2022-2022学年第一学期高二期中测试数学试题（满分150分，时间120分钟）一、选择题(每题5分，共60分)1、过点且与直线垂直的直线方程是（ ）A. B. C. D. 2、若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3、若直线与直线垂直，则的值是（ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 或14、a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若bM，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确命题的个数有（）A、0个B、1个C、2个D、3个5、点P为ΔABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是ΔABC的（）A、内心B、垂心C、重心D、外心6.如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图△A′B′O′，已知O′B′＝4，A′B′∥y′轴，且△ABO的面积为16，则A′O′的长为()A．4B．4C.2D.807.已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥的底面圆的直径是80cm，则这块扇形铁皮的半径是( )A．48cmB．24cmC．96cmD．192cm8\n8.四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别是1、2，侧棱长为，则该四棱台的高为()A．B．C.D．9.如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为 B. C. D. 10、某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A. B. C. D. 11.如图，在透明塑料制成的长方体－容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：(1)水的部分始终呈棱柱状；(2)水面四边形EFGH的面积不改变；(3)棱始终与水面EFGH平行(4)当点E在上时，AE＋BF是定值．其中正确的说法是( )A．（1）（2）（3）B．（1）（3）C．（1）（2）（3）（4）D．（1）（3）（4）12、如图:直三棱柱ABC—的体积为V，点P、Q分别在侧棱A和C上，AP=Q，则四棱锥B—APQC的体积为()A、B、C、D、8\n二、填空题（每题5分，共20分）13.不论k为何值，直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）=0恒过的一个定点是________．14.若两条直线x+ay+3=0，（a﹣1）x+2y+a+1=0互相平行，则这两条直线之间的距离为________．15、圆锥的底面直径为AB＝6，母线SB＝9，D为SB上一点，且SD＝SB，则点A沿圆锥表面到D点的最短距离为______16、将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°其中正确结论的序号______．三、解答题（本题六小题，共70分））17、（10分）已知直线经过点且圆的圆心到的距离为.（1）求直线被该圆所截得的弦长；（2）求直线的方程.18、（12分）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点与点.（1）求圆的方程；（2）过点作圆的切线，求切线所在的直线的方程.19.(12分)如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－的棱BC、C、A的中点．求证：(1)GE∥平面BD(2)平面BDF∥平面H8\n20、(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．21、(12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．22、（12分）在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．(1)求证：DE∥平面ACF；(2)求证：BD⊥AE；(3)若AB＝CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．8\n2022-2022学年第一学期高二期中测试数学答案一、选择题（每题5分，共60分）CCBBDBAABADB二、填空题(每题5分，共20分)13、（2，3）14、15、_316、_①②④_三、解答题17、（1）解：易得圆心坐标为（0，-2），半径为5所以弦长为2（2）解：易知，当直线的的斜率不存在时，不满足题意.设直线的的斜率为k，则其方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0因为圆心到的距离为，所以解得k=2或所以直线的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=018、（1）解：设线段的中点为，∵，∴线段的垂直平分线为，与联立得交点，∴.∴圆的方程为（2）解：当切线斜率不存在时，切线方程为.当切线斜率存在时，设切线方程为，即，则到此直线的距离为，解得，∴切线方程为.故满足条件的切线方程为或19、证明 (1)取B1D1中点O，连接GO，OB，易证OGB1C1，BEB1C1，∴OGBE，四边形BEGO为平行四边形．∴OB∥GE.∵OB⊂平面BDD1B1，GE⊄平面BDD1B1，∴GE∥平面BDD1B1.8\n(2)由正方体性质得B1D1∥BD，∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.连接HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，∴HD1∥BF.∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.20、(1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝.∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM.∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝，AM＝，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．∴tan∠PME＝＝＝1，∴∠PME＝45°.∴二面角P－AM－D的大小为45°.21、(1)如图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.(2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF.8\n由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE.由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，由题意，知∠PBA＝∠BPF，因为sin∠PBA＝，sin∠BPF＝，所以PA＝BF.由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2.在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以BG＝＝2，BF＝＝＝.于是PA＝BF＝.又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝.22、(1)证明 连接OF.由ABCD是正方形可知，点O为BD的中点．又F为BE的中点，∴OF∥DE.又OF⊂平面ACF，DE⊄面ACF，所以DE∥平面ACF.(2)证明 由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴EC⊥BD.由ABCD是正方形可知，AC⊥BD.又AC∩EC＝C，AC，EC⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE.又AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE.(3)解 在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE.理由如下：取EO的中点G，连接CG.在四棱锥E－ABCD中，AB＝CE，CO＝AB＝CE，∴CG⊥EO.由(2)可知，BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE＝EO.∵CG⊥EO，CG⊂平面ACE，∴CG⊥平面BDE.故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE.由G为EO的中点，得＝.8\n8
