】C【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x-3y表示直线在y轴上的截距的-3倍，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值的点,代入即可．作图，易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是7【考点】简单线性规划7.【答案】B【解析】设数列的首项为，公差为，，，14\n又因为，所以=9【考点】裂项相消法求和8.【答案】A【解析】由正弦定理，，A正确；等比数列任意项不能为零，B错误；当向量反向共线时，数量积，C错误；为函数的极值点需要且附近单调性相反，D错。【考点】正弦定理，等比数列，向量，极值9.【答案】A【解析】，要得到函数的图像，只需向右平移个单位【考点】图像平移10.【答案】B【解析】根据题意可知，“伙伴点组”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y=（x＜0）关于原点对称的函数y=（）的图象，使它与函数y=（）交点个数为2个即可．利用导数可求得函数y=（）过点的切线斜率为1，结合图象可知时有两个交点．【考点】函数的性质、数形结合、切线斜率．11.【答案】【解析】由图可知，，由累加法可得【考点】数列的通项公式、累加法12.【答案】【解析】=，其中等于的面积S=，=2=414\n【考点】定积分的几何意义13.【答案】2【解析】则【考点】三角形面积，向量的模长、夹角14.【答案】【解析】方法一：令，当时，不等式为不合题意；当时，需，解得；综上方法二：，【考点】不等式恒成立问题15.【答案】【解析】令∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（-∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数．等价于即，∴，解得【考点】函数奇偶性、单调性、导数的综合应用16．【解析】若真，则，-----------------2分14\n若真，令，则应满足-------4分-----------6分又由题意可得p真q假或p假q真-------------7分(1)若p真q假，则------------9分（2）若p假q真，则--------11分综上可得，a的取值范围是------------12分【考点】对数函数的定义域，一元二次方程根的分布，集合的运算，简易逻辑17. 【解析】（Ⅰ）MB//NC，MB平面DNC，NC平面DNC，MB//平面DNC．…………………2分同理MA//平面DNC，----------------3分又MAMB=M,且MA,MB平面MAB．14\n---------------5分（Ⅱ）解法一：过N作NH交BC延长线于H，连DH，平面AMND平面MNCB，DNMN, …………………7分DN平面MBCN，,从而,为二面角D-BC-N的平面角． = …………………9分 由MB=4，BC=2，知60º，． sin60º= …………………11分 由条件知： ----------- 12 分 （II）解法二：如图，以点N为坐标原点，以NM，NC，ND所在直线分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系易得NC=3，MN=，----------------------6分设，则．14\n设平面DBC的法向量，则，令，则， ∴-． ------------------ （8分）又平面NBC的法向量． ------------------ （9分） …………………11分即： 又即 …………………12【考点】线面平行，面面垂直，二面角18.【解析】(1)---------------------------------2分--------------------------4分14\n--------------------------6分（2）由，得--------------------------------------------8分--------------------------------------------9分------------------------------------------------10分从而得故----------------------12分【考点】向量数量积的坐标运算，三角恒等变换，正余弦定理，求三角函数的值域。19.【解析】(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，-----------------4分当且仅当x＝，即x＝300时等号成立，-------------------5分故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为100元．----------------------------6分(2)获利．设该单位每月获利为S元，则S＝200x－y＝－x2＋400x－45000＝－(x－400)2+35000，--------------9分因为x∈[300，600]，所以S∈[15000，35000]．-----------------11分故该单位每月获利，最大利润为35000元。-----------------------12分【考点】基本不等式，二次函数20.【解析】（Ⅰ），数列奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，公比都是2.--------------------2分14\n-------------------6分（Ⅱ）当是偶数时=------------------8分由得，--------------9分当是奇数时--------------------11分由得--------------12分综上可得，---------------------13分【考点】数列递推公式，数列求和，不等式21.【解析】 f′(x)＝ax－(2a＋1)＋(x＞0)．-----------------1分(1)由题意知f′(1)＝f′(3)，即a－(2a＋1)＋2＝3a－(2a＋1)＋，解得a＝.-----------------3分(2)f′(x)＝(x＞0)．-----------------4分①当a≤0时，∵x＞0，∴ax－1＜0，在区间(0，2)上，f′(x)＞0；在区间(2，＋∞)上，f′(x)＜0，故f(x)的单调递增区间是(0，2)，单调递减区间是(2，＋∞)．-----------------5分②当0＜a＜时，＞2，在区间(0，2)和上，f′(x)＞0；在区间上f′(x)＜0，故f(x)的单调递增区间是(0，2)和，单调递减区间是.-----------------6分14\n③当a＝时，f′(x)＝≥0，故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．-----------------7分④当a＞时，0＜＜2，在区间和(2，＋∞)上，f′(x)＞0；在区间上，f′(x)＜0，故f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)，单调递减区间是.-----------------8分(3)由题意知，在(0，2]上有f(x)max＜g(x)max.-----------------9分由已知得g(x)max＝0，由(2)可知，①当a≤时，f(x)在(0，2]上单调递增，故f(x)max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2＝－2a－2＋2ln2，所以－2a－2＋2ln2＜0，解得a＞ln2－1，故ln2－1＜a≤.-----------------11分②当a＞时，f(x)在上单调递增；在上单调递减，故f(x)max＝f＝－2－－2lna.由a＞可知lna＞ln＞ln＝－1，所以2lna＞－2，即－2lna＜2，所以，－2－2lna＜0，-----------------13分所以f(x)max＜0，综上所述，a＞ln2－1.-----------------14分【考点】导数的综合应用，分类讨论14
