2022年高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。参考公式：（是锥体的底面积，是锥体的高）第一部分选择题（共40分）一．选择题（本大题共8道小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的）1．已知集合，集合，则集合()A.B.C.D.2．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为( )A．2B．3C．4D．53．已知向量，向量，若，则为（）A．（-2，2）B．（-6，3）C．（2，-1）D．（6，-3）4．直线：与圆O：相交于A，B两点，则“”是“△OAB的面积为”的( )9\nA．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件5．直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于()A.B.C.D.6．在中，点M是BC中点，若，，则的最小值是（）A.B.C.D.7．若函数满足＝，且当时，，则的大小关系为()A.B.C.D.8．已知双曲线的左焦点，过点F作圆：的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.第二部分非选择题（110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。9．计算_________10、已知函数则=_________11．已知椭圆，其焦距为，长轴长是焦距的倍，的一个等比中项为，则________9\n12．在平面直角坐标系中，设D是由不等式组表示的区域，E是到原点的距离小于或等于1的点构成的区域，若向区域E中随机投一点，则所投点落在区域D中的概率是_________13、已知为锐角三角形，且满足，则实数t的取值范围是_________．14、数列中，，且，则数列的前2022项的和为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分12分）已知向量．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若为锐角，且，求的值16.（本题满分12分）甲、乙两所学校高二年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高二年级学生在该地区四校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校:分组[70,80）[80,90）[90,100）[100,110）频数34815分组[110,120）[120,130）[130,140）[140,150]频数1532 乙校： 分组[70,80）[80,90）[90,100）[100,110）频数1289分组[110,120）[120,130）[130,140）[140,150]频数10103 （Ⅰ）计算，的值；（Ⅱ）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；（Ⅲ）若规定考试成绩在[140,150]内为特优,甲、乙两所学校从抽取的59\n张特优试卷中随机抽取两张进行张贴表扬,求这两张试卷来自不同学校的概率.17.（本题满分14分）已知梯形中，，，、分别是、上的点，，．沿将梯形翻折，使平面⊥平面(如图)．是的中点．（Ⅰ）当时，求证：⊥；（Ⅱ）当变化时，求三棱锥的体积的最大值．18.（本题满分14分）已知函数.（Ⅰ）若，使,求实数的取值范围;（Ⅱ）设,且在上单调递增,求实数的取值范围.19．（本题满分14分）数列的前项和为，数列是首项为，公差不为零的等差数列,且成等比数列．（1）求的值；（2）求数列与的通项公式；（3）求证：．20.（本题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，椭圆上的动点到直线的最小距离为2，延长至使得，线段上存在异于的点满足.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求点的轨迹的方程；（Ⅲ）求证：过直线上任意一点必可以作两条直线与9\n的轨迹相切，并且过两切点的直线经过定点.2022年高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考理科数学答案一、选择题1.A2.C3.B4.A5.C6.D7.A8.B二．填空题9.10.11.212．13.14．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解：（1）……………2分…………3分.…………4分所以的最小正周期为．……………6分(2)∵,∴.∴.……8分∵为锐角，即,∴.∴.……10分∴.……12分16.解：（1）甲校抽取110×60人，……1分乙校抽取110×=50人，…2分故x＝10，y＝7，……4分（2）估计甲校优秀率为，…5分乙校优秀率为＝40%.……6分9\n（3）设甲校的2张特优试卷为:乙校3张特优试卷为,则从5张特优试卷中随机抽取两张共10种可能.如下:,,,,,,……9分两张试卷来自不同学校有6种可能:………11分所以这两张试卷来自不同学校的概率为:…………12分17.（1）证明：作，垂足，连结，， ……2分∵平面平面，交线，平面，∴平面，又平面，故．……4分∵，，．∴四边形为正方形，故．…………6分又、平面，且，故平面．又平面，故．…………8分 （1）方法一：∵平面平面，xyzAE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E-xyz．，又为BC的中点，BC=4，．则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），（－2，2，2），（2，2，0），（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴．………………8分 （2）解：∵，平面平面，交线，平面．∴面．又由（1）平面，故，……10分∴四边形是矩形，，故以、、、为顶点的三棱锥的高．…………11分又．…………12分∴三棱锥的体积9\n…………14分18.解：（1）解：由,，得,使，………3分所以，或；………7分（2）解：由题设得………10分或………13分或………14分19解析：（1）∵，∴当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得．-----------------3分（2）当时，，-----------------5分得又，，∴数列{}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以数列{}的通项公式为．-----------------6分，设公差为，则由成等比数列，得，-----------------7分解得（舍去）或，----------------8分所以数列的通项公式为．-----------------9分（3）令，，-----------------11分两式式相减得，9\n∴，-----------------13分又，故．-----------------14分20、解：（1）依题意得，…………………………………2分解得，∴……………………3分椭圆的方程为…………4分（2）解法1：设点的坐标为.当重合时，点坐标为和点，…………………5分当不重合时，由，得.………6分由及椭圆的定义，，……7分所以为线段的垂直平分线，为线段的中点在中，，…………8分所以有.综上所述，点的轨迹的方程是.………………9分解法2：设点的坐标为.当重合时，点坐标为和点，……………5分当不重合时，由，得.……6分由及椭圆的定义，，……7分所以为线段的垂直平分线，为线段的中点9\n设点的坐标为，则，因此①……………8分由,得,②将代入，可得.综上所述，点的轨迹的方程式.③………9分（3）直线与相离，过直线上任意一点可作圆的两条切线…10分所以所以四点都在以为直径的圆上，……11分其方程④…………12分为两圆的公共弦，③-④得：的方程为………13分显然无论为何值，直线经过定点.………14分9
