揭阳市2022年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．导数公式：若，则；若，则．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则中元素的个数为A．5B．6C．7D．82．已知复数，则在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．双曲线的离心率为A.B.C.2D.5．已知，若，则的值为A.B.2C.D.6．已知函数的图象经过点，则其反函数的解析式为A.B.C.D.7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为A.8B.12C.20D.308．不等式组表示的平面区域的面积为图1A.14B.5C.3D.79．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是A.若；B.若；C.若；D.若.10.对任意的、，定义：=；=.则下列各式中恒成立的个数为①②③④A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11－13题）11．不等式的解集为．12．在△ABC中，的对边分别为，若，，，则．13．已知函数对应的曲线在点处的切线与轴的交点为，若，则．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为.15．（几何证明选讲选做题）如图2，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知则BC边的长为．图2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.(本小题满分12分)已知函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）若，，求的值.17.(本小题满分12分)图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图.图3（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即，以此类推）图418．（本小题满分14分）如图5，已知中，，，⊥平面，、分别是、的中点．（1）求证：平面⊥平面；（2）设平面平面，求证；（3）求四棱锥B-CDFE的体积V．图519.(本小题满分14分)已知为数列的前项和，（），且．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）求证：．20.(本小题满分14分)已知抛物线：的焦点为，点是直线与抛物线在第一象限的交点，且.（1）求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线有唯一公共点，且直线与抛物线的准线交于点,试探究，在坐标平面内是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.21.(本小题满分14分)已知函数，，其中．（1）若函数，当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；（3）证明：．揭阳市2022年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一、选择题：BBDACABDCB解析：10.由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案B.二、填空题：11.；12.；13.3；14.；15..解析：13.由得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令得，故数列是首项，公比的等比数列，又，所以.15．依题意得，因△BEA∽△CFA得,所以．三、解答题：16．解：（1）由得----------------------------------------------------2分（2）解法1：由得-----------------------3分∵，∴，--------------------------------------------4分∴-----------------------------------------6分∴----------------------------------------------------8分----------------------------------------10分----------------------------------------------------12分[解法2：由得，--------------------------3分即-------------------------------------------------5分-----------------------①---------------------------------6分将①代入并整理得，---------------8分解得：，--------------------②---------------------10分∵∴，∴，故②中负值不合舍去，----------------11分∴.-----------------------------------------------------------12分]17．解：（1）---4分----8分(2)由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，------------------9分故此人到达当天空气质量优良的概率：-------------------------------------------------------------11分故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%----------------------------12分18.解：（1）证明：AB⊥平面BCD，平面，----------------1分又，，平面，------------------------------2分又E、F分别是AC、AD的中点，∴---------------------------------------3分∴EF⊥平面ABC又平面BEF，平面BEF⊥平面ABC-----------------------------------------4分（2）CD//EF，平面，平面∴平面，----------------------------6分又平面BCD，且平面平面∴．------------------------------------8分（3）解法1：由（1）知EFCD∴------------------------------9分∴------------------11分------------------14分[解法2：取BD中点G，连结FC和FG，则FG//AB，-----9分∵AB⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，-----------------10分由（1）知EF⊥平面ABC，∴------12分.----------------14分]19.解：（1）由和可得，------------------2分（2）解法1：当时，由得，---------------------------------4分---------------------6分∴数列是首项，公差为6的等差数列，∴-------------8分[解法2：当时，由------------------4分可得,---------------------------------6分∴数列为首项,公差为3的等差数列，，即.∴---------------------------------------------------------------------8分]（3）证明：由（2）知-----------------------------------10分--------------------------------------------------12分，命题得证．---------------------------------------------------------------------14分20.解：(1)解法1：∵点是直线与抛物线在第一象限的交点，∴设点,----------------------------------------------------------1分∵抛物线C的准线为，由结合抛物线的定义得-------①-----2分又点在抛物线C上，∴.----------------------②-----3分由①②联立解得，∴所求抛物线的方程式为.-------------------------5分[解法2：∵点是直线与抛物线在第一象限的交点，∴设点,----------------------------------------------------------1分∵抛物线C的焦点为，由得,即，-------------------------------------------①-------------2分又点在抛物线C上，∴.--------------②-------------3分由①②联立解得，∴所求抛物线的方程式为.-------------------------5分]（2）解法1：由抛物线C关于轴对称可知，若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必在轴上，设，--------------------------------------------------6分又设点，由直线与抛物线有唯一公共点知，直线与抛物线相切，由得，∴，---------------------------------------7分∴直线的方程为，--------------------------------------------8分令得，∴点的坐标为，-----------------------------9分--------------------------------------10分∵点在以为直径的圆上，∴--------------12分要使方程对恒成立，必须有解得，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为．--------14分[解法2：设点，由与抛物线有唯一公共点知，直线与抛物线相切，由得，∴，-----------------------------------6分∴直线的方程为，---------------------------------------------7分令得，∴点的坐标为，-------------------------8分∴以为直径的圆方程为：--------③----10分分别令和，由点在抛物线上得，将的值分别代入③得：-------------------------------④--------------------------------------------------------⑤④⑤联立解得或，-----------------------------------------------12分∴在坐标平面内若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必为或，将的坐标代入③式得，左边==右边，将的坐标代入③式得，左边=不恒等于0，------------------------------------13分∴在坐标平面内是存在点，使得以为直径的圆恒过点，点坐标为为．--14分]21.解：（1）∵当时，函数，∴，---------------------------------------------------------1分令得，当时，当时，，即函数在单调递减，在单调递增，---------------------------------------------------------------3分∴函数在处有极小值，∴.----------------------------------------------------------4分（2）解法1：∵函数=在区间上为减函数∴在上恒成立在上恒成立，----5分设，则---7分当时，，所以在上恒成立，即函数在上单调递减，-------------------8分∴当时，，∴.-----------------------------------------------------------------------9分[解法2：∵函数=在区间上为减函数∴对，-----------（）恒成立，--------------5分∵，∴，当时，（）式显然成立；----------------------------------------------------6分当时，（）式在上恒成立，设，易知在上单调递增，-------------------------------7分∴，∴，------------------------------------------------------------8分综上得.-------------------------------------------------------------9分]（3）由（2）知，当时，,，------------------------②----------------10分∵对有，在②式中令得，--------------------------12分∴，即．-------------------------------------------------------14分
