广东省揭阳市第一中学2022-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（每小题5分，共50分）1．集合，，则等于（）A.B.C.D.2．如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为( )A．－2，－，，2B．2，，－，－2C．－，－2，2，D．2，，－2，－3．方程表示倾斜角为锐角的直线，则必有()A.B.C.D.4．函数，，其中，则()．均为偶函数 ．均为奇函数．为偶函数，为奇函数．为奇函数，为偶函数5．函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是（）6．设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β7．如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是( )A．36B．108C．72D．1808．已知函数，则的最小值是（）-6-\nA、B、C、D、9．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC10．若函数，满足对任意的、，当时，，则实数的取值范围为（）A、B、C、D、二、填空题（每小题5分，共20分）11．经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x轴上的截距为_______．12．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②MN∥CD.；③EF与MN是异面直线；④AB与DF所成的角为60°以上四个命题中，正确命题的序号是________．xyo313．方程的根，∈Z，则= ．14．已知是定义域为的奇函数，在区间上单调递增，当时，的图像如右图所示：若，则的取值范围是；三、解答题（共80分）15．（本小题满分12分）已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a)<0}．(1)若a=-1，求A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝，求a的取值范围．16．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a>0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求f(x)；(2)若g(x)＝f(x)－m·x在[2,4]上单调，求m的取值范围．-6-\n17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求三棱锥C－ABD的体积．18．（本小题满分14分）设函数y＝f(x)且x、y满足lg(lgy)＝lg(3x)＋lg(3－x)．(1)求y＝f(x)的解析式及定义域；(2)求f(x)的值域；（结果可保留分数指数幂形式）19．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．-6-\n一、选择题:DBBCABBDDD二、填空题：11.；12.①③；13.3；14.三、解答题（共80分）15.解：∵A＝{x|x2－6x＋8<0}，∴A＝{x|2<x<4}．………………………………2分(1)若a=－1，B＝{x|(x+1)·(x+3)<0}＝{x|－3<x<－1}…………………………3分∁RB＝{x|x≥－1或x≤－3}………………………………………………4分∴A∩(∁RB)＝{x|2<x<4}………………………………………………5分(2)∵要满足A∩B＝，当a＝0时，B＝满足条件；……………………6分当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，a≥4或3a≤2.∴0<a≤或a≥4；……………………9分当a<0时，B＝{x|3a<x<a}，a≤2或3a≥4.∴a<0时成立，……………………11分综上所述，a≤或a≥4…………………………………………………12分16．解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.……………………………1分a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，……………………………2分故⇒⇒……………………………5分∴f(x)＝x2－2x＋2……………………………6分(2)g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，……………………………8分∵g(x)在[2,4]上单调，∴≤2或≥4.……………………………11分∴m≤2或m≥6.……………………………12分17解：(1)证明：取BC中点G，连接AG，EG，………………………1分∵E是B1C的中点，∴EG∥BB1，且EG＝BB1.………………3分又AA1∥BB1，AA1=BB1，D是AA1的中点，∴EG∥AD且EG=AD…………………………………5分∴四边形EGAD是平行四边形，∴ED∥AG，………………………7分又DE平面ABC，AG⊂平面ABC∴DE∥平面ABC.…………9分(2)∵DA⊥平面ABC∴DA是三棱锥D－ABC的高DA＝AA1＝3CG＝BC＝3∴AG2＝AC2-CG2＝16∴AG＝4………11分∴VC－ABD＝VD－ABC＝×BC·AG·DA＝×6×4×3＝12………………14分-6-\n18.解：(1)lg(lgy)＝lg(3x)＋lg(3－x)＝lg[3x·(3－x)]，∴lgy＝3x·(3－x)．………3分∴y＝103x(3－x)…………………………………………………………5分由⇒0<x<3∴定义域是{x|0<x<3}……………………7分(2)∵y＝103x(3－x)，设u＝3x(3－x)＝－3x2＋9x＝－32＋，…………………9分当x＝∈(0,3)时，umax＝，∴u∈.…………………………10分y＝10u在上是递增的，∴ymax＝10…………………………………12分又u>0∴y>1………………………………………………………13分∴值域是(1,10]………………………………………………14分19．解：（1）由题设，连结，为等腰三角形，，……………1分又为等腰直角三角形，所以,又，∴，且，且，……4分∴．所以为直角三角形，．……………………5分又．所以平面．……………………7分（2）取中点，连结，由（Ⅰ）知，得．为二面角的平面角．………………10分由得平面．所以，又，故………13分所以二面角的正弦值为………………………………………14分-6-\n20．解：(1)令x＝y＝0得f(0)＝0，…………………………………………1分令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝0∴f(－x)＝－f(x)…………………………………3分∴f(x)在(－1,1)上是奇函数．…………………………………………4分(2)设0<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f，…………………………………6分而x1－x2<0,0<x1x2<1⇒<0，又－(－1)＝>0，……………8分故－1<<0.则f>0，即当0<x1<x2<1时，f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0,1)上单调递减．…………………………………10分-6-
