2022-2022学年度第一学期期中考试高二级数学（理科）试题一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，集合．则集合可表示为A．B．C．D．2.复数满足（其中为虚数单位），则=A．B．C．D．3．下列函数中，为奇函数的是A．B．C．D．4．下面几种推理中是演绎推理的为A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；B．猜想数列的通项公式为；C．半径为圆的面积，则单位圆的面积；D．由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为5．已知,若,则A．4B．5C．D．6．“”是“函数在区间上单调递减”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件图1C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．如图1，在矩形内：记抛物线与直线围成的区域为（图中阴影部分）．则区域M面积与矩形面积之比为A．B．C．D．-15-\n8.已知可导函数满足，则当时，和大小关系为A.B.C.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．图2正视图侧视图俯视图9．函数的定义域为．10．某几何体的三视图如图3所示，其正视图是边长为2的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几何体的体积是．11.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为，则双曲线的方程为．12.设实数满足向量，．若，则实数的最大值为．13.在数列中，已知，，且数列是等比数列，则．14.已知，且，推测当时，有__________________________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）已知函数的图像经过点．（1）求的值；（2）在中，、、所对的边分别为、、，若，且．求．16.（本小题满分12分）已知数列的前项和满足：，且-15-\n（1）求（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明-15-\n17．（本小题满分14分）图3如图3所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．（1）求证平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的余弦值．18.（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且满足．（1）求，的值；（2）求；（3）设，数列的前项和为，求证：．19.（本小题满分14分）设双曲线C：（a>0，b>0）的一个焦点坐标为（，0），离心率，A、B是双曲线上的两点，AB的中点M（1，2）.（1）求双曲线C的方程；（2）求直线AB方程；（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？20．（本小题满分14分）设函数.（1）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（2）当a=1时，求函数在区间[t，t+3]上的最大值.-15-\n2022-2022学年度第一学期期中考试试室座位号高二级数学（理科）试题答题卷班级：高二（）班姓名：座号：试室号：_______uuuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuuuuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuuuuuuuu题号一二151617181920总分得分注意：用2B铅笔填涂，填涂的正确方法是▇；信息点框内必须涂满涂黑，否则填涂无效；修改时用橡皮擦干净。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.7[A][B][C][D]8[A][B][C][D]5[A][B][C][D]6[A][B][C][D]3[A][B][C][D]4[A][B][C][D]1[A][B][C][D]2[A][B][C][D]二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9.10.11.12.13.14.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15.（满分12分）16.（满分12分）-15-\n17.（满分14分）-15-\n18.（满分14分）19.（满分14分）-15-\n20.（满分14分）-15-\n参考答案一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．12345678CBDCAABB二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．9．；10．；11．；12．；13．； 14．； 三、解答题15．解：（1）由题意可得，即．……………………………2分，，，．……………5分（2），，……………………………………………………7分．…………………………………………8分由（1）知，．，，……………………………10分又，．……………12分16．（1），所以，，又∵，所以.，所以,所以.（2）猜想．证明：当时，由（1）知成立．-15-\n假设时，成立．所以所以当时猜想也成立．综上可知，猜想对一切都成立．17．解：（法一）（1）取中点为，连接、，且，·，则且．·…………2分四边形为矩形，且，且，，则．平面，平面，平面．……………………………………………………4分（2）过点作的平行线交的延长线于，连接，，，，，，，四点共面．四边形为直角梯形，四边形为矩形，，，又，平面，，又平面平面，为平面与平面所成锐二面角的平面角．……………………7分，．即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．……………………9分（3）过点作于，连接，根据（2）知，，，四点共面，，，，-15-\n又，平面，，则．又，平面．直线与平面所成角为．……………………………11分，，，，，．即直线与平面所成角的余弦值为．……………………………14分（法二）（1）四边形为直角梯形，四边形为矩形，，，又平面平面，且平面平面，平面．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：，，，，，，则，．………………2分，，为平面的一个法向量．又，平面．…………………………………………………………4分（2）设平面的一个法向量为，则，，，取，得．……………………………6分平面，平面一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角的大小为，-15-\n则．因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．…………………9分（3）根据（2）知平面一个法向量为，，，………12分设直线与平面所成角为，则．因此，直线与平面所成角的余弦值为．………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．18．解：（1）当时，有，解得．当时，有，解得．……………2分（2）（法一）当时，有,……………①．…………………②①—②得：，即：．…………5分．．………………………………………8分另解：．又当时，有，．…………………………8分（法二）根据，，猜想：．………………………………3分用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当时，有，猜想成立．（Ⅱ）假设当时，猜想也成立，即：．那么当时，有，即：，………………………①-15-\n又，…………………………②①-②得：，解，得．当时，猜想也成立．因此，由数学归纳法证得成立．………………………………………8分（3），……………………………10分．………………………………………14分19．解：（1）依题意得，解得a=1.（1分）所以，（2分）故双曲线C的方程为.（3分）（2）设，则有.两式相减得：，（4分）由题意得，，，（5分）所以，即.（6分）故直线AB的方程为.（7分）（3）假设A、B、C、D四点共圆，且圆心为P.因为AB为圆P的弦，所以圆心P在AB垂直平分线CD上；又CD为圆P的弦且垂直平分AB，故圆心P为CD中点M.（8分）下面只需证CD的中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.-15-\n由得：A（-1，0），B（3，4）.（9分）由（1）得直线CD方程：，（10分）由得：C（-3+，6-），D（-3-，6+），（11分）所以CD的中点M（-3，6）.（12分）因为，，，，（13分）所以，即A、B、C、D四点在以点M（-3，6）为圆心，为半径的圆上.（14分）20．解：（1）∵∴，（1分）令，解得（2分）当x变化时，，的变化情况如下表：0—0↗极大值↘极小值↗故函数的单调递增区间为（-∞，-1），（a，+∞）；单调递减区间为（-1，a）；（4分）
因此在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数在区间内恰有两个零点，当且仅当，（5分）
解得，所以a的取值范围是（0，）.（6分）（2）当a=1时，.由（1）可知，函数的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）；.（7分）-15-\n①当t+3<-1，即t<-4时，因为在区间[t，t+3]上单调递增，所以在区间[t，t+3]上的最大值为；（9分）
②当，即时，因为在区间上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且，所以在区间上的最大值为.（10分）由，即时，且-1Î[t，t+3]，所以在上的最大值为；（11分）③当t+3>2，即t>-1时，由②得在区间上的最大值为.因为在区间（1，+∞）上单调递增，所以，故在上的最大值为.（13分）综上所述，当a=1时，在[t，t+3]上的最大值.（14分）-15-
